2016/04/22� 演習(2)つづき 演習(2) �半径 200 mの円周に沿って加速しながら走ってい る物体がある。� �この物体は， 1秒あたり時速9キロメートルずつ，� 一定の割合で加速するものとする。� �このようにして物体の速さがちょうど時速108キロ メートルに達した瞬間には，加速度ベクトルの接線 方向と (主)法線方向の成分ベクトルの大きさはそれ ぞれいくらになっているか。� �また， この瞬間の加速度ベクトルの大きさは重力加 2 10 m / s 速度の大きさ（ここでは， 簡単のため�������������とする） の何倍か。� � �以上の 3 つの数値を計算し， 結果を有効数字 2 桁 で表しなさい。� � �上記の瞬間の加速度ベクトルは軌道に対してどのよ うな方向に向いているか。軌道の図に描き入れて示し なさい。� 軌道上の運動点の加速度� 軌道上の運動点の加速度� a= dv t dt 2 dv v t+ n R dt P dv = 2.5 m/s 2 dt v2 n R 曲率中心 v 2 30 × 30 = = 4.5 m/s 2 R 200 C R = 200 m ( 4.5 )2 + ( 2.5 )2 = 20.25 + 6.25 = 28.5 = 5.3 dv = 2.5 m/s 2 dt 4.5 m/s 2 曲率中心 C dv v2 t+ n R dt P 5.3 m/s 2 0.53倍� v 2 30 × 30 = = 4.5 m/s 2 R 200 R = 200 m v = 108 km/h v = 30 m/s v = 108 km/h v = 30 m/s dv 9 km/h = s dt dv = 2.5 m/s 2 dt dv 9 km/h = s dt dv = 2.5 m/s 2 dt 質点の力学 ニュートンの墓碑 質点： 物体の大きさと形を無視し， 質量を一点に集中 させたもの� 質量中心が質点としてふるまうことが， あとで 示される� 参考� a= 2.5 m/s 2 しつ‐てん【質点】� 〔理〕(質量だけを持つ点の意) 全質量が質量中心に集 中した， 大きさ・形のない仮想的な物体。通常の物体 (例えば地球)でも， その大きさが全体(例えば太陽系) からみて十分に小さい時には， これを質点とみなし得る。� ？ ➡—‐けい【質点系】 �（広辞苑 第六版より）� � Newton’s Tomb (Westminster Abbey, London) 熱力学� Lord Kelvin ？� 電磁気学� 力学� Newton 数学� 光学� Maxwell Dirac 量子力学� 1� 2016/04/22� 力の独立の法則 ニュートンの運動の法則 第1法則（慣性の法則）� �他の物体から十分に離れた質点は等速直線運動をする� 第2法則（力の定義， 運動方程式）� �質点の運動量の時間的変化は，これに働く力に等しい� � � dp =F dt � � � � (p = m v) �→ 慣性系� 第2法則が成り立つ 座標系� F1 F1 F2 m 2つの力が働いている� どちらも同じ運動をする� （力の効果はベクトルの足し合わせ）� 微分方程式を解く� dv =g dt まずはじめに，（ベクトル）運動方程式をたてる� この場合は直交座標系（鉛直下方を z 軸の正の向き)を選んだ� (1) ⎧ d vx =0 ⎪ ⎪ dt ⎪ d vy =0 ⎨ ⎪ dt ⎪ d vz ⎪ dt = g ⎩ (2) つぎに，それぞれの微分方程式を解く 時間 について積分して解く � t 初速度ベクトルと重力加速度ベクトルを 含む面をx-z平面に選べば y 方向には力が働かず初速度成分がゼロだから つねに� y=0 質点はつねにx-z平面にとどまる 鉛直下方を z 軸の正の向きとしているから� (2) (2) まず，成分に分けて考える（両辺の成分同士が等しい） (1) 式の両辺を� m で割って式を簡単にする� dv =g dt 1つの力が働いている� F1 + F2 一様重力場における落下運動 （抵抗のない場合） dv =g dt F2 F1 , F2 