33 第6講 2 次曲線（ⅰ）数学C 【問題 1】次の条件を満たす放物線の

第６講 2 次曲線（ⅰ）
【問題 1】
次の条件を満たす放物線の方程式を求めよ．
（1）焦点 (3, 0) ，準線 x = -3
（2）焦点 (0, - 2) ，準線 y = 2
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数学Ｃ
【問題 2】
次の放物線の焦点の座標と準線の方程式を求め，その概形をかけ．
（1） y2 = -8x
（2） x 2 = 6 y
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【問題 3】
次の各問いに答えよ．
（1）焦点が原点で，準線が直線 x = -2k ( k は定数)である放物線の方程式を求めよ．
（2）焦点が原点で， x 軸を軸とする放物線のうちで点 (3, 4) を通るものは
2 つあることを示せ．
（3）
（2）の 2 つの放物線により囲まれる部分の面積を求めよ．
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第６講 2 次曲線（ⅰ）解答
【問題 1】
次の条件を満たす放物線の方程式を求めよ．
（1）焦点 (3, 0) ，準線 x = -3
（2）焦点 (0, - 2) ，準線 y = 2
（1）放物線 y2 = 4 px の
p = 3 の場合であるから， y2 = 4 × 3x
\ y2 = 12x
（2）放物線 x 2 = 4 py の
p = -2 の場合であるから， x 2 = 4 × ( -2) y
\ x 2 = -8 y
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数学Ｃ
【問題 2】
次の放物線の焦点の座標と準線の方程式を求め，その概形をかけ．
（1） y2 = -8x
（2） x 2 = 6 y
（1） y2 = 4 px と比較して， 4 p = -8 より， p = -2
より，焦点 ( -2, 0) ，
準線 x = 2
よって右図．
x 2 = 4 py と比較して， 4 p = 6 より， p = 3
2
3
より焦点 0,
，
2
準線 y = - 3
2
y
x =2
F
-2
x
O 2
（2）
(
よって右図．
37
)
y
3
F 2
O
y = -3
2
x
【問題 3】
次の各問いに答えよ．
（1）焦点が原点で，準線が直線 x = -2k ( k は定数)である放物線の方程式を求めよ．
（2）
焦点が原点で，x 軸を軸とする放物線のうちで点 (3, 4) を通るものは 2 つあることを示せ．
（3）
（2）の 2 つの放物線により囲まれる部分の面積を求めよ．
（1）準線が x = -2k ，焦点 (0, 0) より，この放物線の頂点は ( -k, 0)
また，頂点と焦点との距離が k だから，
y2 = 4k( x + k )
（2）
（1）より， (3, 4) を通るので，
42 = 4 k(3 + k )
( k + 4)( k - 1) = 0
\ k = -4，1
よって，放物線は 2 つある．
（3） k = -4 より， y2 = -16( x - 4)
k = 1 より， y2 = 4( x + 1)
よって，それぞれ
y2
y2
+ 4，x =
-1
16
4
この 2 つの放物線は， x 軸に関して対称で，交点の 1 つは (3, 4) だから，求める
面積を S とすると，
4
y2
y2
S =2
+4 - 1 dy
16
4
0
x =-
ò {(
) ( )}
y
é y
ù
= 10 ( ò 16 + 1) dy = 10 ëê- 48 + yûú
4
(
0
2
3
)
= 10 - 4 + 4 = 80
3
3
38
4
0

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