277_階乗記号や n Pr , n C r の計算計算問題の解法階乗記号や n Pr , n C r の基本計算問題の解法階乗記号！や，異なる n 個のものから r 個とる順列（Permutation）の総数 n Pr と組合せ（Combination）の総数 n C r について，次のような定義や関係式がある． n ! = n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2) ⋅ " ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 , 0! = 1 (1) r個 n ! = n(n − 1)(n − 2) ⋅ " ⋅ (n − r + 1) (r ( n) (2) n Pr = (n − r )! n Pn = n !, n P1 = n , n P0 = 1 個 r P ( 1)( 2) ( 1) n n − n − ⋅ " ⋅ n − r + n! n r = = n Cr = r! r !(n − r )! r (r − 1)(r − 2) ⋅ " ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 (3) ( r ( n) r個 [説明] n Cn = n C0 = 1 , n Pr , n Cr について，具体的な計算ができることは無論必要であるが，その定義に基 n C1 = n づいた一般的な式変形もスムーズに出来ることも必要とされる．階乗記号で表された式を計算することは稀であるので，戸惑ってしまう生徒が多い．特に，二項係数の大小比較問題ではこの計算力は必須となる．この補充プリントで練習を積んでおくことが望まれる．例題１．次の□内に当てはまる数値を入れよ． 7! + 8! = (1) (5) 8 C 6 + 8 C5 = (2) ! 1 + 1 = 7! 6! (3) (4) ! ! ! ! = 10!− 9! = 10 ⋅ 9!− 9! = (10 − 1) ⋅ 9! = 9 × 9 ! (4) 1 − 1 = 10 − 7 = 9!7! 10!6! 10!7! 10!7 ! = ! ← n ! = n × ( n − 1)! 8 1 + 1 = 1 + 7 = 7! 6! 7! 7! C 6 + 8 C5 = ! 1 − 1 = 9!7! 10!6! 9 × 7 ! 8 × C (3) (5) 10! − 9! = 7! + 8! = 7! + 8 ⋅ 7! = (1 + 8) ⋅ 7! = [解](1) (2) × ← 7 ! 1 = 7 = 7 6! 7 × 6! 7! 3 10 ! 7 ! 8! 8! + = 8! + 8! = 3 ⋅ 8! + 6 ⋅ 8! 6!(8 − 6)! 5!(8 − 5)! 6!2! 5!3! 6!3! 6!3! (3 + 6) ⋅ 8! 9 ⋅ 8! = = 6!3! 6!3! 9 ! 6 ! 3 ! －1－ = 9 C 3 (= 9 C 6 ) ! http://www.geocities.jp/ikemath 例題２．次の方程式，不等式を解け．ただし，n は自然数とする． (1) n P2 − 2 × n −1 P1 = 20 ( n ) 2) (2) (3) (4) C3 = n C3 + n −1 C 2 + 6 (n )3) (n )5) n P5 < 12 × n P3 (n ) 2) n+ 2 C2 > 2 × n C2 − 6 n +1 P2 = n(n − 1) , n −1 P1 = n −1 より n( n − 1) − 2(n − 1) = 20 整理して n 2 − 3n − 18 = 0 (n − 6)(n + 3) = 0 n ) 2 より n = 6 [解](1) n (n + 1)n(n − 1) n(n − 1)(n − 2) (n − 1)(n − 2) = + + 6 より 6 6 2 n( n + 1)( n − 1) = n( n − 1)( n − 2) + 3( n − 1)( n − 2) + 36 6n = 42 整理してよって n=7 (2) n ! < 12 × n ! より (n − 5)! (n − 3)! ( n − 3)! < 12( n − 5)! 両辺を ( n − 5)! > 0 で割って ( n − 3)( n − 4) < 12 2 n − 7n < 0 n(n − 7) < 0 ∴ 0<n<7 n ) 5 より 5( n < 7 n は自然数であるから n =5, 6 (3) (n + 2)(n + 1) n(n − 1) > 2× − 6 より 2 2 ( n + 2)( n + 1) > 2n( n − 1) − 12 n 2 − 5n − 14 < 0 (n − 7)(n + 2) < 0 整理して n ) 2 より 2( n < 7 n は自然数であるから n = 2, 3, 4, 5, 6 (4) ∴ −2< n< 7 ■ 練習問題．１．次の□内に当てはまる数値を入れよ． (1) 8!− 7!+ 6! = ２．方程式 n −1 × C2 + n C2 = ! n+2 C2 (2) 10 C4 + 8 C4 = ! ! ! (n )3) を解け．ただし，n は自然数とする． [略解]１．(1) 50 ⋅ 6! －2－ (2) 8! 3!4! ２． n = 7