粘性流体力学講義プリント-1 第 1 章粘性流体の一般論 1. 応力テンソル pij • pij : xj 軸に垂直な面 (単位面積) に働く力の xi 軸方向成分 • pi (n) = pij nj : n に垂直な面に働く応力 • pi (n) = −pi (−n) (作用反作用) • pij = pji :対称 (等方性流体) • pij = −pδij : 非粘性または粘性静止流体 2. 変形速度テンソル eij • d vi = Dij d xj ; Dij = ∂j vi (速度勾配テンソル) • Dij = eij /2 + ωij /2, ここで eij = Dij + Dji (対称, 純歪み), ωij = Dij − Dji (反対称, 回転) 3. 粘性 • pij = f (eij ) : 応力は流体粒子の変形に対する抵抗 Ã ∂pij • pij = (pij )0 + ∂ekl ! Ã ∂ 2 pij ekl + ∂ek` ∂emn 0 ! ek` emn · · · 0 • pij = −pδij + λ(∂` v` )δij + µeij (等方性ニュートン流体) • ストークスの関係 (体積粘性率=0): λ + 2µ/3 = 0 4. ナヴィア-ストークス (NS) 方程式 • 連続の式: D ρ/ D t + ρ∂` v` = 0, ここで D / D t = ∂/∂t + (v` ∂` ) • 運動量式: ρ D vi / D t = ∂j pij + ρKi , (Ki : 外力 ) • エネルギー式: ρ D E/ D t = pij (∂j vi ) − ∂` q` , (E: 内部エネルギー, q` : 熱流ベクトル) • NS 方程式: ρ D vi / D t = −∂i p + (λ + µ)∂i (∂` v` ) + µ∆vi + ρKi , (∆ ≡ ∂` ∂` ) • 非圧縮 NS 方程式: ρ D vi / D t = −∂i p + µ∆vi + ρKi 5. 無次元量 • 粘性: レイノルズ数 Re=U L/ν=(慣性項)/(粘性項) • 非定常性: ストローハル数 S=L/U T =(時間加速度項)/(空間加速度項) 6. 粘性散逸関数 • 粘性散逸関数 Φ = λΘ2 + µeij eij /2 はストークスの関係 (λ + 2µ/3 = 0) を用いて Φ ≥ 0. ただし, Θ = div v = eii /2 • 断熱 (κ = 0) でもエントロピー S は流線に沿って増加 (ρT D S/ D T = Φ + κ∂j ∂j T ) 7. 渦度方程式 • 渦度方程式 ∂ω/∂t = rot(v × ω) + ν∆ω は ω = 0(ポテンシャル流) を解として持つが境界条件は満さない • 渦度方程式は D ω/ D t = (ω · grad)v + ν∆ω のように変形できて, (i) ν ¿ 1 (ReÀ 1) の場合渦の移動が, (ii)ν À 1 (Re¿ 1) の場合渦の拡散が支配的 8. 代表的な粘性流 1 (線形流) 流れの対称性, 相似性を仮定して方程式を線形化 • 平行流 (u = (u, 0, 0)): u = u(y, z, t), p = p(x, t) は ∂u/∂t − ν(∂yy u + ∂zz u) = −ρ−1 ∂x p = α(t) を満す. ただし, α(t) は t の任意関数 • 定常平行流の例: 平面クエット流 (移動平板間の流れ), 平面ポアズイユ流 (静止平板間の流れ), 軸対称ポアズイユ流 (円筒管内の流れ) • 非定常平行流の例: 振動平板による流れ, 加速平板による流れ • 円形流 ((r, ϕ, z) 系で v = (0, v(r, t), 0)): v は ρv 2 /r = ∂r p, ∂v/∂t = νr−1 ∂r (r∂r v) を満す ω = (0, 0, ω), ω = ∂r v + r−1 v であるので, ω は ∂ω/∂t = ν(∂rr ω + r−1 ∂r ω) (熱伝導方程式) を満す • 定常円形流の例: クエット流 (回転する同軸円筒間の流れ), 減衰渦 (粘性による渦度の減衰), 伸長渦 (渦の引き延ばしによる渦度の増加と粘性による渦度減衰の釣り合い) 9. 代表的な粘性流 2 (非線形流) 非線形 (連立) 常微分方程式に帰着 (定常問題) • 非平行流 ((r, θ) 系で u = (u(r, θ), 0)): u = (ν/r)F (θ) とおいて F (θ) は F 000 + 4F 0 + (F 2 )0 = 0 を満す解は適当な頂角をなす 2 枚の固体壁に挟まれた流体の流れ (流線は直線で原点から放射状) • 淀み点流 q (2 次元直角壁に沿う流れ, (x, y)√系で u = (u, v)): η = y A/ν とおいて, u = Axf 0 (η), v = − νAf (η) は f 0 f 00 − f f 000 = f 0000 を満す境界条件は η → ∞ で u = Ax, v = −Ay (ポテンシャル流), η = 0 で f = 0, f 0 = 0 (粘着条件) • 淀み点流 u = (u, 0, w)): q (平板にあたる軸対称流, (r, ϕ, z) 系で √ 0 ζ = z A/ν として u = Arf (ζ), w = −2 νAf (ζ) は f 0000 + 2f f 000 = 0 を満す境界条件は ζ = 0 で f (ζ) = f 0 (ζ) = 0, ζ → ∞ で w = −Az (ポテンシャル流) • 回転淀み点流 (角速度 Ω で回転する平板にあたる軸対称流 , (r, ϕ, z) q 系で u = (u, v, w) かつ ∂/∂ϕ = 0): ζ = z A/ν とおいて √ u = Arf 0 (ζ), v = Ωrg(ζ), w = −2 νAf (ζ) は f 000 − f 02 + 2f 00 f + (Ω/A)2 g 2 = λ(定数), g 00 − 2(f 0 g − f g 0 ) = 0 を満す境界条件は ζ = 0 で f = f 0 = 0, g = 1, ζ → ∞ で f 0 , g 0 → 0 (ただし, A = Ω, λ = 1 と選ぶ)