12月19日の講義ノート

§10. Cauchy の積分定理と積分公式（一般形）
以下，C
D は領域とし，C は D 内の閉路とする（単純とは限らない）．
定義 10.1
Z
1
dz とおく．
各p 2
/ C に対して，n(C, p) :=
2⇡i C z p
n(C, p) を，点 p に関する閉路 C の回転数 (winding number) と呼ぶ．
命題 10.2
n(C, p) 2 Z．
証明 C : z = z(t) (0 5 t 5 1) とする．ここで C = C1 + · · · + Cn （各 Cj はなめら
か）と表されていて，各 Cj は t の区間 [ tj 1 , tj ] に対応しているとする．このとき，
Z tj
n
P
z 0 (t)
1
n(C, p) =
dt．各 j (j = 1, . . . , n) に対して函数
2⇡i j=1 tj 1 z(t) p
Z t
z 0 (s)
Fj (t) :=
ds
(t 2 [ tj 1 , tj ])
p
tj 1 z(s)
を考えると，n(C, p) =
n
1 P
F (t ) である．さて tj
2⇡i j=1 j j
1
< t < tj のとき，
d e Fj (t) (z(t) p) = e Fj (t) F 0 (t)(z(t) p) + z 0 (t) = 0.
j
dt
ゆえに e Fj (t) (z(t) p) は t 2 [ tj 1 , tj ] に関して定数．とくに
e Fj (tj ) (z(tj ) p) = e Fj (tj 1 ) (z(tj 1 ) p) = z(tj 1 ) p.
z(tj ) p
よって eFj (tj ) =
となり，z(tn ) = z(t0 ) であるから
z(tj 1 ) p
z(t1 ) p
z(tn ) p
z(tn ) p
eF1 (t1 )+···+Fn (tn ) =
···
=
= 1.
z(t0 ) p
z(tn 1 ) p
z(t0 ) p
これより F1 (t1 ) + · · · + Fn (tn ) 2 2⇡iZ となり，n(C, p) 2 Z である．
補題 10.3
(1) [ p, q ] \ C = ? =) n(C, p) = n(C, q)．
(2) 任意の領域 D1 s.t. D1 \ C = ? に対して，D1 3 p 7! n(C, p) は定数．
(3) D2 は領域で，D2 \ C = ? かつ 9R > 0 s.t. D2
=) 8p 2 D2 に対して n(C, p) = 0．
証明 (1) Arg
z
z
{z 2 C ; z > R}
p
< ⇡ () z 2 D0 := C \ [ p, q ] に注意して，
q
z p
F (z) := Log
(z 2 D0 )
z q
1
⇤
を考えると，F は D0 で 1 価正則で，直接微分して1F 0 (z) =
すなわち，F は D0 における
n(C, p)
1
z
1
p
n(C, q) = 1
2⇡i
z q
Z ⇣
C
1
z
1
p
z
q
を得る．
の原始函数であり，C ⇢ D0 ゆえ
1
z
1
p
(2) 8p, q 2 D1 を折れ線で結ぶと，(1) に帰着する．
z
q
⌘
dz = 0.
(3) (2) と仮定より， p > R のときに n(C, p) = 0 を示せばよい．領域
D3 := C \ {tp ; t = 1}.
z) は D3 で 1 価正則であって，F 0 (z) = 1 である．
z p
1
すなわち，F (z) は D3 における
の原始函数である．C ⇢ D3 ゆえ
z p
Z
1
dz = 0.
n(C, p) =
⇤
2⇡i C z p
を考えると，F (z) := Log(p
以下，f は D で正則とし，次で定義される D ⇥ D 上の函数 g を考える．
8
< f (w) f (z) (w, z 2 D, w 6= z)
w z
g(w, z) :=
: 0
f (z)
(w = z 2 D)
明らかに g(z, w) = g(w, z) である．
補題 10.4
g は D ⇥ D で連続で，一方の変数を固定するとき，他方の変数に関して正則2．
証明 (w0 , z0 ) 2 D ⇥ D とし，g は (w0 , z0 ) で連続，かつ z 7! g(w0 , z) は z = z0 で複
素微分可能であることを示そう（ g(z, w) = g(w, z) に注意）．
(1) w0 6= z0 のとき．(w0 , z0 ) の近傍 V で，D ⇥ D に含まれ，かつ V では w 6= z と
なっているものをとる．このときは，V において g の定義の第 1 式のみを使って議
論できるので，結論は明らか．
(2) w0 = z0 のとき．r > 0 をとって，D(z0 , r) ⇢ D とし，C : ⇣
z0 = r とする．
(あ) w, z 2 D(z0 , r) かつ w 6= z のとき．Cauchy の積分表示式より
✓Z
◆
Z
f (w) f (z)
f (⇣)
f (⇣)
1
1
g(w, z) =
=
·
d⇣
d⇣
w z
w z 2⇡i
w
z
C ⇣
C ⇣
Z
f (⇣)
1
=
d⇣.
(⇤)
2⇡i C (⇣ w)(⇣ z)
1あるいは，Re(z
p) > 0 かつ Re(z q) > 0 をみたす z で Log zz pq = Log(z p) Log(z
と変形して微分し，その結果を D0 に解析接続する．
2以下では不要であるが，Hartogs の定理により，g は複素 2 変数函数として正則になる．
2
q)
(い) w = z 2 D(z0 , r) のときは，定義と導函数の積分表示より，
Z
f (⇣)
1
0
g(z, z) = f (z) =
d⇣.
