Title Green関数における境界値問題の解法(第1報) Author(s) 古谷, 嘉志 Citation 富山大学工学部紀要, 16(1/2): 120-121 Issue Date 1965-03 Type Article Text version URL publisher http://hdl.handle.net/10110/9854 Rights http://utomir.lib.u-toyama.ac.jp/dspace/ 120 関数による境界値問題の解法古 (第1報〉 '口ノ~i 最 Study on Boundary value problem using Green function. Y oshiyuki 山士 Green (1) FURUYA One boundary value problem of parabolic differentiaI equations are tre旦ted. Auther tried to soIve them by using a Green function of Sturm-Liouville type. はしがき一様でない俸の熱伝導の問題には 1 y_(_ òx \ ψ (x_) 笠ì òxJ -q(x)v=C(x)笠なる放物線型偏微分方程式が表われる。(1)この論文ではこの式をある境界条件のもとに考察しようというものである。ここではラプラス変換を用いてSturm LiouviIl e 型の微分方程式に変形して考察した。 1. q(x)=0 の場合 (1) 会(，þ�王ァ��)=削岩を境界条件 v(O， t)=1 v(b，t)=O … … ...・H・H・H・.. . .(2a) V(x， 0)=0 ・H・H・......・H・....・H・"(2b) 初期条件で解く問題を考える。 (1) (2 b) をLaplace 変換するとー …............ …・・(3) d I 1 òV \ (x)PVーート十 dx J dx \ ψ(x)=" ��-)=と V(かよV(ト0 任) 次に日(1 òG(x，め1)=- o(x- o ・・ ……. '(5) 五五同玩了一一示 …… G(O，め=G(b， 0=0 - … - … … ・・・・ "(6) なる Gr配n関数を作る。 (3)の両辺に G(x，めをかけ5()の両辺に V(x) をかけて辺々相減じた後 (0， b) で積分すると一 òG(O， 0 1 一←一一___2 -"--- ..p )(I b0と(x)V(x)G(x， V(め一一一一 òX pψ(0) �)dx ……- … ………・・ '"・H・..……υ・・ '(7) を求めると，逐次代入法により第二次近似解 (b i.T?�\ _ 1 òG(O， t7) 一 !と(x)G( V(め一 x， 0 ) òX pψ(0) òG( x) O， 1 予而7一五五 (8 ) dx t=b において t時間内に放出する熱量 Q (t) =一一L r MUL dt (ω ψ(b) ) 0 を計算する。 Laplac e 変換すると Q(P) - ψ(，)"1b) P1 VX(b)・…・…μ…-…..... .(10) _ ........... ー = + (8)より b ��ーの) òX ò;.0 _ Jí 0ψ(0) P q>(0) 担旦型よ五三2_ 百七 2 �区包� 日X dx ò G(0， b) (b 1 (x) 1 VHb) 一一一一一一 Pψ(0) òX òき一一一|) 0一一;\C ψ(0) òG(x， b) òG(Ox)， ò� òX 岡に代入して，， __b) 一1一一竺区() 1 dtp 〕 = òXòき十 Pψ(0)ψ(b) p2ψ(0)ψ( b) j bo C(x) B一一叫(0， x) dx …・・同 G 〔一b一〕一一言正一一 ;2 次に G(x，めを日I(一両ア一王子'-"-1 òG(x，め )\_f\ 一り [ 1] x二時で、両 G(O， 0=G(b， 0=0 [II] G(x， 0は連続。 [ill] G'x(x， 0はx=きで- CÞm のとびを持つ。という性質に従って求める。 (2)(3) 性質[ 1 ]より rA(めtψ(州 (xくめ - (a) ・ G(x， 0= i (y lB (めJ �cþ(刷η (x>さ) 性質[II]より A叫ド州η=B刈iψ州dq ω 性質[ill)より B(さ)- A(め=-1 ・H・H・......・H・.....・H・-……・・(c) (b)， (c )よりA(め， B(めを求めると A(か- t J:州dη B(O= - -b:-， Jí<ψ〔η)dη 0 S=j:州dη これを(a)に代入して G(x， �) = - -1;-δ Jí �0 ψ(めdηrJ 0�ψ〔η)dη (x>� ) 同)=� u山 1"'/ =一 (ロ)を逆変換すると t討� ! CÞ刷 ...