同次形微分方程式

2.1 同次形微分方程式
1
2.1 同次形微分方程式
¶
同次形微分方程式
³
y
y′ = f ( )
x
で表わされる微分方程式を同次形 (homogeneous) という．ここで v =
y
x
とおくと，y = vx より
y ′ = v ′ x + v となり，これを元の微分方程式に代入すると v ′ x + v = f (v) を得る．ここで変数を分離すると
v′
1
=
f (v) − v
x
となり，確かに変数分離形．この両辺を積分すると
∫
となる．これに v =
µ
¶
同次関数
y
x
dv
= log x + c
f (v) − v
を代入すると一般解を得る．
´
³
M (tx, ty) = tn M (x, y) を満たす関数 M (x, y) を n 次の同次関数 (homogeneous function) という．
µ
¶
同次形の見分け方
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0, y ′ = −
´
³
M (x, y)
N (x, y)
において，M (x, y) と N (x, y) が同じ次数の同次関数ならば，与えられた微分方程式は同次形．
µ
´
問 2.1 次の微分方程式を解け
(1) y ′ =
x−y
x+y
(2) y ′ =
(3) y ′ =
x−y+1
x+y−1
x+y−1
x+y+1
2.2 完全微分形微分方程式
¶
全微分
³
2 変数関数 u(x, y) の全微分は
du = ux dx + uy dy
で与えられる．よってもし 2 つの偏導関数 ux , uy がわかれば，全微分 du が求まる．逆に，関数の全微分が
わかると次の例題が示すように，その関数を任意の定数の範囲できめることができる．
µ
´
例題 2.1 ある関数 u(x, y) の全微分は
du = 3x(xy − 2)dx + (x3 + 2y)dy
で与えられている．このとき，u(x, y) を求めよ．
2
¶
完全微分形
³
1 階の全微分方程式
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
の左辺がある関数 u(x, y) の全微分 du に等しいならば，この方程式の一般解は
u(x, y) = c
で与えられ，このような方程式を完全微分形 (exact) という．
µ
´
問 2.2 3x(xy − 2)dx + (x3 + 2y)dy = 0 を解け．
¶
定理
³
M (x, y) と N (x, y) の 1 階の偏導関数が，ある領域 {(x, y) : a < x < b, c < y < d} 上で連続であるとする．
そのとき，次の条件は同値である．
(1) M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 は完全微分形である
(2) My = Nx
µ
´
証明 (1) ⇒ (2)
微分方程式が完全微分形ならば，du = M (x, y)dx + N (x, y)dy となる関数 u(x, y) が存在する．よって
M = ux , N = uy
を得る．次に M を y で偏微分，N を x で偏微分すると
My = uxy , Nx = uyx
となる．ここで My , Nx は仮定より連続なので uxy , uyx も連続である．よって微積分学で学んだ Schwartz の定
理 (Schwarz lemma) より uxy = uyx となり，My = Nx を得る．
(2) ⇒ (1)
¥
この定理の証明の中に完全微分形のときの解 u(x, y) が与えられている．つまり My = Nx のとき，一般解は
∫
∫
x
y
M (ξ, y)dξ +
u(x, y) =
x0
N (x0 , η)dη = c
y0
で与えられる．
問 2.3 (y cos x − sin y)dx + (sin x − x cos y)dy = 0 を解け．
問 2.4 初期値問題 (2xy + 3y)dx + (4y 3 + x2 + 3x + 4)dy = 0, y(0) = 1 を解け．
公式 u(x, y) =
∫x
x0
M (ξ, y)dξ +
∫y
y0
N (x0 , η)dη を用いて，一般解を求める方法の他に，もっとよく用いられて
いる方法にくくり直し法 (grouping method) とよばれているものがある．この方法を次の例題を用いて説明
する.
例題 2.2 (2x + 3y)dx + (3x + y 2 + 3)dy = 0 を解け.

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