§8. Cauchy の積分定理と積分公式（その 1）まず前回の復習から．次の (2) =) (1) を以下ではよく使う．復習領域 D で連続な函数 f について，次は同値． Z (1) D に含まれる 8 閉曲線 C に対して， f (z) dz = 0． C 0 (2) 9F ：D で正則 s.t. F (z) = f (z) (8z 2 D)．以下，C D ：領域，f ：D で正則（D の各点で複素微分可能）．定理 8.1 （3 角形閉路の場合の Cauchy の積分定理） D ：3 角形閉領域，C ：の周を反時計回りに 1 周 =) Z f (z) dz = 0． C 証明 (0) := とし， (0) の各辺の中点を結んでできる 4 個の 3 角形閉領域を (1) j (j = 1, 2, 3, 4) とする（下図参照）． (1) 3 (0) (1) 1 (1) j C (0) := C とし， (1) Z ゆえにある j に対して， Z C (0) 用して， (1) から := (2) (0) f (z) dz = C (0) (1) (1) 4 の周を，上図のように，C (0) の向きと合うように反時計回りに回る路を Cj とする (j = 1, 2, 3, 4)．この j に対して (1) 2 の内部では積分が相殺しあって， 4 Z X f (z) dz 5 4 (1) (1) j ，C (1) (1) f (z) dz. Cj j=1 Z (1) f (z) dz が成り立たないといけない． Cj := Cj とおく． (0) から (1) を得た手続きを適を得る．そしてこれを繰り返して，3 角形閉領域の減少列 (0) (1) ··· (n) ··· と，その周を反時計回りに回る路の列 C (0) , C (1) , . . . , C (n) , . . . を得て， 1 Z C (0) (n) ここで各 f (z) dz 5 4 n Z f (z) dz (n = 1, 2, . . . ). · · · · · · C (n) 1 は C の compact 集合であり， dn := diam ( (n) ) := sup z,w2 z w (n = 0, 1, 2, . . . ) (n) 1 1 d ! 0 (n ! 1) ゆえ，9 1 z s.t. z 2 T (n) ⇢ D （演習問題 0 0 n 0 2 n=0 [2.13] 参照）．さて f は z0 で複素微分可能であるから，z0 の近傍でとおくと，dn = f (z) = f (z0 ) + f 0 (z0 )(z z0 ) + '(z)(z z0 ) とかけて，z ! z0 のとき '(z) ! 0 である．定数函数と 1 次函数に対しては，C 全体で（正則な）原始函数が存在するから，閉路 C (n) に沿う積分は 0 である．ゆえに Z Z f (z) dz = '(z)(z z0 ) dz. · · · · · · 2 C (n) C (n) 1 ` である (n = 0, 1, 2, . . . )． 2n 0 そして "n := sup '(z) とおくと，"n ! 0 (n ! 1) であって， (n) ここで，の 3 辺の長さの和を `n とおくと，`n = z2C (n) Z '(z)(z C (n) これと , 1 2 により Z C (0) である． z0 ) dz 5 "n dn `n = 1n d0 `0 "n . 4 f (z) dz 5 d0 `0 "n ! 0 (n ! 1)．ゆえに Z 定理 8.2 （長方形閉路の場合の Cauchy の積分定理） Q Z：長方形閉領域，C ：Q の回りを反時計回りに 1 周する路 =) f (z) dz = 0． D C 証明対角線を 1 本入れて 2 個の 3 角形を作ればよい． ⇤ def • S が凸集合 () 8p, q 2 S に対して，[ p, q ] ⇢ S ． • 凸領域：凸集合になっている領域（楕円や長方形の内部等）．定理 8.3 （凸領域での Cauchy の積分定理） D ：凸領域 =) D 内の任意の閉曲線 C に対して Z C 2 f (z) dz = 0． C (0) f (z) dz = 0 ⇤ 証明 a 2 D を固定し，F (z) := Z f (w) dw とおく． h が十分小さいとき，3 点 [ a, z ] a, z, z + h で形成される閉三角形領域は D に含まれる1ので，定理 8.1 よりを 1 周する f の積分は 0 である．