〔東京理科大〕 夏期個別特講 No.3 番号 氏名 【1】2011 理工 解答は解答用紙に記入しなさい。 2 次の多項式 P( x) , Q ( x) , R( x) をそれぞれ 1 1 P( x) ( x 2 x) , Q ( x) x 2 1 , R( x) ( x 2 x) 2 2 とおく。 (1) 0 x 1 において P( x) , Q ( x) , R( x) がとり得る値の範囲をそれぞれ求めよ。 (2) f ( x) が 2 次以下の多項式ならば,恒等式 f ( x) f (1) P( x) f (0)Q ( x) f (1) R( x) が成り立つことを示せ。 さて a,b,c を実数として, f ( x) aP ( x) bQ ( x) cR( x) とする。a,b,c を次の条件を満たすように動かす。 0 f (1) 1 0 f (0) 1 0 f (1) 1 (条件) このとき, xy 平面において関数 y f ( x) のグラフが通ることのできる部分を D とおく。 (3) xy 平面において,D のうち x 座標が 0 x 1 の範囲にある部分の面積を求めよ。 【2】2008 理工 次の文章中の ア から ネ までに当てはまる数字 0~9 を求めて,指定された欄にマークしな さい。ただし,分数は既約分数として表しなさい。 (1) すべての項が整数である数列 {an } を an 17 19n 1 (1) n 3 24 n 4 (n 1 ,2 ,3 ,L ) と定める。このとき, a1 , a2 をそれぞれ素因数分解すると, a1 ア イ a2 ウ エ ¦ オ (ただし, ア イ とする) となる。また,数列 {an } は an 1 東京理科大研究.doc カ ¦ キ an ク ¦ ケ ¦ コ 1/4 19n 1 を満たす。よって,すべての an を割り切る 2 以上の整数は サ のみである。 2 実数 0 を cos となるように定める。このとき,関数 2 5 f ( x) 2sin x cos x 0 x 2 (2) は, シ f ( x) sin( x ) の形に変形できる。よって, f ( x) のとりうる値の範囲は, ス f ( x) であり, f ( x) が最大値 セ セ をとるのは x ソ のときである。 また,関数 g ( x) sin 2 x 4sin x cos x cos 2 x 0 x 2 は, x (3) 2 タ のとき,最大値 チ をとる。 定数 k に対して,整式 f ( x) , g ( x) を f ( x) x 4 5kx3 (5k 2 4k 3) x 2 (5k 1) x 5k 2 6k 4 g ( x) x 2 5kx 5k 2 4k 4 と定める。 f ( x) を g ( x) で割った商を q1 ( x) ,余りを r1 ( x) とすると, r1 ( x) ツ x テ k となる。さらに, g ( x) を r1 ( x) で割った商を q2 ( x) ,余りを r2 ( x) とすると, q2 ( x ) ト x ナ k となる。 f ( x) と g ( x) が定数でない共通の因数を持つのは, k x ヌ ニ のときであり,その因数は である。 また,定数 a,b,c,d に対して,整式 A( x) , B ( x) を A( x) x a , B ( x) x3 bx 2 cx d と定める。 k 1 のとき, A( x) と B ( x) が, f ( x) A( x) g ( x) B ( x) 1 を満たすとすると, a 【3】2007 ネ である。 理工 2 つの正の定数 a と p に対し,関数 2 f ( x) a p xe ax ( x 0) を考える。ただし,e は自然対数の底である。 xy 平面において, y f ( x) のグラフ上の点で,y 座標が最大となる点を M とおく。 東京理科大研究.doc 2/4 (1) 点 M の座標を a と p を用いて表せ。 (2) p を固定したまま,a を正の範囲で動かすとき,点 M はある関数 y g ( x) のグラフ上を動く。この 関数 g ( x ) を求め,そのグラフを p の値で場合分けして図示せよ。 (3) x 0 の範囲で,(2)の y g ( x) のグラフ上の点から原点までの距離の最小値が存在するような p の 値の範囲を求め,このとき,その最小値を与える x の値を p を用いて表せ。 【4】2005 工学部第一部(工業化学科/経営工学科/機械工学科) 原点を O とする xy 平面において,直線 L : y x m が楕円 C : x 2 y2 1 と異なる 2 点 A ,B で交わ 3 るとき,以下の問いに答えなさい。 (1) 定数 m がとりうる値の範囲を求めなさい。 (2) 三角形 OAB の面積を m で表しなさい。また, m が変化するとき,三角形 OAB の面積の最大値を 求めなさい。 (3) 直線 y x に関して対称な 2 点が楕円 C 上に存在する。この 2 点の座標を求めなさい。 (4) 直線 L に関して対称な 2 点が楕円 C 上に存在するとき定数 m がとりうる値の範囲を求めなさい。 東京理科大研究.doc 3/4 【解答1】2011 理工 (1) 1 P( x) 0 , 0 Q( x) 1 , 0 R( x) 1 8 (2) (省略) 【解答2】2008 (1) ア (2) (3) 理工 イ 2 カキ 7 6 (3) 16 7 クケコ 595 ウ 7 サ 7 セ 2 ソ 2 ナ 3 シ 5 ス 1 タ 4 チ 5 ツ 1 テ 2 ト 1 ニ 2 ヌ 4 ネ 3 エオ 53 【解答3】2007 理工 (略) 【解答4】2005 工学部第一部(工業化学科/経営工学科/機械工学科) (1) 2 m 2 (2) 面積: (3) 3m 2 (4 m 2 ) 3 ,最大値: 4 2 3 3 3 3 (4) ( ) , ( , , ) 2 2 2 2 東京理科大研究.doc 4/4 1 m 1
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