0142：微分関数の求め方

●微分関数
微分関数の
関数の求め方
1. 基本公式
基本公式
a
(1) Y = X
a-1
-->
--> Y' = aX
aX
a は『負数：
負数：-1、-2、... 無理数：
無理数：1/2、
1/2、1/3、
1/3、...』
...』も可。
4
3
-->
--> Y' = 4X
<例> Y = X
-1
-2
<例> Y = 1/X
1/X = X
2
-->
--> Y' = -1X
1/2
<例> Y = √X = X
= -1/X
1/X
-1/2
1/2
-->
--> Y' = 1/2*X
1/2*X
= 1/2
1/2√X
(2) Y = sinX
sinX -->
--> Y' = cosX
cosX
Y = cosX
cosX -->
--> Y' = -sinX
sinX
-1
<例> Y = tanX
tanX = sinX
sinX/cosX
cosX = sinX
sinX*cos X
-1
-2
-->
sinX*(-cos X*(-sinX
sinX)) ･･･『
･･･『積型関数の
関数の解法』
解法』より
--> Y' = cosX*cos X＋sinX
2
-2
= 1＋sin X/cos X
2
2
2
2
= (cos X＋sin X)/cos X = 1/cos X ･･･『
･･･『三平方の
三平方の定理』
定理』より
X
(3) Y = e
X
-->
--> Y' = e
(4) Y = logX
logX -->
--> Y' = 1/X
2. 積型関数の
関数の解法
展開した
展開した方
した方が『基本公式』
基本公式』で容易に
容易に解ける場合がある
場合がある。
がある。
Y = F(x)*G(x)
-->
--> Y' = F'(x)*G(x)＋
F'(x)*G(x)＋F(x)*G'(x)
<拡張>
拡張> Y = F(x)*G(x)*H(x) -->
--> Y' = F'(x)*G(x)*H(x)＋
F'(x)*G(x)*H(x)＋F(x)*G'(x)*H(x)＋
F(x)*G'(x)*H(x)＋F(x)*G(x)*H'(x)
2
2
<例> Y = X (X +X+1)
2
<例> Y = X log X
2
2
2
2
3
2
-->
--> Y' = 2X(X
2X(X +X+1)+X (2X+1) = 4X +3X +2X ･･･展開
･･･展開し
展開した方が容易！
容易！
-->
--> Y' = 2XlogX+X
2
2
-1
<例> Y = X /(X +X+1) = X *(X +X+1)
+X+1)
2
2
2
-2
-->
--> Y' = 2X(X +X+1)+X+1)-X (2X+1)/(X +X+1)
3. 合成関数の
合成関数の解法
置換して
置換して微分
して微分
dy/dx=(dy/dt)*(dt/dx)
媒介関数(X=sinT
媒介関数(X=sinT、
(X=sinT、Y=cosT から dy/dx を求める)
める)の場合も
場合も同。
3
<例> Y = sin X
3
-->
--> T = sin X と置くと、Y = T
Y' = dy/dx
dy/dx = (dy/dt)*(dt/dx)
2
= (3T )*(cosX)
2
= 3sin XcosX
-1
<例> Y = 1/tan X -->
--> T = tan X と置くと、
くと、Y=T
Y' = dy/dx = (dy/dt)*(dt/dx)
2
2
= ((-1/T )*(1/cos X)
2
2
= -1/(tan X * cos X)
2
2
2
= -1/((sin X/cos X)* cos X))
2
= -1/sin X
- 1 -
4. 対数を
対数を利用した
利用した解法
した解法
両辺で
両辺で対数を
対数を取る。
X
<例> Y = A
X
-->
--> 両辺で
両辺で対数をとると
対数をとると、
をとると、logY=log(A )=XlogA
左辺の
左辺の x 微分 = d(logY)/dx
= (d(logY)/dy
(d(logY)/dy)*(
dy)*(dy
)*(dy/dx)
dy/dx)
= (1/Y)*(dy/dx)
右辺の
右辺の x 微分 = logA
よって、
よって、
(1/Y)*(dy/dx) = logA
X
dy/dx = YlogA = A logA
sinX
sinX
<例> Y = X
-->
--> 両辺で
両辺で対数をとると
対数をとると、
をとると、logY=sinX*
logY=sinX*logX
sinX*logX
左辺の
左辺の x 微分 = d(logY)/dx
= (d(logY)/dy
(d(logY)/dy)*(
dy)*(dy
)*(dy/dx)
dy/dx)
= (1/Y)*(dy/dx)
右辺の
右辺の x 微分 = cosX*logX＋
cosX*logX＋sinX*(1/X)
よって、
よって、
(1/Y)*(dy/dx) = cosX*logX＋
cosX*logX＋sinX*(1/X)
dy/dx = Y(cosX*logX
Y(cosX*logX＋
(cosX*logX＋sinX*(1/X))
sinX
= X
(cosX*logX＋
(cosX*logX＋sinX*(1/X))
5. 陰関数の
陰関数の解法
y=F(x) 型を陽関数と
陽関数と言うのに対
うのに対し、F(x,y)=0 の関数を
関数を陰関数と
陰関数と言う。
陽関数に
陽関数に直して求
して求めてもよ
めてもよいが、
いが、困難な
困難な場合が
場合が多い。
各項を
各項を x で微分す
微分する。
2
<例> X
2
<例> X
2
<例> X
2
<例> X
2
<例> X
2
<例> X
2
<例> X
2
<例> X
2
<例> X
2
<例> X
2
＋ 2Y
2
＋ 2Y
2
＋ 2Y
2
＋ 2Y
2
＋ 2Y
2
＋ 2Y
2
＋ 2Y
2
＋ 2Y
2
＋ 2Y
2
＋ 2Y
= 9 -->
--> 各項を
各項を x で微分すると
微分すると、
すると、
2
= 9 -->
-->
2X＋
2X＋d(2Y )/dx = 0
= 9 -->
-->
2X＋
2X＋(d(2Y )/dy)*(dy/dx) = 0
= 9 -->
-->
2X＋
2X＋(4Y)*(dy/dx) = 0
2
= 9 -->
--> よって、
よって、
= 9 -->
-->
dy/dx = -2X/4Y = -X/2Y
X/2Y
(但し Y /= 0)
= 9 -->
--> <別法>
別法>
= 9 -->
-->
2X*dx＋
2X*dx＋4Y*dy = 0
= 9 -->
--> よって、
よって、
= 9 -->
-->
dy/dx = -2X/4Y = -X/2Y
- 2 -
(但
(但し Y /= 0)

Download Report