微分法 ☆積の微分法 0 0 (f g) = f g + f g 0 ☆商の微分法 0 f 0 f g − fg ( ) = g g2 0 ☆合成関数の微分法 0 0 0 {f (g(x))} = f (g(x))・g (x) ☆微分可能性 0 f (x) が x = a において微分可能(f (a) が存在)ならば x = a において連続 ★問題 次の関数を微分せよ 1 (1) 映像:(導入)微分法1 1 f (x) = √ x (2) y= 3x − 1 2x + 1 (3) 映像:(導入)微分法1 y = (3x2 + 1)4 (4) 映像:(導入)微分法1 y=3 √ x2 − 3x + 4 1 2 映像:(導入)微分法1 f (x) = x2 − 4x − 1 x+1 0 のとき f (2) の値を求めよ 3 f (x) = ax + b (x ≤ 2) f (x) = x − 1(x > 2) x−1 が x = 2 において微分可能のとき定数 a, b を求めよ ★★問題 1 次の関数を微分せよ (1) y = x3 (x − 1)3 (2) y= x5 − 4x3 + x2 − 1 x3 y= 3x − 1 x2 + 1 (3) (4) y=√ x x−1 (5) 映像:(導入)微分法1 √ y = (x + 3) x + 1 2 (6) 映像:(導入)微分法1 y=4 √ x2 − x − 3 (7) 映像:(導入)微分法1 y= x2 + 1 x−1 (8) 映像:(導入)微分法1 y= √ √ a+ 1+x (9) y= x+1 x−1 (10) √ y = 3 1 − 2x (11) √ y = x x2 + 92 (12) √ y= √ 1− x √ 1+ x 2 0 関数 f (x) において f (2) = 1, f (2) = 3 のとおき次の極限値を求めよ (1) f (2 + 2h) − f (2 − 3h) h h→0 lim (2) lim x→2 2f (x) − xf (2) x−2 3 3 f (x) = x2 + 1(x ≤ 1) f (x) = ax + b (x > 1) x+1 が x = 1 において微分係数を持つとき定数 a, b を求めよ 4 ☆様々な関数の微分法 ・三角関数の微分法 0 0 0 (sinx) = cosx (cosx) = −sinx (tanx) = ・指数/対数関数の微分法 ネイピア数 e を用いて y = ex の微分係数が ex であると定義すると ex+h − ex = ex h h→0 0 y = lim より eh − 1 =1 h h→0 lim を満たす数が e といえる。 またこの関数に対数をとった関数は自然対数と呼ばれ loge x ≡ logx と e を省略して書く この関係を用いれば log eh = log(1 + h) 1 lim (1 + h) h = lim (1 + h→0 n →∞ 1 n ) =e n を e の定義と見なすこともできる またこの関係より様々な微分公式が導かれる 0 (ex ) = ex 0 (ax ) = ax loga (a > 0, a 6= 1) 5 1 cos2 x (証明) a x = eA log ax = A ∴ A = x log a (ax )0 = (ex log a )0 0 (logx) = 1 x 0 (loga x) = 1 (a > 0, a 6= 1) xloga ★問題 次の関数を微分せよ (1) 映像:(導入)微分法 2 y = sin2x (2) 映像:(導入)微分法 2 y = cos2 x (3) y = xtanx (4) 映像:(導入)微分法 2 y= √ 1 + sin2 x (5) 映像:(導入)微分法 2 y = log √ 1 + x2 6 (6) 映像:(導入)微分法 2 y = ex sin2x (7) y = ax loga x(a > 0, a 6= 1) (8) 映像:(導入)微分法 2 対数微分法(両辺の対数を取ってから微分する。