8 超関数のフーリエ係数

超関数のフーリエ係数
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普通の関数のフーリエ係数を自然に拡張して，超関数のフーリエ係数を定
義し，その性質を調べるのがこの章の目標である．
8.1
定義
次の一連の指数関数が基本的な役割をになう：
定義 8.1
整数 n ∈ Z に対して
en (x) = einx
(8.1)
とおく．
ここで，en (x + 2π) = ein(x+2π) = einx e2πin = einx であるから，関数 en は
周期 2π をもつ周期関数であり，したがって T (≡ R/2πZ) 上の関数と見なせ
ることに注意しよう．しかも en は無限回微分可能だから，en ∈ C ∞ (T) であ
る．この関数を使って，
「超関数のフーリエ係数」を次のように定義する：
定義 8.2
F ∈ D(T) に対し，F (e−n ) (∈ C) を，
「F の n 番目のフーリエ係数（n-th
ˆ
Fourier coeﬃcient）」とよび，F (n) と表す：
Fˆ (n) = F (e−n )
(8.2)
いつものように，普通の関数のフーリエ係数との関係を調べておこう．ま
ず f ∈ C ∞ (T) に対しては，その n 番目のフーリエ係数 fˆ(n) は
1
fˆ(n) =
2π
∫
2π
f (x)e−inx dx
0
1
(8.3)
で定義されるのであった．したがって
cf (n)
F
Ff (e−n )
(⇐ 超関数のフーリエ係数の定義 (8.2))
∫ 2π
1
=
f (x)e−n (x)dx
(⇐ Ff の定義 (6.3))
2π 0
∫ 2π
1
=
f (x)e−inx dx
(⇐ e−n の定義 (8.1))
2π 0
= fˆ(n)
(⇐ 普通の関数のフーリエ係数の定義 (8.3))
=
となり，
「関数を超関数と見なしてからフーリエ係数を求めたものと，
そのままフーリエ係数を求めたものは等しい」
という整合性が成り立つことが示された．これも次の図式が可換であること
CHTL
と同値である：
DH T L
F
¥
Cn
cn
C
ここに，cn : C ∞ (T) → C は f ∈ C ∞ (T) にその n 番目のフーリエ係数 fˆ(n)
を対応させる写像，Cn : D(T) → C は F ∈ D(T) にその n 番目のフーリエ
係数 Fˆ (n) を対応させる写像である．
例 8.1 デルタ関数のフーリエ係数
デルタ関数 δa のフーリエ係数を求めてみよう．まず a = eiα をみたす実数 α
2
を取っておく．すると次のように基本的な定義だけから計算できる：
δba (n)
=
δa (e−n )
(⇐ 超関数のフーリエ係数の定義 (8.2))
= δx=α (e−n ) (⇐ 定義 (6.10))
= e−n (α)
= e
−inα
= a−n
(⇐ デルタ関数の定義)
(⇐ e−n の定義 (8.1))
(⇐ αの定義)
特に a = 1 とすると
δb1 (n) = 1 (n ∈ Z)
となる．
注意後にフーリエ係数 Fˆ (n) を一列に並べてアレイ {Fˆ (n)}n∈Z を作り，そ
の性質を調べていくことになるが，そのときも δba (n) から作られるアレイが
非常に重要な役割を果たすことになる．
8.2
フーリエ係数の線形性
前節の記号を使うと，F ∈ D(T) にその n 番目のフーリエ係数 Fˆ (n) を対
応させる写像 Cn : D(T) → C が線形写像である，ということを確認してお
きたい．
注意これは決して難しいことではないが，後にアレイとの対応を見るとき
に重要な観点を与えることになる．
そのためには
1) 任意の F, G ∈ D(T) に対して，Cn (F + G) = Cn (F ) + Cn (G)，
2) 任意の c ∈ C と任意の F ∈ D(T) に対して，Cn (cF ) = cCn (F )，
が成り立つことを示せばよい．まず 1) のほうは定義にしたがって計算してい
くと
Cn (F + G) =
(F\
+ G)(n)
(⇐ Cn の定義)
= (F + G)(e−n )
(⇐ フーリエ係数の定義 (8.2))
= F (e−n ) + G(e−n )
(⇐ 超関数の和の定義 (6.1))
ˆ
= Fˆ (n) + G(n)
(⇐ フーリエ係数の定義 (8.2))
= Cn (F ) + Cn (G)
(⇐ Cn の定義)
3
となるから示された．また 2) のほうも定義にしたがって計算していくと
Cn (cF ) =
=
d)(n)
(cF
(⇐ Cn の定義)
(cF )(e−n )
(⇐ フーリエ係数の定義 (8.2))
= cF (e−n )
(⇐ 超関数の定数倍の定義 (6.2))
= cFˆ (n)
(⇐ フーリエ係数の定義 (8.2))
= cCn (F )
(⇐ Cn の定義)
となり，Cn の線形性が証明された．
8.3
微分とフーリエ係数
前章で導入した超関数の微分と，前節で導入した超関数のフーリエ係数と
の関係を調べていこう．次の簡明な等式が成り立つのがよいところである：
命題 8.3
超関数 F ∈ D(T) と任意の n ∈ Z に対して
d )(n) = inFˆ (n)
(DF
(8.4)
が成り立つ．
証明] 左辺を計算していくと
d )(n) =
(DF
(DF )(e−n )
(⇐ フーリエ係数の定義 (8.2))
=
−F (De−n )
=
−F (−ine−n )
=
inF (e−n )
(⇐ 超関数の微分の定義 (7.3))
d −inx
(e
) = −ine−inx より)
(⇐
dx
(⇐ F の線形性)
=
inFˆ (n)
(⇐ フーリエ係数の定義 (8.2))
というように右辺と等しくなって証明できた．
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第 8 章練習問題
1. デルタ関数 δa (a ∈ T) の微分 Dδa の n 番目のフーリエ係数を求めよ．さ
らに，それを利用して −iDδ1 の n 番目のフーリエ係数を求めよ．
2. デルタ関数 δa (a ∈ T) の k 階微分 Dk δa の n 番目のフーリエ係数を求め
よ．
3. (8.1) の関数 f (x) = ek (x) (k ∈ Z) の n 番目のフーリエ係数を求めよ．
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