ゆえに F (z + h) F (z) = Z f (w) dw. [ z, z+h ] F (z + h) 以下以前と同様に， h F (z) の周 f (z) 5 1 h Z f (w) f (z) dw と [z,z+h] Z して，F (z) が f (z) の D での正則な原始函数となるから， f (z) dz = 0 である． ⇤ C 定理 8.4 （円周を使った Cauchy の積分公式） D ：領域，f は D で正則， := D(c, r) ⇢ D ．このとき，8z 2 Int( ) に対して， Z f (⇣) 1 f (z) = d⇣ （積分は円周 C : z c = r を反時計回りに 1 周）． 2⇡i C ⇣ z 証明 > 0 と " > 0 は十分小さいものとする．まず z を中心とする半径 " の円 C" を描く．次に，z と円 C の中心 c を結ぶ直線に関して対称に C と C" の一部を切り捨て，図の様に切り口を 2 本の線分で結ぶ．この 2 本の線分の間隔を 2 とする．このようにしてできる閉路を ," とする（下左図参照）． ," が定める有界閉領域をほんの少しだけ膨らませてできる領域を D0 (D 0 ⇢ D) とする（下左図の点線で囲まれる f (⇣) 領域）．函数 F (⇣) := は D0 で正則である． ⇣ z D0 ⇣0 C C" z ⇣ C" ," z c # "! D0 ⇣0 2 D0 を固定し，8⇣ 2 D0 と，座標軸に平行な線分からなる折線で結んでできる路 Z （格子折線と呼ぼう）を Q⇣ とし，G(⇣) := F (w) dw とおく．定理 8.2 より，G(⇣) Q⇣ 1D は凸集合だから． 3 は，⇣0 と ⇣ を結ぶ格子折線 Q⇣ の取り方によらない2．そうすると，定理 8.3 の証明のようにして，G(⇣) が D0 での F (⇣) の原始函数であることが示せる．実際 h が小さいとき，Q⇣+h は ⇣ まで Q⇣ に沿って来てから，線分 [ ⇣, ⇣ +h ] が座標軸に平行なら直接，平行でなければ 1 回折れてから ⇣ + h に到達するとしてよい．折れる場合でも [ ⇣, ⇣ + h ] Z を斜辺に持つ直角 3 角形を作り定理 8.1 を使うと G(⇣ + h) G(⇣) = F (w) dw [ ⇣, ⇣+h ] Z となることがわかって，以下以前と同様である．よって F (w) dw = 0． ," 閉路 ," 3 にある 2 個の線分に沿う積分 I を，定理 8.2 を用いて考察する．ここでに無関係な M > 0 を取って， F (w) 5 M 8w 2 意すると， ! = ! # ! " \ D(z, 2" ) とできることに注 + # " 上図で，横の破線上の積分は相殺するので，結局 I の評価は長さの 4 個の線分に沿う積分の評価になる．そして，各々の積分の絶対値は M で押さえられるので， ! +0 のとき，これら 4 個の積分はすべて 0 になる．よって， Z Z Z 0 = lim !+0 F (w) dw = ," F (w) dw C C" F (w) dw. · · · · · · 1 f (z) f (z) + と書き直す．f は z で z w z f (w) f (z) 微分可能であるから，z のある固定した近傍で w の函数は有界である w z （絶対値は K 以下とする）．よって " > 0 が十分小さければ， Z Z f (w) f (z) f (w) f (z) dw 5 dw 5 2⇡K". w z w z C" C" 次に 1 の右端の第 2 項では，F (w) = f (w) w 一方で，w = z + "ei✓ (0 5 ✓ 5 2⇡) とおくと，dz = "iei✓ d✓ ゆえ Z Z 2⇡ f (z) iei✓ d✓ = 2⇡if (z). dw = f (z) z ei✓ C" w 0 Z f (w) したがって， 1 でさらに " ! +0 とすることで dw = 2⇡if (z) を得る． ⇤ z C w Z 1 dz = 1（恒等的に 1 という函数の ↵ での値）．例 8.5 ↵ < 1 のとき， 2⇡i |z|=1 z ↵ 2二つの格子折れ線に対して，それらの構成線分を適宜延長して z 3 を囲まない長方形を作っていく． > 0 は十分小さくて，次の図に現れる長方形は円 C"/2 の外にあるとしてよい． 4