(変数)変数 の形に有効) を用いて y = xsinx (9) 微分係数の定義を用いて e3x − e−x x x→0 lim (10) 微分係数の定義を用いて lim x→1 logx x−1 ★★問題 1 次の関数を微分せよ (1) y = sin2xcos3x (2) y = sin3 x (3) y = sin(x2 ) (4) y = tan2 3x 7 (5) y= sinx 1 + cosx (6) y = tan(sinx) (7) y= √ 1 + cos2x (8) y = sin( π − 2x) 4 (9) y = log4x (10) y = e2x (x + logx) (11) y = (x2 + 3)e−3x (12) 映像:(導入)微分法 2 y = e−x 2 (13) y= ex +1 ex (14) y = log|sinx + cosx| (15) y = xlogx − x 8 (16) y = log(x + √ x2 + 1) (17) √ y=x 2 (18) y= (2x + 1)(x − 2) (x − 3)2 (19) y = xlogx (20) (x + 1)3 y = 3√ 2x + 1 2 微分係数の定義から次の極限値を求めよ (1) ex log(x + 1) x x→0 lim (2) sin3 x − sin3 a x−a x→a lim 3 次の関数を微分せよ (1) y = x2 sin(3x + 5) (2) y = (sin2x + cos3x)2 (3) y = sin x−1 x+1 9 (4) y = xcosx − sinx (5) y= 1 xlogx 2 (6) y = log| a + x2 | a − x2 (7) y = sin(log(x2 + 1)) (8) y= √ xlogx (9) √ y ={log( x + 1)}2 (10) y= √ log2 x (11) y = x3 e−x 10 ★★★問題 1 (1) 1 lim (1 + h) h = e h→0 をもちいて x > 0 のとき 0 (loga x) = 1 (a > 0, a 6= 1) xloga を示せ (2) ex − 1 =1 h h→0 lim を用いて 0 (ax ) = ax loga (a > 0, a 6= 1) を示せ 11 ☆ n 次導関数 y = f (x) を n 回微分したもの ☆ f (x, y) = 0 型の関数の微分 y = f (x) に直しにくいときに非常に有効 0 y を x で微分すると y ・y となることを利用する 例 映像:(導入)微分法 3 x2 + y 2 = 25 の x での微分 0 0 2x + 2y ・y = 0 ∴ y = − x y となる ☆パラメタ表示された関数の微分 x = f (t), y = g(t) であるとき 0 y = dy = dx dy dt dx dt 0 つまりそれぞれ t で微分し割るだけで y が求められる ★問題 1 次の関数を 2 回微分せよ (1) 映像:(導入)微分法 3 y = x5 (2) y = sin2 3x (3) y = e−2x 12 2 次の関数の dy dx を求めよ (1) x2 + (y − 2)2 = 4 (2) y2 x2 − =1 4 9 3 次の関数の dy dx をパラメタを用いて求めよ (1) x = 2t2 + t − 1 , y = 3t − 1 (2) x = θ − sinθ , y = 1 − cosθ ★★問題 1 次の関数の n 次導関数 y (n) を求めよ (1) y = x6 (2) y = sinx (3) y= 1 x (4) y = e−x 13 2 次の関数の dy dx を求めよ (1) x3 + y 3 = 1 (2) ex − logy = 2x 3 次の関数の dy dx をパラメタを用いて求めよ (1) 1 1 x = t + , y = t2 − 2 t t (2) x = 2cosθ , y = 3sinθ 4 x = t2 − 1 , y = 4t − 2 のとき d2 y dx2 を t で表せ 14 ☆接線の方程式 0 関数 y = f (x) で x = a における接線の方程式は接線の傾きが f (a) であるので 0 y = f (a)(x − a) + f (a) ☆平均値の定理 関数 f (x) が a ≤ x ≤ b で連続かつ a < x < b で微分可能なら 0 f (c) = f (b) − f (a) (a < c < b) b−a を満たす c が少なくとも1つ存在する これは a から b までの変化の割合(平均変化率)と微分係数が等しくなる点が存在すると いう意味である。 ★問題 1 次の点における曲線の接線と法線を求めよ (1) y= x (3, 3) x−2 (2) 映像:(導入)微分法 3 y = ex (2, e2 ) 2 映像:(導入)微分法 3 y = log(x − 1) に対し,点(1,0)から引いた接線の方程式を求めよ 3 関数 f (x) = 1 x において 15 0 f (c) = f (3) − f (1) 1 < c < 3 2 を満たす c を求めよ 4 関数 x2 + y 2 = 25 の上の点 (α, β) における接線の方程式を求めよ ★★問題 1 次の曲線の [ ] 内で与えられた点における接線の式と法線の式を求めよ (1) y= π sinx [x = ] x 2 (2) y = xlogx [x = 1 ] e (3) y = e−x − 1 [x = −1] 2 x = et cosπt ,y = et sinπt で表される曲線の t = 2 での接線と法線の式を求めよ 3 原点を通り,曲線 y = logx − 1 に接する直線の式を求めよ 4 2 次関数 f (x) = px2 + qx + r と異なる2つの実数 a, b について 0 f (c) = f (b) − f (a) b−a 16 を満たす c の値を a, b を用いて表せ 5 y = 12 x2 の異なる 2 点A (a, 12 a2 ), P (p, 12 p2 ) における法線の交点をQとする。PをAに 限りなく近づけるとき,点Qが限りなく近づく点の座標を a を用いて表せ。 17 ☆グラフの書き方 (i) 定義域を押さえる 0 (ii)f (x) を求め,グラフの増減を知る (iii) 必要に応じ(※)x → ± ∞, 0, α の極限値を調べる。 ※不定形を必ず意識し,そこでの極限値を必ず求める ☆変曲点 00 2 次導関数 y が 0 となる点 そこを境にグラフの凹凸が変わる 00 f (x) < 0 →上に凸 00 f (x) > 0 →下に凸 ★問題 1 次の関数のグラフを書け (1) y= x−1 x2 + 3 (2) 映像:(導入)微分法 3 y = xe2x (3) y = x4 − 2x3 − 12x2 + 3x + 8 (4) y = xe−x (5) y= x2 x−1 18 ★★問題 1 次の関数のグラフを書け (1) y =x+3+ 1 x−1 (2) y= 18x − 1 x2 + x + 1 (3) y = x2 e−x (4) √ y = x 2 − x2 (5) y= x−2 x2 + x − 2 (6) 映像:(導入)微分法 3 y= logx x (7) y = ex+2 + e−x (8) y = sin3x + cos3x (9) y = −2eπx sin(2πx) (0 < x < 1) 2 19 次の関数の最大値,最小値を求めよ (1) y = sinxcos3 x (0 ≤ x ≤ π) (2) y= x2 x +2 (3) y= x−1 x2 + 1 y= 1 1 π + (0 < x < ) sinx cosx 2 (4) (5) y = xlogx (6) y = (3x − 2x2 )e−x (7) y =x+ √ 4 − x2 3 (1) 放物線 y = x2 の上の点をP,A(3,0)とするとき線分APの最小値を求めよ (2) 2 点A (1,0),B(-3,0) とする点P (x, y) が円 x2 + y 2 = 4 の上を動くとき PA+PB の最大 値を求めよ (3) y= x2 + 3x + 6 , x = t3 − 3t + 2 x+1 20 とするとき,−1 ≤ t ≤ 2 における x の最大値,y の最小値を求めよ 4 logx = ax の実数解の個数を a の値によって分類せよ 5 次の不等式を示せ。ただし x > 0 のとき sinx < x は使ってもよい (1)x > 0 で, 1 cosx > 1 − x2 2 (2)x > 0 で 1 sinx > x − x3 6 6 → → 速度ベクトル − v は位置ベクトル − x = (x, y) に対し → d− x dx dy − → v = =( , ) dt dt dt と表される。今 x = et + e−t y = e−t − e−t → で与えられるとき,速さ(|− v |)が最小となる t の値を求めよ。 21 ★★★問題 1 f (x) = x−a x2 + 1 として 0 (1)f (x) を求めよ (2)f (x) の極値の1つが 1 2 のとき定数 a を求めよ (3)a が (2) で求めた値のとき y = f (x) のグラフをかけ 2 関数 f (x) = e2x − 4aex + 2x + 3a が極大値と極小値を持ち,それらの和が −6 とする。 a の値と極値を取るときの x の値を求めよ 3 曲線 y = (x − a)2 (x − b) の変曲点の座標を a, b で表せ 4 体積が √ 3 3 4 の正三角柱の表面積の最小値を求めよ 5 円 C : x2 + y 2 = 1 の第 1 象限内の点Aにおける接線を l として,l と y 軸との交点をP, l と直線 y = −1 との交点をQとする。