x2 + x + 1

2014 年早稲田大学商学部
解答
１
(1) P (x) を x2 + x + 1 で割った余りは x + 1 であるから，
P (x) = (x2 + x + 1)(x2 − x + 1)Q(x) + (x2 + x + 1)(ax + b) + x + 1
(Q(x) は多項式， a, b は定数 )
と表される。
(x2 + x + 1)(ax + b) + x + 1
= (x2 − x + 1 + 2x)(ax + b) + x + 1
= (x2 − x + 1)(ax + b) + 2ax2 + (2b + 1)x + 1
= (x2 − x + 1)(ax + 2a + b) + (2a + 2b + 1)x − 2a + 1
を x2 − x + 1 で割った余りは x − 1 であるから，
{
2a + 2b + 1 = 1
∴ a = 1, b = −1
−2a + 1 = −1
P (x) を (x2 + x + 1)(x2 − x + 1) で割った余りは
(x2 + x + 1)(x − 1) + x + 1 = x3 + x
(2) 定積分の性質より
∫ 0
∫
f (t) dt = −
−x
(ア)
−x
f (t) dt
0
であるから，与えられた関係式は
∫ −x
∫ x
f (t) dt = x3
f (t) dt + 3
1
······ ⃝
0
0
x → −x としても成り立つから，
∫ x
∫ −x
f (t) dt = −x3
f (t) dt + 3
2
······ ⃝
0
0
⃝
1 −⃝
2 × 3 より
∫ x
f (t) dt = 4x3
−8
∫
∴
x
f (t) dt = −
0
0
両辺 x で微分すると
f (x) = −
3 2
x
2
( イ)
(注 ) f (x) は多項式とは仮定されていない。
—— 1 ——
1 3
x
2
2014 年早稲田大学商学部
解答
(3)( i ) a = 6n (n が整数 ) と表されるとき
[ a ] [ 2a ]
+
= 3n + 4n = a = 6n
2
3
より
n=0
∴ a=0
(ii) a = 6n + 1 (n が整数 ) と表されるとき
[ a ] [ 2a ] [
1 ] [
2 ]
+
= 3n +
+ 4n +
2
3
2
3
= 3n + 4n = a = 6n + 1
より
n=1
∴ a=7
(iii) a = 6n + 2 (n が整数 ) と表されるとき
[ a ] [ 2a ] [
] [
1 ]
+
= 3n + 1 + 4n + 1 +
2
3
3
= (3n + 1) + (4n + 1) = a = 6n + 2
より
n=0
∴ a=2
(iv) a = 6n + 3 (n が整数 ) と表されるとき
[ a ] [ 2a ] [
]
1 ] [
+
= 3n + 1 +
+ 4n + 2
2
3
2
= (3n + 1) + (4n + 2) = a = 6n + 3
より
n=0
∴ a=3
(v) a = 6n + 4 (n が整数 ) と表されるとき
[ a ] [ 2a ] [
] [
2 ]
+
= 3n + 2 + 4n + 2 +
2
3
3
= (3n + 2) + (4n + 2) = a = 6n + 4
より
n=0
∴ a=4
(vi) a = 6n + 5 (n が整数 ) と表されるとき
[ a ] [ 2a ] [
1 ] [
1 ]
+
= 3n + 2 +
+ 4n + 3 +
2
3
2
3
= (3n + 2) + (4n + 3) = a = 6n + 5
より
n=0
∴ a=5
以上より，題意の等式を満たす最大の整数 a は
a= 7
(ウ)
—— 2 ——
2014 年早稲田大学商学部
解答
(4) 四面体 ABCD の展開図を考えると
C
A
A
P
P
R
Q
B
S
D
B
PQ + QR + RS + SP が最小になるのは，展開図において 4 線分が一直線上にあると
きである。AC = BD, AB = CD より，ABCD は平行四辺形であることに注意すると，
このとき 4 線分の長さの和は
2 AC = 14
(エ)
—— 3 ——
2014 年早稲田大学商学部
解答
２
(1)
f ′ (x) = 3x2 − a
f (x) が − 1 < x < 1 において極値をとるのは， f ′ (x) が − 1 < x < 1 で符号を変える
ときであり， f ′ (−1) = f ′ (1) であることに注意すると，その条件は
{ ′
f (0) = −a < 0
f ′ (−1) = f ′ (1) = 3 − a > 0
∴ 0 < a < 3 (答)
0 のとき
つねに f ′ (x) 0
であるから f (x) は単調増加であり， − 1 x 1 における最小値は
√
2
f (−1) = a − 1 = −
2
であるが， a 0 を満たさないから不適である。
(2)( i ) a
(ii) 0 < a < 3 のとき
√
a
とおくと，
α=
3
f ′ (x) = 3(x + α)(x − α)
x
f ′ (x)
f (x)
−1
−α
α
1
+
0
−
0
+
↗ 極大 ↘ 極小 ↗
f (x) = f (α) となる x を求めると
x3 − 3α2 x = α3 − 3α2 α
x3 − 3α2 x + 2α3 = 0
(x − α)2 (x + 2α) = 0
∴ x = α, −2α
√
3
a
−1 すなわち
a < 3 のとき
( ii a ) − 2α = −2
3
4
√
2
3
最小値は f (α) = −2α = −
2
(
)
1
1 2
3
α3 = √
∴ a = 3α2 = 3 √
=
2
2 2
2
( ii b) − 1
3
のとき
4 √
2
最小値は f (−1) = a − 1 = −
2
√ (
2
3)
∴ a=1−
2
4
—— 4 ——
−2α すなわち 0 < a
2014 年早稲田大学商学部
(iii) a
−1
解答
3 のとき
x 1 において f ′ (x)
0 であるから f (x) は単調減少であり，最小値は
√
2
f (1) = 1 − a = −
2
となるが， a 3 を満たさないから不適である。
以上より，求める値は
√
a=1−
2
3
,
2
2
(答)
—— 5 ——
2014 年早稲田大学商学部
３
a
a
a
解答
n を 2n として， ( i )かつ (ii)より c を消去すると
| a| + | b | + |a + b| 2n
0 かつ b 0 のとき
a + b + (a + b)
∴ a+b
2n
n
0 かつ b 0 かつ a + b
− a + b + (a + b)
0 のとき
2n
∴ b
n
0 かつ b 0 かつ a + b
− a + b − (a + b)
0 のとき
2n
∴ a
−n
(a, b) を (−a, −b) に置き換えても成り立つことに注意して，
| a| + | b | + |a + b| 2n
を ab 平面上に図示すると，次図の網目部分 (境界を含む ) となる。
b
n
−n
O
n a
−n
a, b が定まれば， c = −a − b により c は一意に定まるから， S(2n) は上図の領域に
含まれる格子点 (a, b) の個数を表す。
n−1
∑
第 1, 3 象限にはそれぞれ
第 2, 4 象限にはそれぞれ
座標軸上には 4n + 1 個
k=1
n2
k=
1
n(n − 1) 個
2
個
あるから，
1
n(n − 1) + 2n2 + (4n + 1)
2
= 3n2 + 3n + 1 (答)
S(2n) = 2
n = 1 のとき
S(2) = 7 (答)
(注 ) S(2n) の計算は，正方形領域 − n x n, −n y n にある格子点の個数から
余計なものの個数を引いて
n
∑
k = · · · = 3n2 + 3n + 1
S(2n) = (2n + 1)2 − 2
k=1
としてもよい。
—— 6 ——

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