第1問 1, 2, 1 a b c ab bc ca abc + + = + + =− =− ( ) 2( ) 1 2 ( 2

452_2014 年大学入試センター追試験問題
数学Ⅰ・数学Ａ
2014 大学入試センター追試験問題
解答
数学Ⅰ・数学Ａ
解答
第１問
〔1〕 a + b + c = 1 , ab + bc + ca = −2 , abc = −1
a 2 + b 2 + c 2 = (a + b + c) 2 − 2(ab + bc + ca) = 12 − 2 ⋅ (−2) = 5
(1)
1 + 1 + 1 = ab + bc + ca = −2 = 2
a b c
abc
−1
1 + 1 + 1 = 2 の両辺を 2 乗すると
a b c
1 + 1 + 1 +2 1 + 1 + 1 =4
ab bc ca
a 2 b2 c2
⇔ 12 + 12 + 12 = 4 − 2 ⋅ a + b + c = 4 − 2 ⋅ 1 = 6
abc
−1
a
b
c
(
(2)
(
A = ax − 1
a
)
) (
2
+ bx − 1
b
) (
2
+ cx − 1
c
) = (a + b + c ) x − 6x +  a1 + b1 + c1 
2
2
2
2
2
2
2
2
= 5 x2 − 6 x + 6
から， A = 7 を満たす x の値は
5x2 − 6 x + 6 = 7 ⇔ 5x2 − 6 x − 1 = 0
⇔
p: a+b = a +b,
〔2〕
(1)
−(−3) ± (−3) 2 − 5 ⋅ (−1)
x=
=
5
3 ±
14
5
q : ab 2 ) 0
条件 q の否定 q は， ab < 0 である．
2
b' 0 のとき， b 2 > 0 であるから， a < 0 でなければならない．
b = 0 のとき， ab 2 = 0 となり， q は成り立たない．
したがって，条件 q の否定 q は，「 a < 0 かつ b ' 0 」 3
(2)(ⅰ)
p を満たす a，b について， a + b ) 0 ならば， a + b = a + b より
a+b = a +b ⇔
(ⅱ)
a = a ⇔ a )0 1
p を満たす a，b について， a ) 0 ならば， a = a より
a + b = a + b ⇔ a + b )0 1
(ⅲ)
a + b < 0 のとき， a + b = −(a + b) より，条件 p は
−( a + b) = a + b ⇔ − a − b = a + b
上式において，
a ) 0 のとき， − a − b = a + b
⇔ b = −a となり， a + b < 0 を満たさない．
a < 0 のとき， −a − b = −a + b ⇔ b = 0
逆に， b = 0 ならば，条件 p は a = a となり，つねに成り立つ．
−1−
http://www.geocities.jp/ikemath
よって， a + b < 0 を満たす a，b について，b = 0 2 であることと p を満たすことは
同値である．
(3) (1)，(2)から，条件 p，q を満たす点 (a , b) の存在範囲をそれぞれ座標平面上に図示
すると下図のようになる．
条件 q
条件 p
b
b
1
O
-1
1
1
O
-1
a
-1
1
a
-1
b =-a
したがって， p → q が真で， q → p は偽であるから，p は q であるための「十分条件
であるが，必要条件でない」 1
第２問
y = ax 2 + bx + c (a > 0)  ①
x = −1 のとき y = 4 ， x = 2 のとき y = 7 であることから
 4 = a −b+c

 7 = 4a + 2b + c
−3 = −3a − 3b ⇔ b = − a + 1 = − a + 1
辺々，引いて
これから
c = 4 − a + b = 4 − a + (−a + 1) = −2 a + 5
(
①より， y = a x +
b
2a
)
2
2
− b − 4ac であるから，頂点の座標を ( p , q) とすると
4a
a− 1
p = − b = − −a + 1 =
2a
2a
2 a
2
−9 a 2 + 22 a − 1
(− a + 1) 2 − 4a (−2a + 5)
−
+
a
a
9
22
1
=−
=
q=−
4a
4a
4 a
(1)
a = 2 のとき，
2
p = 2 − 1 = 1 , q = −9 ⋅ 2 + 22 ⋅ 2 − 1 = 7
2⋅2 4
4⋅2
8
より，①のグラフの頂点の座標は
y 軸方向に
−7
8
( 14 , 78 )
であるから，①のグラフを x 軸方向に
だけ平行移動すると， y = 2 x のグラフに一致する．
2
−2−
−1
4
，
452_2014 年大学入試センター追試験問題
(2)
数学Ⅰ・数学Ａ
解答
①のグラフが y 軸に関して対称となるためには，頂点の x 座標が 0 となればよいから
p = a − 1 = 0 ⇔ a = 1 （ a > 0 に適する）
2a
このとき，頂点の y 座標は
q = −9 + 22 − 1 = 12 = 3
4
4
(3）関数①の最小値が 0 であるために
−9a 2 + 22a − 1 = 0 ⇔ 9a 2 − 22a + 1 = 0
4a
⇔ a=
(4)
11 ± 4
−(−11) ± (−11) 2 − 9 ⋅1 11 ± 112
=
=
9
9
9
7
（ a > 0 に適する）
a
−
1
1
1
1
a > 0 より，p =
= −
< であるから，1( x ( 2 において，関数①は x = 1
2a
2 2a 2
のとき最小値をとる．
したがって，条件から y = ax + ( − a + 1) x + ( −2a + 5) に x = 1 を代入して
2
a + (− a + 1) + (−2a + 5) = 0 ⇔ − 2a + 6 = 0 ⇔ a = 3
第３問
C
△BDE において，BD＝4，BE＝6，DE＝5 であるから，
余弦定理より
2
2
2
cos ∠DBE = 4 + 6 − 5 = 9
2⋅4⋅6
16
したがって， sin ∠DBE > 0 より
2
25 7
 9 
sin ∠DBE = 1 −   =
⋅
16 16
 16 
5
=
7
N
16
△DBE の面積 S は
A
S = 1 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ sin ∠DBE = 12 ⋅ 5 7
2
16
=
(1)
15
E
10
D
8
12
I
M
L
B
7
4
内接円 I の半径の長さを r，I から BD，DE に下ろした垂線の足を M，N とすると
1 (4 + 6 + 5)r = S
2
⇔ r = 2 S = 2 ⋅ 15 7 =
15 15
4
BL＝x とおくと，LE＝ 6 − x ，MD = 4 − x であり，
DE＝DN＋NE＝MD＋LE
−3−
7
2
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が成り立つことから
5 = (6 − x) + (4 − x) ⇔ 2 x = 5
よって
BL = x =
5
2
△BLI は∠BLI＝90°の直角三角形であることから，
BI =
( )
5
2
2
2