また,R(0,-1)とする (1) △PQRの面積 S を点Qの x 座標 t を用いて表せ (2)S の最小値を求めよ 6 x2 + (y − 1)2 = 1 4 上の点Pと y = logx 上の点Qを結ぶ線分PQの長さの最小値を求めよ 7 f (x) = (x2 − px + p)e−x が極小値を持つとき,その極小値の最大値を求めよ 8 映像:(典型)微分法1 x の方程式 22 1 1 = +k x−3 x−1 の実数解の個数を求めよ 9 次の不等式を示せ (1) xcosx ≤ x2 + sinx (x ≥ 0) (2) 1 1 < log(x + 1) − logx < (x > 0) x+1 x (3) log(1 − x) + x < 0 (0 < x < 1) 1+x (4) ( log 1 1 − x2 ) ( ≤ 1 log 1 − x2 )2 + 1 4 10 関数 √ f (x) = 5 + 3e2x 1 + ex (1) lim f (x) , lim f (x) x →∞ x →−∞ を求めよ (2)f (x) の最小値を求めよ (3){f (x)}2 が整数になる x の個数を求めよ 11 映像:(典型)微分法1 関数 f (x) = x2 e−x 23 (1) この関数のグラフの概形を描け (2)x 軸上の点P(a,0)より y = f (x) に3本の接線がひくことができる a の値の範囲を 求めよ 24 ★★★★問題 1 映像:(典型)微分法2 関数 f (x) = ex − 0 00 x3 6 000 (1)f (x), f (x), f (x) を計算せよ (2) x ≥ 0 で ex > x3 6 を示せ (3) a を正の定数として ex =a x2 の x > 0 を満たす解の個数を求めよ 2 映像:(典型)微分法2 f (x) = x2 + πx − πsinx について (1)x < −π, 0 < x のとき,f (x) > 0 を示せ (2) 全ての実数 x について f (x) ≥ 0 を示せ 3 f (x) = x log x 1−x + (1 − x) log − 2x2 + 4ax(0 < x < 1) a 1−a がある。ただし,a は 0 < a < 1 を満たす定数とする 0 (1)f (a) の値を求めよ (2)f (x) の最小値を求めよ 25 4 無限等比級数 log x (log x)2 (log x)3 √ + √ + +… x x x x がある。ただし,対数は自然対数とする。x > 1 とする。 (1) この級数は収束することを示せ (2) この級数の和を f (x) とするとき,f (x) の最大値を求めよ 5 半径1の球に直円錐が外接しているとする。すなわち,半径1の球が直円錐の内側にあ り,直円錐の側面と底面に接しているとする。ただし,半径1の球の中心は直円錐の頂点 と直円錐の底面の中心を結ぶ線分上にあるとする。 (1) 直円錐の高さ h を直円錐の底面の半径 r を用いて表せ (2) この直円錐の体積の最小値を求めよ 6 曲線 C y = log x 上の異なる2点 A(a, log a),B(b, log b) における C の法線の交点をPとする。 (1)b が限りなく a に近づくとき,Pはある点Qに限りなく近づく。Qの座標を a で表せ (2)(1) で求めたQに対して線分AQの長さ l を a で表せ (3)(2) で求めた l を最小にする a の値を求めよ 7 n を3以上の整数として,半径1の円Cの内部に円Cと接する半径の等しい n 個の円 A1 , A2 , A3 …An を順に並べる。ただし,A1 は A2 , An に外接し,各円 Aj は隣り合う円 Aj−1 , Aj+1 と外接するものとする。(2 ≤ j ≤ n − 1) (1)n 個の円 A1 , A2 , A3 …An の面積の総和 Sn を求めよ (2) 極限値 T = lim nSn n →∞ 26 を求めよ 8 第1象限で x 軸に接する円Cが,放物線 y = x2 と点 (t, t2 ) を共有し,この点Tで共通の 接線をもつ。ただし,t > 0 とする。円Cの中心を P(a, b) とし,次の問に答えよ (1)a, b を t を用いて表せ (2) 原点とPを結ぶ直線の傾き b a の t →∞ としたときの極限値を求めよ 9 次のように定義された関数 f (x) はすべての x の値において微分可能であるとする。 