6 月 4 日・5 日 (定理 1） n 次行列 A, B について以下は同値である. 1. AB

6 月 4 日・5 日
(定理 1）n 次行列 A, B について以下は同値である.
1. AB = E
2. BA = E
3. AB = E, BA = E


⃗a1
 ⃗a 
（演習 2）任意の 4 次行列 A = ( a1 a2 a3 a4 ) =  2  に対して, AX =
⃗a3
⃗a4
( a1 2a1 + a2 a3 a4 ), AY = ( a1 a3 a2 a4 ), AZ = ( a1 a2 3a3 a4 )
なる行列 X, Y , Z は何か. このとき XA, Y A, ZA は?
（解説）X = P12 (2), Y = R23 , Z = Q3 (3)


1 2 0 3
（演習 3) A =  0 0 1 2  に行基本変形, 列基本変形を施すとどのくらい簡
1 2 1 5
単な行列になるのだろうか.


1 2 0 3
（解説）A1 = SA = P32 (−1)P31 (−1)A =  0 0 1 2  → A2 = A1 P12 (−2)P14 (−3) =


 0 0 0 0
1 0 0 0
1 0 0 0
 0 0 1 2  → A3 = A2 P34 (−2) =  0 0 1 0  → A4 = A3 R23 =
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0
 0 1 0 0  = RA
0 0 0 0
（定理 4）行列は, 行基本変形, 列基本変形によってランク標準形に変形できる. す
なわち
(
)
Er O
P AQ =
= RA
O O
なる正則行列 P , Q が存在する. r は A の階数（SA の角の数) であり, RA は A
によって一意的に決まるので, A のランク標準形と呼ぶ.
（系 5）rankt A = rankA.
（注意(6）SA =)SB ⇒ (
RA = RB)
. しかし SA = SB ̸⇐ RA = RB . たとえば
1 0 0
1 0 1
A=
,B=
のとき SA ̸= SB だが RA = RB .
0 1 2
0 1 1
問題は裏にあります.
15
1. 教科書ｐ 70 問 3.5, 問題集 p35 問題 12 (2)(4)(6) （答え合わせを
しておくこと．
）
2. 行列

1
A = 2
1
2
3
2

1
1
2
について以下の問いに答えよ. （ヒント：１）以外の計算は, 暗算でできる.
5 月 1 日の学習内容を思い出そう.）
(1) A の逆行列は何か.
 
1
(2) 方程式 Ax =  0  を解け.
2


0
(3) 方程式 Ay =  1  を解け.
−1
  

1
0
(4) ベクトル a が 2a + 3  0  −  1  = 0 をみたすとき, z について
2
−1
の方程式 Az = a を解け. 3. 行・列基本変形により階数標準形に変形せよ. 各過程は基本行列との積で表
すこと. 更に, RA (RB ) を A(B) と基本行列の積で表せ.


3
−1 1 −6 −5
(1) A =  3 −1 2
1  (2) B =  1
2
2 −1 4
3

16

2 −9 4
−2 5 0 
−1 1 3

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