確率過程論基礎 レポート問題
担当
提出締切
提出先
： 笠原正治
： 2014 年 7 月 11 日（金）
： 情報事務室
1. 確率空間 (Ω, F, P ) 上で定義された離散時間型確率過程 {Xn : n = 1, 2, . . .} に対し
て，以下の問いに答えよ．
(a) 定常な離散時間型確率過程とは何かを説明せよ．
(b) エルゴード的な離散時間型確率過程とはどういう性質を持つ確率過程なのかを
説明せよ．
(c) 定常的な確率過程でエルゴード的となる離散時間型確率過程の例を一つ挙げよ．
(d) 定常的な確率過程でエルゴード的とならない離散時間型確率過程の例を一つ挙
げよ．
2. 状態空間 S = {1, 2, . . . , N } を持つ有限状態・離散時間マルコフ連鎖 {Xn : n =
0, 1, 2, . . .} について，以下の問いに答えよ．
(a) 遷移確率を pij = Pr{Xn+1 = j|Xn = i}，遷移確率行列を P = (pij ) とすると
き，P が確率的であることを示せ．
∑
(b) pij が i∈S pij = 1 を満足するときの {Xn : n = 0, 1, 2, . . .} の定常分布 pi =
Pr{Xn = i} (i ∈ S) を求めよ．
（ヒント： 状態空間 S = {1, 2, 3} を持つ離散時間マルコフ連鎖 {Xn : n =
0, 1, 2, . . .} の遷移確率行列が
α β γ
0 < α, β, γ < 1,
α+β+γ =1
P = β γ α
γ α β
のとき，定常分布はどのようになっているか？）
以上
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