1 (1 ≤ x) f (x) = a(x − 1) − b sin x (−1 < x < 1) c (x ≤ −1) (1) (1) 定数 a, b, c を求めよ (2)c > 0 を証明せよ (3)y = f (x) のグラフをかけ。 10 実数 a, b が 0 < a < b < 1 を満たすとき 2a − 2a 2b − 2b と a−1 b−1 の大小を比較せよ 11 0 ≤ x ≤ 1 をみたすすべての実数 x に対して,不等式 ex ≥ ax + b が成り立つような点 (a, b) の範囲を求め,その領域を ab 平面上に図示せよ 12 映像:(難問)微分法1 t を定数として,xy 平面上の直線 Ct : y = (x + t)et を考える。t が t > 0 の範囲を変化 するとき,Ct が通る範囲を求め,それを xy 座標平面上に図示せよ 13 放物線 y = 1 2 15 x を y 軸まわりに回転させてできる面を内壁とする容器を考える。そこに 27 水をいれるとき,y 軸は水面にいつも垂直であるとする。x 軸,y 軸の長さの単位を cm とする。 (1) 空の状態の容器に,半径 bcm(b > 0) の鉄球を入れる。この鉄球が容器に最下点だけ で接するための b の値の範囲を求めよ (2)b = 4(cm) とする。鉄球を入れたまま 3cm3 /秒 の割合で,容器に水を入れ始める。 0 ≤ y ≤ 8 の範囲で,水面の上昇する速度と,水面の面積の変化速度を求めよ。 28 ★★★★★問題 1 図のような幅4のテープを点 C が対辺に重なるように折るとき,三角形 ABC の面積が最 小になるような θ とそのときの面積を求めよ。 C D B 4 θ C A 2 斜辺の長さが1である正 n 角錐を考える。つまり底面を正 n 角形 A1 , A2 , …………, An , 頂点を O と表せば OA1 = OA2 = OA3 = ……… = OAn = 1 である。そのような正 n 角錐の中で最大の体積を持つものを Cn とする。(1)Cn の体積 Vn を求めよ。(2) lim Vn n →∞ を求めよ。 3 空間内に立体 x2 + y 2 ≤ (1 − z)2 ,(0 ≤ z ≤ 1) で表される立体がある。 (1) 平面 z − y = k がこの立体と共有点をもつとき k の範囲を求めよ (2) この立体を (1) の平面で切ったとき,その切り口が表す面 Sk を xy 平面上に射影した ときの図形の式を求めよ (3)(1) の範囲を k が動くとき,Sk の面積の最大値を求めよ 4 映像:(難問)微分法3 y = cos x の x = t ,(0 ≤ t ≤ π 2) における接線と x 軸,y 軸の囲む三角形の面積を S(t) とする。 (1)t の関数として S(t) を求めよ 29 (2)S(t) はある1点 t = t0 で最小値をとることを示せ。また π < t0 < 1 4 であることを示せ (3) S(t0 ) = 2t0 cos t0 を示し, S(t0 ) > √ 2 π 4 であることを示せ 5 すべての正の実数 x, y に対し √ √ √ x + y ≤ k 2x + y が成り立つような実数 k の最小値を求めよ 6 f (x) = ex とし,0 < h < 1 とする (1)f (x + h) = f (x) + hf 0 (x + ah) を満たす a の値を求めよ (2)eh < 1 + 3h をしめせ (3) 1+h+ h2 h2 < eh < 1 + h + (1 + h) 2 2 を示せ (4) lim a h → +0 を求めよ 30 7 a は正の定数とする。 ax ≥ ax がすべての正の数 x について成り立っている。 このとき a はどのようなものか。 8 映像:(難問)微分法2 n は2以上の自然数とする y = ex と y = enx − 1 について (1) これらのグラフは第 1 象限においてただ1つの交点を持つことを示せ (2)(1) の交点の座標を (an , bn ) とするとき lim an n →∞ lim nan n →∞ の値を求めよ (3) 第 1 象限内でのこれらのグラフと y 軸で囲まれた部分の面積を Sn とするとき lim nSn n →∞ の値を求めよ 9 a, r が a> 1√ 1 , 0 < r < 4a − 1 2 2 を満たす定数とする。円 x2 + (y − a)2 = r2 の接線と y = x2 で囲まれる図形の面積の最 小値を a, r で表せ 31
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