第3法則（作用反作用の法則）� �2質点間に働く相互作用は，2質点を結ぶ方向に働き， �大きさは等しく向きは反対である� dv m = mg dt m F1 + F2 ⎧ dvx ⎪⎪ dt = 0 ⎨ ⎪ dvz = g ⎪⎩ dt ⎧ dvx ⎪⎪ dt = 0 ⎨ ⎪ dvz = g ⎪⎩ dt (3) ⇒ ⎧ vx (t) = C1 ⎨ ⎩ vz (t) = gt + C2 (4) 初速度の条件を満足するように積分定数を定める� (3) ⎧vx (0) = v0 x ⎨ ⎩ vz (0) = v0 z ⎧ v0 x = C1 ⎧ vx (t) = v0 x ⇒ ⎨ ⇒ ⎨ ⎩ v0 z = C2 ⎩ vz (t) = gt + v0 z (5) 2つの微分方程式を解けばよい� 2� 2016/04/22� 初期位置を原点に選ぶと dx ⎧ ⎪⎪vx = dt ⎨ を考慮すれば ⎪ v = dz ⎪⎩ z dt ⎧ dx ⎪⎪ dt = v0 x ⎨ ⎪ dz = gt + v 0z ⎪⎩ dt ⎧ vx (t) = v0 x ⎨⎩ v (t) = gt + v z 0z ⎧ x = v0 x t ⎪ 1 2 ⎨ ⎪⎩ z = 2 gt + v0 z t これらの式から時間を消去すると という x と z に関する微分方程式の組となる� 2 z= ⎧ x = v0 x t + x0 ⎪ 1 2 ⎨ ⎪⎩ z = 2 gt + v0 z t + z0 これらの式をそれぞれ� 時間について積分し� 初期位置を考慮すると (6) 2 v v ⎞ v 2 x 1 ⎛ x ⎞ g ⎛ g + v0 z = x + 0x 0z ⎟ − 0z v0 x 2v0 x 2 ⎝⎜ 2 ⎝⎜ v0 x ⎠⎟ g ⎠ 2g (8) 放物線の軌道が得られた� 鉛直上方を z 軸の正の向きにとりなおすと� 2 z= − これは， 初期条件を満足する微分方程式 (2) の解である� 斜方投射運動� v v ⎞ v 2 g ⎛ x − 0x 0z ⎟ + 0z g ⎠ 2g 2v0 x 2 ⎜⎝ (8 ′ ) 少し考える問題� 2 v v ⎞ v 2 g ⎛ x − 0x 0z ⎟ + 0z z= − 2 ⎜ 2v0 x ⎝ g ⎠ 2g ⎪⎧ v0 x = v0 cosθ ⎨ ⎪⎩ v0 z = v0 sin θ 初速 v0 と仰角 θ • 頂点の高さ： zP = v0 z 2 2g • 水平到達距離： xH = 2xP = 2 高さ �h の崖の端から， 速さ v�0 で物体を投げ上げたとき� 水平到達距離を最大にするには， 物体をどういう角度で� 投げ上げればよいか？� v0 � 分からなくても 大丈夫です� θ h v0 x v0 z 2v0 2 cosθ sin θ = g g • 地面から45°の角度で投げ上げると v 2 sin 2θ v0 2 xH = 0 ≤ 水平到達距離が最大になる� g g 一様重力場における落下運動� 水平到達距離� 一様重力場における落下運動� （速度に比例する抵抗がある場合） （速度に比例する抵抗が働く場合） まずはじめに，（ベクトル）運動方程式をたてる� − bv b>0 m m v mg dv = mg − bv dt (1) 式を簡単にするため (1) 式の両辺を�m で割り� x O z α= b m (2) で置き換えると dv = g − αv dt 3� 2016/04/22� 微分方程式を解く� z成分の微分方程式を解く� dv = g − αv dt d vz = g − α vz dt 両辺のベクトルの成分同士が等しい 直交座標系で， 鉛直下方を z 軸の正の向きにとると� ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩ dvx = −α vx dt (3) dvz = g − α vz dt (4) (4) 式を変形し d vz = −α g dt vz − α 1 時間 t� について積分する ∫ (3)式と(4) 式の微分方程式を，それぞれ解けばよい� ここで置換積分法(数Ⅲ)を利用 したがって x = h (t) のとき dx ∫ f (x)d x = ∫ f (x) dt dt ∫ f (vz ) = 1 g vz − α ∫ dvz dt dt ならば� log vz − ∫ 1 g vz − α ∫ d vz = g = −α t + C1 α dvz dt g dt vz − α 1 vz − g = ±e−α t +C1 = ±eC1 e−α t = Ce−α t α t = 0 のとき������ v z = v 0z とすると� ここで初期条件を考慮し， �� g C = v0 z − α すなわち� vz − dvz dt = − ∫ α dt g dt vz − α 1 dvz dt = g dt α g ⎛ g⎞ = ⎜ v0 z − ⎟ e−α t α ⎝ α⎠ vz − 1 ∫ 1 vz − g α dvz = − ∫ α dt 積分を実行すると� log vz − vz − (6) (6)式の関係を指数関数を使って書き直すと d vz dt = −∫α dt g dt vz − α 1 ∫ ( = ∫ f (h (t)) h′ (t)dt ) x の代わりに� v z を使うと vz = h (t) f (vz )d vz = ∫ f (vz ) (4) vz = g = −α t + C1 α (6) g ⎛ g⎞ = ⎜ v0 z − ⎟ e−α t α ⎝ α⎠ (7) dz ��を考慮して式を整理すると dt dz g ⎛ g⎞ = + ⎜ v0 z − ⎟ e−α t dt α ⎝ α⎠ (7 )′ という z に関する微分方程式が得られる� この式を時間について積分し，初期位置を考慮すると z= g 1⎛ g⎞ t + ⎜ v0 z − ⎟ (1 − e−α t ) + z0 α α⎝ α⎠ (8) (7) (8)式は，初期条件を満足する微分方程式 (4) の解である� 4� 2016/04/22� x 成分の微分方程式の解は� 終末速度（ terminal velocity ） 同様な手順で微分方程式 (3) を解いて得られる（今日の演習）� ⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩ dv x = − α vx dt dv z = g − α vz dt (7) 式で， ��t → ∞ の極限を考えると� (3) 速度成分が一定値に収束することがわかる (4) (3)式は(4)式の特別な場合（��g = 0�）であるから� 0 を代入し， (4)式の解に g = �� z を x� で置き換えても求まる�� 1 g g t + (v 0z − ) (1− e −α t ) + z0 z = α α α v 0x −α t (1 − e ) + x 0 x = α 終端速度，終わりの速度� ⎧ v x = v 0x e −α t ⎪ ⎨ g g −α t ⎪⎩ v z = α + (v 0 z − α ) e → ⎧ vx = 0 ⎪ ⎨v g z = α ⎩⎪ (8) b = mα ）が求まる� 終末速度を測定すれば抵抗の係数（��� (9) 有限の時間内に， 実質的に収束する� ホームページ：� ∞ ところで， ��t → �������の極限で 一定速度に収束することが最初から仮定できれば http://www.opt.phys.waseda.ac.jp/komatsu/PhysicsA/� 授業の６日前 はじめの ベクトル運動方程式� dv = mg − b v m dt Ø 配布資料，演習 (1) に� dv ��� = 0 を代入して，ただちに終末速度を求められる� dt ⎛ 0 ⎞ m⎛ 0 ⎞ ⎜ m = mg ⎟ mg − b v (∞) = 0 ⇒ v (∞) = g = ⎜ ⎟ ⎟ b⎝ g ⎠ ⎜ b ⎝ b ⎠ 授業の１日前 Ø ＰＰＴ（内容抜粋） 授業の直後 Ø 演習解答例，Ｑ＆Ａ 質問は� Course N@vi でもOK� 回答まで数日かかる� ときもあります� 試験の１ヶ月前 Ø 理解度確認試験の過去問（解答なし） 5�
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