5 月 21 日・22 日定理 1: l × m 行列 B, l × n 行列 C に対して方程式 BX

5 月 21 日・22 日
定理 1: l × m 行列 B, l × n 行列 C に対して方程式 BX = C を考えよう. 任意の
正則行列 T に対し,
BX = C ⇔ (T B)X = (T C)
が成り立つ.
つまり, 方程式 BX = C と方程式 (T B)X = (T C) の解は同じなので, 適切な
正則行列 T を用いて, なるべく簡単な (T B)X = (T C) に帰着させればよい. T B
と T C を同時に計算するには, l × (m + n) 行列 A = ( B C ) を行基本変形すれ
ばよい. しかし「なるべく簡単な」とはどのようなことだろうか.
定理 2: 任意の行列 A は, 行基本変形によって被約階段行列


0 ··· 0 1 ∗ ··· ∗ 0 ∗ ···

0 0 ··· 0 1 ∗ ··· 
SA = 

..
.. .. ..
.
. . .
0 0 ···
に変形できる. SA は A のみによって決まり, 行基本変形によらない.
演習 3:被約階段行列にせよ.
(
A=
(
1
2
0
1
−1
0
)

1
 0
, B=
2
−1
0 0
0 1
1 0
0 1

−1
2 
,
−1
3
)
−1
（解答：SA =
B1 = P31 (−2)B → B2 = P41 (1)B1 → B3 =
2


1 0 0 −1
0 1 0 1 
R23 B2 → B4 = R43 (−1)B3 = 
 = SB ）
0 0 1 2
0 0 0 0
1 0
0 1
次頁の問いに答えよ. 基本変形の各過程においては、どのような基本行列によ
(
)
1 2 3 4
る積を施したのか明記すること。
（たとえば A =
の第 1 行に第 2
2 2 2 2
行の (−1) 倍を加える場合, (
)
(
)
1 2 3 4
−1 0 1 2
A=
→ A1 = P12 (−1)A =
2 2 2 2
2 2 2 2
と書くこと. 教科書にあるように
(
)
(
1 2 3 4 第 1 行 +(−1)× 第 2 行 −1
A=
−→
2 2 2 2
2
という書き方では行列の積が認識しにくい. 11
0 1 2
2 2 2
)
(
)
2 3 1 3 7
1. (1) C =
の被約階段行列は何か.
3 4 0 −2 7
(
)
(
)
1 3 7
2 3
X=
を解け.
(2) 方程式
3 4
0 −2 7
2. 問題集 p27 問題 9 （答合わせをして，間違っていた場合は正答を得るま
で取り組むこと．
）
3. 前問にならって, 次の連立方程式を行列を用いて解け．

 −x + y − 6z = −5
3x − y + 2z = 1
(1)

2x − y + 4z = 3

 3x + 2y − 9z = 4
x − 2y + 5z
= 0
(2)

2x − y + z
= 3




1 1 2
1
2 −3
4. A =  3 0 8 , B =  2 −3 1  について，以下の問いに答えよ．
2
2 3 3
−3 1
(1) A, B を行基本変形により，それぞれ被約階段行列 SA , SB にせよ．
(2) A と SA , B と SB の関係を基本行列を用いて表せ．
(3) SA , SB は正則か.
(4) A, B は正則か.
(5) A を基本行列の積で書け．
(6) A−1 を成分を用いて書け．
12

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