問題19 円管内定常流れ(Hagen-Poiseuille流れ) 水道局から家庭まで円管を通って水が供給されている。もちろん，水道局側である程度の圧力をかけている おかげで，離れた場所の蛇口をひねっても水が出る仕組みになっている。水道管は固定されていて，内壁に 接触している流体要素はやはり静止している。ということは，内壁に接触していない流体要素はある程度の 速度で内壁表面の位置での速度勾配はニュートンの式により壁面にせん断力（摩擦力）を与えることにな る。水道局はこの力によって減少する圧力（圧力損失）を考慮した上で，供給元の水圧を設定しいている。 r では，その摩擦力を知るためにも円管内の流れの分布，軸方向の vz 流速の半径方向の分布を求めよう。 流体の速度分布を知りたい → 運動の式 € z R ΔP 円管内，中心軸に対して軸対象 → 円筒座標 L € € 座標の設定は右図の通り， 知りたいのはz方向の流速 → z成分 € 1 ∂ ∂v z 1 ∂ 2v z€ ∂ 2v z ∂v z ∂v z vθ ∂v z ∂v z F 1 ∂P + vr + + vz = ν + z 基礎方程式 r + 2 2 €+ 2 − ∂t ∂r r ∂θ ∂z ∂z ρ ∂z ρ r ∂r ∂r r ∂θ ∂ ∂ ∂ =0 = 0 軸方向には十分長く流れて → = 0 軸対称 → 簡単化 定常状態 → いて，変化しなくなっている ∂z ∂θ ∂t v = v = 0 流速はz成分のみ → r θ € 特に問題で指摘されてい → Fz = 0 ∂P −ΔP ないので外力は考えない 圧力勾配は問題で → = 与えられている ∂z L 解くべき式 この段階で１変数のみ の微分になっており， ではなくdを使う 1 d ! dvz $ 1 ΔP ν =0 #r & + " % r dr dr ρ L （軸対象で定常） 1 d ! dvz $ 1 ΔP #r & = − r dr " dr % µ L → 境界条件 （粘着条件） d ! dvz $ 1 ΔP r r を両辺にかけて #r & = − dr " dr % µ L dvz 1 ΔP 2 =− r + A r で割って 積分して r dr 2µ L dvz ΔP =− r dr 2µ L さらに積分する ΔP 2 2 vz = (R − r ) 4µ L µ ρ ∂vz = 0 at r = 0 ∂r ① vz = 0 at r = R ② ΔP 2 r +B 4µ L 境界条件①より z R 流速分布 r=0 R vz L € € P2 ΔP 2 R 4µ L 大となり，そこを頂点と vz す放物線の分布になる。 dvz dr 解を検証する：壁面に作用する力，圧力差を作用反作用で考える 流体が壁に摩擦力を作用させているの で流体は反作用の抵抗力を受けている A=0 中心軸の位置で流速が最 vz € B= 境界条件②より R P1 なので．もう少し 簡単にしておく dvz 1 ΔP A =− r+ dr 2µ L r 円管 式を整理する 解 vz = − ν= τ = −µ 作用面の面積 2π RLτ = π R 2 ΔP をかけて 図の円柱部分の流 2 2 体に作用する圧力 π R (P1 − P2 ) = π R ΔP =− RΔP 2µ L = RΔP 2L r=R dvz dr r=R 円柱部分の流体に作用す る力は釣り合っている 検証できた！
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