ル a1,a2

¶
³
問 n 次元空間 Rn のベクトルは全て縦ベクトル (n × 1 行列) であるとする。ベクト
ル a1 , a2 , · · · , ak ∈ Rn に対して、n × k 行列 (a1 a2 · · · ak ) を考える。Rn の 2 種類
の基底 V = {a1 , a2 , · · · , an } と V 0 = {b1 , b2 , · · · , bn } に対して、
aj =
n
X
pij bi ,
P = P [V, V 0 ] = (pij )
i=1
で n × n 行列 P を定め、V から V 0 への基底の取り替え行列というのであった。(注：
基底 V 、V 0 に関する単位行列の行列表示と言ってもよい。)
(1) (a1 a2 · · · an ) = (b1 b2 · · · bn ) × P

 
 
−1
1
0
 
 

(2) a1 =  4 , a2 = 1, a3 =  1
となることを証明せよ。
 
 

 
2
1
1
 
 

 
, b1 = 1, b2 = 0, b3 =  1 ,
1
4
−1
−1
1
0
とする時、V から V 0 への基底の取り替え行列 P を求めよ。
µ
´
解答
(1)

³
aj = p1j b1 + p2j b2 + · · · pnj bn + = b1 b2
より明らか。
(2) (b1 b2 b3 )−1



p1j

´ p 
2j 

· · · bn × 
.
 .. 
 
pnj

−2 3 1
1

=  1 −1 0  なので、P = (b1 b2 b3 )−1 × (a1 a2 a3 ) =
2
2 −1 −1

15 1 2
1

−5 0 −1
2
−7 1 0
¶
³
考え方
n × n 行列 X に対し、
Xaj =
n
X
αij bi ,
Y = (αij )
i=1
によって、基底 V 、V 0 に関する X の行列表示 Y が定まる。この問題の解答と同様に
して、
X × (a1 a2 · · · an ) = (b1 b2 · · · bn ) × Y,
Y = (b1 b2 · · · bn )−1 X(a1 a2 · · · an )
が成立する。X が単位行列の時、Y は基底の取り替え行列 P になる。
µ
´

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