力学レポート問題 2 解答

力学レポート問題 2 解答
問１
1. 衝突前の B の速度ベクトルを ~v 、衝突後の A と B の速度ベクトルを ~vA 0 と ~vB 0 とおく。
A と B の質量を m として、運動量保存則より、
m~v = m~vA 0 + m~vB 0
→
∴
~v = ~vA 0 + ~vB 0
(1)
エネルギー保存則より、
1
1
1
m|~v |2 = m|~vA 0 |2 + m|~vB 0 |2
2
2
2
→
|~v |2 = |~vA 0 |2 + |~vB 0 |2
∴
(2)
式 (1) の辺々の内積から、
|~v |2 = |~vA 0 |2 + |~vB 0 |2 + 2~vA 0 · ~vB 0
→
∴
~vA 0 · ~vB 0 = 0
(∵ (2))
2. 垂直方向は自由落下なので、A と B で等しく、
√
1 2
2h
h = gt
→
∴ t=
2
g
√
√
g
g
lA
0 lB
= lA
。B:vB
= lB
。
3.
=
t
2h
t
2h
4. 縁に平行な方向の運動量保存則より、
0
A:vA
0
0
0
vA
sin θA = vB
sin θB = vB
cos θA
(∵ θA + θB =
π
)
2
→
∴
tan θA =
0
vB
lB
0 = l
vA
A
π
)
2
→
∴
tan θB =
0
vA
lA
=
0
vB
lB
5. 縁に平行な方向の運動量保存則より、
0
0
0
vB
sin θB = vA
sin θA = vA
cos θA
(∵ θA + θB =
問２人と板の間の力は内力であり、全外力はゼロであるから全系の重心は動かない。板の重心の
始めの位置を原点、板の動いた距離を x とする。板と人の重心は、歩き始める前は、
mL
m
=
L
m+M
m+M
X=
であり、歩き終った後では、
X0 =
m
M x + m(x − L)
=x−
L
m+M
m+M
である。X = X 0 であるので、答えは、
x=
2m
L
m+M
問３運動方程式は、
m
d2 x
= ae−bt
dt2
特解は、右辺と同じ時間依存 e−bt を持つ (a/mb2 ) e−bt 。斉次方程式の一般解は 1 次式 Ct+D。
従って非斉次方程式の一般解は、
x=
a −bt
e + Ct + D
mb2
初期条件から、C = a/mb、D = −a/mb2 であるので答えは、
x=
]
a [ −bt
e
+
bt
−
1
,
mb2
]
dx
a [
=
1 − e−bt
dt
mb

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