一貫クラス数学Ⅱ3学期⑳

一貫クラス　数学Ⅱ　3学期⑳
(　)組(　)番　名前(　)　１
y
2 次関数 y = ax 2 + bx + c のグラフが右の図のようになる
とき，次の値の符号を調べよ。
(1)　a　(2)　b　(3)　c　(4)　b 2 -4ac
(5)　a + b + c　(6)　a - b + c
1
x
O
２
m，n を自然数とし，2 次関数 y = x 2 -2mx - n のグラフを C とする。
(1)　グラフ C の頂点が放物線 y =-x 2 +3x -5 上にあるとき，m =
である。このとき，グラフ C は x 軸から長さ
ウ
U
エ
(2)　グラフ C が x 軸から長さ 4 の線分を切り取るとき，m =
３
ア
，n =
イ
の線分を切り取る。
オ
，n =
2 次関数 y = ax 2 + bx + c のグラフが右の図で与えられ
カ
である。
y
ているとき，次の値の符号を調べよ。
(1)　a　(2)　b　(3)　c
(4)　b 2 -4ac　(5)　a - b + c
O
-1
-1-
x
４
右の図のような 2 次関数 y = ax 2 + bx + c のグラフにつ
y
いて，次の値の正，0，負を判定せよ。
(1)　a　(2)　b
(3)　c　(4)　b 2 -4ac
(5)　a + b + c　(6)　a - b + c
O
５
x
1
a を定数とし，x の 2 次関数 y = x 2 -20 2a -11 x +3a -2 のグラフを G とする。
(1)　グラフ G が表す放物線の頂点の座標は
0
ア
a-
イ
，ウエ a 2 +
オ
a-
グラフ G が x 軸と異なる 2 点で交わるのは a <
1 である。
カ
キ
，
ク
ケ
< a のときである。
(2)　(1) の 2 つの交点がともに x 軸の正の部分にあるような a の値の範囲を求めよう。
グラフ G と y 軸の交点の y 座標を Y とすると，条件は
a <
キ
ク
，
ケ
< a　かつ　ア a -
であるから，求める a の値の範囲は
シ
ス
-2-
イ
<a<
>
セ
ソ
コ
，
かつ　Y >
タ
サ
< a である。
１
s　(1)　a >0　(2)　b <0　(3)　c >0　(4)　b 2 -4ac >0
(5)　a + b + c <0　(6)　a - b + c >0
２
３
４
s　(ア)　1　(イ)　2　0 ウ1 U 0 エ1 2U 3 (オ)　1　(カ)　3
５
キ
3
s　(ア)　2　(イ)　1　(ウエ)　-4　(オ)　7　(カ)　3　0 1 (ケ)　1
ク
4
0 1
シ
2
セ
3
(コ)　0　(サ)　0　0 1 0 1 (タ)　1
3
4
0 ス1
0 ソ1
s　(1)　a <0　(2)　b <0　(3)　c <0　(4)　b 2 -4ac >0　(5)　a - b + c >0
s　(1)　正　(2)　負　(3)　正　(4)　0　(5)　0　(6)　正
-3-
１
(1)　グラフは下に凸であるから　a >0
(2)　y = ax 2 + bx + c のグラフの軸は　直線 x =　軸は x >0 の範囲にあるから　-
b
2a
b
b
>0　ゆえに　<0
2a
2a
(1) より，a >0 であるから　b <0
(3)　グラフは y 軸の正の部分で交わっているから　c >0
(4)　グラフは x 軸と異なる 2 点で交わっているから　b 2 -4ac >0
(5)　x =1 のとき　y = a + b + c
グラフは点 0 1，a + b + c1 を通り，この点は x 軸より下側にあるから
a + b + c <0
(6)　x =-1 のとき　y = a - b + c
グラフは点 0 -1，a - b + c1 を通り，この点は x 軸より上側にあるから
a - b + c >0
２
2
2
2
2
2
2
0 1 1　y = x -2mx - n = 0 x -2mx + m 1 -m - n = 0 x - m 1 -m - n
よって，C の頂点の座標は　0 m， - m 2 - n1
これが，放物線 y =-x 2 +3x -5 上にあるから　-m 2 - n =-m 2 +3m -5
すなわち　3m + n =5
m，n は自然数であるから　m =1 ，n =2
このとき，C は　y = x 2 -2x -2
ここで，x についての 2 次方程式 x 2 -2x -2=0 を解くと　x =1 $ U 3
