プラズマ概論

2005.05.
プラズマ概論
•プラズマの状態方程式はPV=NT ?
理想気体とシールド付きクーロン相互作用をもつプラズマ
の違いはどこに？
•気体からプラズマへの転移をどのように記述するか
• 理想気体の定義
• 理想気体のBoltzmann分布の導入
• 状態方程式の導出
• 相互作用の導入
• 典型的な相互作用の場合の例
• プラズマ（シールド付きクーロン相互作用）の
状態方程式の導出
理想気体
• 理想気体とは？
粒子間相互作用が粒子の平均運動エネルギーに比べて無視
して良いほど小さい気体のことである。
• 理想気体の状態方程式
ＰＶ＝ＮＴ
粒子間相互作用を組み込むとこの方程式はどのように
修正されるか？
• 理想気体：Boltzmann 分布
n
1
e
 (   ) / T
e
(   ) / T
• 光子気体：Bose 分布
n
1
e
 (   ) / T
1
• 電子気体：Fermi分布
n
1
e
 (   ) / T
1
 1
Boltzmann 分布
• 理想気体が、あるエネルギー状態あるいは
位相空間をしめる占有密度分布は
dN  n( p, q )dpdq,
n( p, q )  e xp( ( p, q ) / T )
 e xp( K ( p) / T ) * e xp(U (q ) / T )
速度に依存した分布
位置に依存した分布
• 速度分布関数：Maxwell 分布
2
2
2
N
( p x  p y  pz ) / 2 mT
dNp 
e
dpx dpy dpz ,
32
V ( 2mT )
N
dNv 
V
 m 


 2T 
3/ 2
 m ( v x  v y  v z ) / 2T
2
e
2
2
dvx dv y dvz
• ポテンシャル分布関数：Boltzmann 分布
dNr  n0 e
 u( x , y , z ) / T
n( r )  n0 e
u( x , y , z ) / T
dxdydz,
• Boltzmann 分布は理想気体のエントロピー
極大の条件からも求めることができる。
即ち、平衡状態においてはエントロピーは最
大値を持ち、粒子数の保存、エネルギーの保
存の条件を付加することにより、


1
( S  N  E )  0,
n
T
T
ne
 1
  
T T
e

 
T
Boltzmann 統計の成立条件
• 理想気体では T>>U
• 即ち粒子数Ｎに比べて系が取りうる状態数Ｇ
N<<G
を満たす。これは、状態占有密度が１に比べ
て著しく小さい条件である。
n=exp ()/T1
• 粒子がエネルギー Tを有している。
• この粒子は運動量として
を持つ。
• したがって、この粒子は位相空間として平均的に
mT
32
V * (mT )
の体積を占める。
• この体積には状態数
32
~ V (mT )
/
3
が対応している。
• この数は粒子数Ｎに比べて遙かに大きい
•
N
V
•
  


 mT 
2
32
 1
この条件は
e/T1
に相当し、結局、n=exp ()/T1
は満足される。
状態方程式
F
P
V
• 自由エネルギーを分布関数で表現し、体積微
分を行う。
• Gibbs 分布からFを表現しよう。
k  e

k
k
F  Ek
T
1
Fermi 気体
• 理想気体の温度が低く、取りうる状態数が下が
り、粒子数が状態数と同程度の条件となる系で
の記述はBoltzmann分布ではなく、
新しい表現が必要。
• さらに、ある状態を取りうる場合に、各々の状態
に１個以上の粒子が同時に存在しえない条件
が付加される。
=>この制約は状態方程式をどう修正するか
まとめと予測
• Fermi気体の場合
理想気体ではあるが、量子力学的
交換相互作用（同じエネルギー状態に
１つ以上占有できない）が気体圧力を
増加させる。<=見かけの斥力
• 静止イオンー電子気体の場合どうなるのか？
シールド付きクーロン相互作用（実空間）
増加？減少？ ?
ガスからプラズマへの転移

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