有限要素法の概要 2013年9月9日後保範 1 差分法の概念長方形領域の偏微分方程式全体を直接解くのは難しい縦横格子で節点の解を計算 2 有限要素法の概念任意領域全体を直接解くのは難しい小領域（要素）に分けて節点の解を計算する 3 差分法と有限要素法 • 差分法(FDM: Finite Difference Method) 偏微分方程式を直接的に離散化  ui 1  2ui  ui 1  2u   2 x h • 有限要素法(FEM, Element Method) 要素に分け、重み関数を掛けて要素内で積分を行う   2u  2u     2  2 i d   fi d  x  y   4 差分法と有限要素法差分法有限要素法隣り合う格子点の物理量の収支を計算する要素内の全ての点における物理用の分布を計算する 5 有限要素法の基本 • 要素内部の物理量を節点の値で近似 • 要素内では1節点で値が1を持ち、他の節点では値が0となる形状関数を利用 • 領域の物理量は、節点の値と形状関数の乗算結果を集めて表す三角形要素形状関数 0 1 0 6 有限要素法のメリットとデメリット解法メリットデメリット構造が単純で、有縦横格子のため、複差分法限要素法より、高雑な領域に適用でき速計算できるない要素に分割する同じ節点数では、計有限ので、複雑な解析算時間が長く、データ要素法領域が扱える容量も多くなる 7 数値計算の手順差分法(FDM) 有限要素法(FEM) 式を直接離散化要素内積分帯行列行列スカイライン反復計算解法直接計算 8 離散化でえられる行列の形 0 0 0 0 0 0 差分法(FDM) 帯行列有限要素法(FEM) スカイライン行列 9 1次元有限要素法１次元ポアソン方程式  u   f in 0  x  1 2 x 境界条件（固定境界） 2 u0 on x  0 and 1 10 10 有限要素計算の原理 • 重み関数を掛けてポアソン方程式を積分 2 1 u 1  i dx   fi dx 2 0 x 0 • 2階微分の項を部分積分 u i 0 x x dx  1  u   x i   0 1 1  0 fi dx • 境界でu=0を代入 u i 0 x x dx  1 1  0 fi dx 11 11 有限要素における１次要素 i 1 形状関数 1 , 2 ,, n1 解uを節点での値ujと形状関数で近似する u ( x)  n 1 u  j 1 j j 12 12 １次要素による離散化 1 u i 0 x x dx  0 fi dxにu  1  1 i  j    dx u j   0 x x j 1   n 1 n 1 a u j 1 ij j  bi , 1  0 n 1  u  を代入 j 1 j j fi dx i  1,2,, n  1 13 13 形状関数（φ）区間： xi  x  x j i  xj  x , h x  xi j  h 共にxで微分する i 1   , x h j i 1 1 xi h xj  j 1  x h 14 14 積分に使用する形状関数 x  h  xi i  h xi  h  x i  h xi  x i 1  h i 1 ( xi  h) 1 1 1 h i ( xi ) x  xi i 1  h h i 1 ( xi  h) 15 15 要素積分計算(aij) • aijはj=i-1,i,i+1だけ値を持つ、それ以外はゼロ xi  h 1 i i 2 aii   dx   dx  2 xi 1 xx xi  h h h xi   xi 1 1 i i 1 aii1   dx   dx  2 xi 1 x xi  h h x h xi 1   xi h  1 1 i i 1 aii1   dx   dx  2 xi xi x x h h xi 1 16 16 要素積分計算(bi) bi    xi xi h  xi xi  h fi dx   xi  h xi fi dx xh x  h  xi xi  h  x f dx   f dx xi h h h f  0    ( x  h)dx   (h  x)dx  0  h  h 0 2 2 h    f x x     hx  hx   hf    h  2 2    h 0   17 17 離散化で得られる式 1 2 1  ui 1  ui  ui 1  hf , i  1,2,, n  1 h h h  ui 1  2ui  ui 1  h f , i  1,2,, n  1 2 u0  un  0 (境界条件) 差分法による離散化と同じ 18 18 行列表示 2 1 0  0 1 0 1  0  u1 2 h f 2 u2 h f 2  1 2  0 u3  h f 2  0   1 h f 2  0  1 2 un 1 h f 2 0 19 19 より一般的なケース１次元ポアソン方程式  2u in 0  x  1 k 2  f x 境界条件（固定境界） u u  g on x  1   on x  0 , x 20 より一般的なケースの計算  2u  2u  k 2 は  2 で得られた aijに kを要素ごとに乗算する x x u u 境界条件   on x  0はb0に  0 の計算値を追加 x x 0 1 u0が既知数から未知数に変わり、式が一つ増加する境界条件u  g　on x  1はbn 1に値 gを追加 21 u / x  の境界条件の計算 u  0 x 1 0 hx      0  h    h 0 h h 0 hx 0  h u   on x  0 x u0 h u1 22 行列表示(より一般化,k=1) 1 1 0 1 2 1 0 0 0 0   0 1 2 1 0  0 0 1 2   0 0 0   1     1 0 0 0  0 0 u0 0 u1 0 u2  u3  0   1 un 2  1 2 un 1 2 h 2 f / 2  h h2 f 2 h f 2 h f  2 h f h f g 2 23