2⇡i C (⇣ z)2
ゆえに w = z の場合でも上記の式 (⇤) が通用する．
まず g(z0 , z) が z = z0 で微分可能であることは演習問題 [7.11] を
してわかる．次に g が (z0 , z0 ) で連続であることを示すために
"
Z
(w z0 ) + (z z0 ) ⇣
g(w, z) g(z0 , z0 ) = 1
f (⇣)
2⇡i C
(⇣ w)(⇣ z)(⇣
z0 < 12 r であるとしてよい．さらに ⇣ 2 C のとき，
⇣ 5 ⇣
z0 + z0 = r + z0 ,
同様にして ⇣
g(w, z)
⇣
w = ⇣
z0
w
z > r となるから，次の評価を得る．
2
g(z0 , z0 ) 5 A (r + z0 )( w z0 + z
ただし A := 4kf kC r
3
z02 )
(wz
z0 )2
と式変形する．あとで (w, z) ! (z0 , z0 ) とするので，初めから， w
つ z
f (⇣)
に適用
⇣ z0
d⇣
z0 < 12 r，か
z0 > r
z0 ) + wz
#
r = r.
2
2
z02
.
⇤
．ゆえに g は (z0 , z0 ) で連続である．
前補題の g に対して，次の函数 ' を考える（C は最初に与えられた閉路）．
Z
'(z) := g(w, z) dw
(z 2 D).
C
命題 10.5
' は D で正則である．
証明
積分の順序交換可能性と Morera の定理を用いて証明できるが，以下ではそ
れとは別の証明を与える．z 2 D \ C のときは
Z
Z
f (w)
dw
'(z) =
dw f (z)
w
z
w
z
C
C
······
1
と書き直す．演習問題 [7.11] により，' は D \ C で正則であることがわかる．また
z 2 C のときは，次の補題により，十分小さい " > 0 に対する開円板 D(z, ") におい
て，' の値を変えることなく C を変形して，z を通らない D 内の閉路 C 0 に変形で
きる（* w 7! g(w, z) は正則）ので，結局 ' は D で正則である．
補題 10.6
3
w0 2 C に対して，9C 0 （D
Z 内の閉路）Zs.t.
w0 2
/ C 0,
かつ
h(w) dw =
C
h(w) dw
C0
3
（8h：D で正則）．
⇤
証明
C は w0 以外の点 ⇣ を含むとしてよい．r > 0 をとって D(w0 , r) ⇢ D ，かつ
⇣ 2
/ D(w0 , r) とする．C : w = w(t) (0 5 t 5 1)，w(0) = w(1) = ⇣ とする．w(t)
は一様連続であるから，9n 2 N s.t. t
t0 <
1
n
=)
w(t)
w(t0 ) < r．この n
を用いて，閉区間 [ 0, 1 ] を n 等分する．0 = t0 < t1 < t2 < · · · < tm = 1 を，分点
t = k/n の内で w(k/n) 6= w0 をみたすものの全体とする．隣り合う ti と ti+1 の間に
w(t⇤ ) = w0 となる ti < t⇤ < ti+1 があると，
{w(t) ; ti 5 t 5 ti+1 } ⇢ D(w0 , r).
D(w0 , r) 内で，曲線 C の w(ti ) から w(ti+1 ) に至る部分を，w0 を通らないように変え
ればよい．凸領域 D(w0 , r) における Cauchy の積分定理により，積分の値は不変． ⇤
定理 10.7 （一般形の Cauchy の積分公式と Cauchy の積分定理）
閉路 C ⇢ D は 8p 2
/ D に対して n(C, p) = 0 をみたすとする．このとき
Z
f (⇣)
1
(1) n(C, z) · f (z) =
d⇣ (8z 2 D \ C)，
2⇡i C ⇣ z
Z
(2) f (z) dz = 0．
C
証明
(1) E := {p 2 C \ C ; n(C, p) = 0} とおくと，補題 10.3 の (2) より，E は C
の開集合であり，仮定により C = D [ E である．C は連結ゆえ D \ E 6= ? に注意．
Z
f (w)
(z) :=
dw
(z 2 E )
w
z
C
とおくと，演習問題 [7.11] より
の証明中の式
1
より
は正則である．さて z 2 D \ E ならば，命題 10.5
'(z) = (z)
f (z) · 2⇡i · n(C, z) = (z).
したがって，D 上の函数 ' を '(z) :=
(z) (z 2
/ D) によって整函数に拡張できる．
補題 10.3 の (3) と C が有界であることより， z が十分大きければ z 2 E ．さらに
Z
f (w)
kf kC · length(C)
'(z) 5
dw 5
!0
( z ! +1). · · · · · · 2
z
dist(z, C)
C w
ゆえに整函数 ' は有界である．Liouville の定理から ' は定数函数であり，評価
1
らその定数は 0 である．したがって前ページの
Z
Z より
f (z)
f (w)
dw = 1
n(C, z) · f (z) =
dw
2⇡i C w z
2⇡i C w z
(2) a 2 D \ C を一つとると
Z
Z
h
f (z)(z a)
f (z) dz =
dz = 2⇡i · n(C, a) · f (z)(z
z a
C
C
1C 0
は h に依らないところがポイント．
4
2
か
(z 2 D \ C).
a)
i
z=a
= 0.
⇤

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