よって，グラフ C が x 軸から切り取る線分の長さは　0 1 + U 3 1 -0 1 - U 3 1 =2U 3
2
2
0 2 1　2 次方程式 x -2mx - n =0 を解くと　x = m $ U m + n
m，n は自然数であるから　m 2 + n >0
よって，C が x 軸から切り取る線分の長さは
0m + U m 2 + n 1 -0m - U m 2 + n 1 =2U m 2 + n
条件から　2U m 2 + n =4　すなわち　U m 2 + n =2
両辺を 2 乗すると　m 2 + n =4
m，n は自然数であるから　m =1 ，n =3
-4-
３
8
ax 2 + bx + c = a x +
b
2a
9
2
-
b 2 - 4ac
4a
よって，放物線 y = ax 2 + bx + c の
軸は　直線 x =-
b
b 2 - 4ac
，　頂点の y 座標は　，
2a
4a
y 軸との交点の y 座標は　c
また，x =-1 のとき　y = a0 -11 2 + b0 -11 + c = a - b + c
(1)　グラフが上に凸であるから　a <0
(2)　軸が x <0 の部分にあるから　-
b
<0
2a
(1) より，a <0 であるから　b <0
(3)　グラフが y 軸の負の部分と交わるから　c <0
(4)　頂点の y 座標が正であるから　-
b 2 - 4ac
>0
4a
(1) より，a <0 であるから　-0 b 2 - 4ac1 <0　すなわち　b 2 -4ac >0
(5)　a - b + c は，x =-1 における y の値である。
グラフから，x =-1 のとき　y >0　すなわち　a - b + c >0
-5-
４
8 a x9+c
b
b
= a x +
2
a
2
>8 9 8 a 9 ? + c
b
b
= a x +
8 2a 9 -a8 2a 9 +c
b
b - 4ac
= a x +
2
a
8 9 4a
ax 2 + bx + c = a x 2 +
b
2
2
2
2
2
2
よって，放物線 y = ax 2 + bx + c の
軸は　直線 x =-
b
b 2 - 4ac
，　頂点の y 座標は　，
2a
4a
y 軸との交点の y 座標は　c
(1)　グラフは，下に凸の放物線であるから，a は　正
(2)　グラフから，軸は　直線 x =1
よって　-
b
=1　ゆえに　b =-2a
2a
(1) より，a >0 であるから，b は　負
(3)　グラフが y 軸の正の部分と交わるから，c は　正
(4)　グラフから，頂点の y 座標が 0
よって　-
b 2 - 4ac
=0　ゆえに　b 2 -4ac =0
4a
(5)　x =1 のとき　y = a + b + c
グラフから，x =1 のとき　y =0
よって　a + b + c =0
(6)　x =-1 のとき　y = a - b + c
グラフから，x =-1 のとき　y >0
よって　a - b + c は正
t　(1)，(2)，(3) から　a >0，-b >0，c >0
よって　a - b + c = a + 0 -b1 + c >0
ゆえに　正
-6-
５
2
2
2
2
0 11 y = x -20 2a -11 x +3a -2 = 6 x -20 2a -11 x + 0 2a - 11 7 -0 2a - 11 +3a -2
= 6 x - 0 2a - 11 7 2 -4a 2 +7a -3
よって，頂点の座標は　0 2a -1， -4a 2 +7a -31
G は下に凸の放物線であるから，x 軸と異なる 2 点で交わるとき　-4a 2 +7a -3<0
すなわち　4a 2 -7a +3>0 よって　0 4a -31 0 a -11 >0
ゆえに　a <
3
，1< a
4
0 21 0 11 の 2 つの交点がともに x 軸の正の部分にある
条件は，右の図から
a <
y
3
，1< a …… ①
4
G
2a -1
Y
かつ　軸について　2a -1>0
かつ　Y >0
x
O
1
2a -1>0 から　a >
…… ②
2
Y >0 から　0 2 -20 2a -11 ･ 0+3a -2>0
すなわち　3a -2>0 よって　a >
① かつ ② かつ ③ から　2
3
< a < ，1< a
3
4
②
①
1
2
2
…… ③
3
2
3
3
4
③
①
1
-7-
a

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