+ 7  =
 2 
32 = 8 = 2
4
2
(2) 直線 BX，BZ はともに点 B から円 J に引いた
接線であるので，BX＝BZ である．したがって，
EX＝y とおくと
6 + y = 4 + DA ⇔ DA = y + 2
DE＝DY＋EY＝DA＋EX
より
∠JBE＝
1
2
∠DBE，∠IBE＝
X
E
J
3
5 = ( y + 2) + y ⇔ EX = y =
C
1
∠DBE
2
A
D
4
B
( )
5 : 6 + 3 = 5 :15 = 1: 3 であることから
2
2
BJ＝BI ×3 = 2 2 × 3 =
(3)
L
Z
より，3 点 B，I，J は一直線上にあり，
△BIL∽△BJX で相似比が
6
Y
5
I
2
6
2
K
△OKI において
KI =
(3 2 ) 2 − ( 2 ) 2 = 16 = 4
したがって，三角錐 KBDE の体積 V は
V = 1 ⋅ S ⋅ KI = 1 ⋅ 15 7 ⋅ 4 = 5
3
3
4
O
7
J
2U 2
I
3U 2
B
第４問
(1)
A ，○
A ，○
A ，○
B ，○
B ，○
C
○
1 回のゲームにおいて，A，B，C がそれぞれ勝つ確率は，
3 = 1 , 2 = 1 , 1 である．
6 2 6 3 6
(ⅰ) ゲームを 4 回行うとき，勝者が順に A，A，B，C となる確率は
1×1×1×1 =
2 2 3 6
1
72
(ⅱ) ゲームを 4 回行うとき，B がちょうど 1 回勝つ確率は
( ) ( ) = 3281
1
4 C1
3
1
2
3
3
−4−
452_2014 年大学入試センター追試験問題
数学Ⅰ・数学Ａ
解答
B が 1 回も勝たない確率は
( ) = 1681
4
2
3
よって，求める B が 2 回以上勝つ確率は
(
)
11
1 − 32 + 16 = 1 − 16 =
81 81
27
27
(ⅲ) ゲームを 6 回行うとき，A が 3 回，B が 2 回，C が 1 回勝つ確率は
( )( )( )=
6!
1
3!2!1! 2
(2)
AとB
A○
A○
A○
B○
B
○
3
1
3
2
1
6
1
5
36
AとC
BとC
A○
A○
A○
C
○
B○
B○
C
○
3 ，B が勝つ確率は 2
5
5
3
1
② A と C の対戦において，A が勝つ確率は，B が勝つ確率は
4
4
2
1
③ B と C の対戦において，A が勝つ確率は，B が勝つ確率は
3
3
A と B の対戦において，A が勝つ確率は
①
である．
(ⅰ) A，B，C が 20 万円ずつ受け取る場合は，3 人がともに 1 勝 1 敗のときだから
〔①-A 勝 ②-C 勝 ③-B 勝〕または〔①-B 勝 ②-A 勝 ③-C 勝〕
の 2 通りの場合がある．よって，A，B，C が 20 万円ずつ受け取る確率は
3×1×2 + 2×3×1 = 1 + 1 =
5 4 3 5 4 3 10 10
1
5
(ⅱ) A が 20 万円以上受け取る場合は，A が 2 勝する場合か，3 人が 1 勝 1 敗ずつの場
合のいずれかであることから，求める確率は
3 × 3 ×1 + 1 = 9 + 1 = 13
5 4
5 20 5
20
(ⅲ)
A が受け取る優勝賞金の期待値は
60 × 9 + 20 × 1 = 27 + 4 = 31 （万円）
20
5
2 ×1× 2 = 4
B が 2 勝する確率は
5
3 15
したがって，B が受け取る優勝賞金の期待値は
60 × 4 + 20 × 1 = 16 + 4 = 20 （万円）
15
5
1 1 1
C が 2 勝する確率は 1× × =
4 3 12
したがって，C が受け取る優勝賞金の期待値は
60 × 1 + 20 × 1 = 5 + 4 = 9 （万円）
12
5
−5−

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