……問 _ 12 1 一一 !�_ �Q�__b) t十一一1 Q(t)= 一一一一一 ψ(0)ψ(b) ψ(0)ψ(b) ðx ð� 側じの )盟主旦盟22Ldx (12)より竺戸ーかb) 仁川q ðG(O， x) ' 1_>J^ 凶 rþ O)' Jí X rþ(q)dη ð正一 =--s( b 宣豆笠L旦= 1( ψ 0)( ψ b) x ð� -- S (凶を闘に代入すると x 1 (b�，，， S...... ，""'x)../'-0.d""x)(1ψ(η )dη1 ， J(bx ψ 〔可)dη 0 ，'，./v.' Q(t)=ー1. S t+ S:-' 2ー J1.0( 伺・.. . . . . . . .Tof. . ". . . . . . . . . c， (x 2， q )キO の場合は) 的):: = 会[øb了 27 ] -qU〉V を境界条件 (2a) V(O，t)=1，V(b， t)=0 ( 2 b) 初期条件 V(x，0)=0 で解く。 ωをLaplace変換すると dv 1一 d r 1 ) q 〉}V 面l rþ(ぽ uj={PZ(x) +U (8) J (2)は V(O)=古V(b)=0 前節(7)を導いたのと同じ方法で íb 1 1 ðG(O，�) W，"ìV(町一京可F q x) F- _ j 。{P( 4 z〉十( 仏) }V(x)G(x，めdx o O+A1(わP + V(の=A-( l �)ト A( ) とおいて性に代入し両辺を比較してPの係数を求めん(わP以上のE貨を略して近似すると， ðG(O，め íb r 1 V(め = l-抗õ) b(x)G(x，0 --"'='--��_2L_ J 0 ðG(O，X) ， 1 1 íb )G x，C) 1 台;:="-dx J 'p--- J o，(x ( 予l灯 ðGCO， x) -'-'-"-dx 1 _O_=-_' -(5) ψ(0) 前節と同様 ðv(b，t) 1 Q(t)=-Jí t。 ψ( _C_-O dt 五�__b了を計算する。 Laplace変換すると . . . . ・. H・H・H・.……・・……H・…………… _ ^' ・ H・H・.. . . . .…H・H・. . .・H・-… ' …一一……一一……・・… ・・・… - ・ H・H・' (6) ) 一一1一一 �-Vx(b) Q(P = ψ(b) (5)より r 1 ð2G(0，�) í b V(さ )= 干 q x) (0了一日�>/ -J. rþêO了( ðG(X，0 ðG(O， x)ι1 1 í b 1 aき J 0ψ(0) J P ðX �) ðG ( X， ) 巴 G ( O，x '(x)一一五百一 ---=-�- � dx Sにbを代入した式を(6)に代入して QIP〉=- L J。ト1 竺盟___hl_ ψ(b) p2 L ( ψ 0) ðX ð� b 並��勾l 並当__i)2_ \J 0� ( ðx - - J ψC 0) q x) ðf (b 1 ðG(X，b) '.，...x)) ð� ψ 0) ( ( ψ(b) \l o. T.;(\\ ðG(O， x) dx (7) ðx 逆変換して 2区��eb) \\ω Q(t)= ー ψ((()，; J L ðx ð� b) rô 0)( ψ "， (l-\ 1 2空白，___i}2___q区旦_"_& ーし J. Iψ(0)ψ(b) ðf ðx BG M b) BG仇ゆ玩-=--- dx j b。( ζ x) ��' é-一前節凶を代入して X Q(t)=[t +会� : ( q 刷 fo rþ (q )叶 :ψ 切 )dη Jt _. _ � ，- / .c ，一一一一 '・・・ …・ー・・…・・・・……・・・・・ _ u_" rþ +モ去台 jル:〉c的ωω(ωωxω刷〕川dxJ:川 K仰州〈ω的ηω川〉結語 .・ (8) ( q x)=0の場合と(x)キ0の場合のQ(t) がく115) と(2ーので比較できる。後者の場合 tの一次の項の係数にq(x) を含んだ附加項が加わることがわかる。これは特殊な境界条件に対する解であるが一，般の場合の研究は今後の問題としたい。なお本研究を行うにあたり，御支援を賜わった本学教授長元亀久男先生に感謝の意、を棒げる次第である。参考文献 (1) T. A.S Jackson，“Note on Calculation ・of Tlmeー Lag."Q. Mech， Appl，Math， Vol， XVll， Partl， 1964-2 (2) (3) 犬井鉄郎イ・グベトロブスキー“偏微分方程式" (昭和39， 10， 30 受付) “偏微分方程式とその応用"