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数学演習Ｉ小テスト 4 月 18 日 (50 分)
{
}
1
1
1
1
１ S = 1, 1 + , · · · , 1 + + + · · · + n , · · · とする。max S, sup S, min S, inf S がも
2
2 22
2
し存在したら求め、もし存在しないなら背理法で示せ（答えのみは 0 点）
２ 任意の ε > 0 に対して a − ε < b を満たすとき a ≤ b であることを示せ。
３ 実数の集合 A について min A がもし存在したら inf A も存在して inf A = min A となるこ
とを示せ.
４ (1) {an } が Cauchy 列 とは
∀ε > 0 ∃N ∀m > N ∀n > N |am − an | < ε
と式で表される。これの否定, すなわち {an } が Cauchy 列 でないことを式で表せ。
(2) 数列 an = (−1)n が Cauchy 列 でないことを (1) の答の式を用いて示せ.
５ 難 an → a, bn → b ならば
lim
n→∞
a1 bn + a2 bn−1 + · · · + an b1
n
= ab を満たすことを示せ。
ヒント：収束列は有界である。式を変形。
a(b1 + b2 + · · · + bn )
n
はどうなるか？
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