4. 線形空間II—部分空間

4. 線形空間 II—部分空間
4.1. 線形部分空間の定義
線形部分空間の定義
F 上の線形空間 V の（空でない）部分集合 W が，V における演算に関してそれ自身
で F 上の線形空間となっているとき，W を V の線形部分空間（または部分空間）と
いう．
◁
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部分空間であることを示すための簡潔な条件
線形空間 V の（空でない）部分集合 W が線形空間であることを示すにあたって，線形
空間のすべての条件の成立を示す必要はなく，下記のように W が V の和とスカラー
倍に関して閉じていること（演算結果が自分自身の中に入ること）を示せばよい．
(1) x, y ∈ W ならば x + y ∈ W ,
(2) x ∈ W , k ∈ F ならば kx ∈ W .
なお，条件 (1), (2) は，まとめて
(3) x, y ∈ W, k, ℓ ∈ F =⇒ kx + ℓy ∈ W
と書いてもよい．
[証明] W において，線形空間の条件 [I]-(1)∼(4)，[II]-(1)∼(4) が成り立つことを示す．
８つの条件 [I]-(1)∼(4)，[II]-(1)∼(4) のうち，以下の６つの条件は，W が V の和とスカ
ラー倍に関して閉じていること（演算結果が自分自身の中に入ること）から，成立する．
[I]-(1) x, y, z ∈ W =⇒ (x + y) + z = x + (y + z).
[I]-(2) x, y ∈ W =⇒ x + y = y + x.
[II]-(1) k, ℓ ∈ F, x ∈ W =⇒ (k + ℓ)x = kx + ℓx.
[II]-(2) k ∈ F, x, y ∈ W =⇒ k(x + y) = kx + ky.
[II]-(3) k, ℓ ∈ F, x ∈ W =⇒ (kℓ)x = k(ℓx).
[II]-(4) x ∈ W =⇒ 1 x = x.
残りの２つの条件
[I]-(3) W における零ベクトル 0 の存在
[I]-(4) x ∈ W に対する逆ベクトル −x ∈ W の存在
については，講義でやったパズル (i) 0 x = 0, (iii) (−1) x = −x，および，
「(2) x ∈ W ,
k ∈ F ならば kx ∈ W 」から，成立することは明らか．
[証明終わり]
1
線形部分空間の例
例 4.7
線形空間 V において，{0} および V 自身は V の部分空間である．これ以外の部分空間を
真の部分空間という．
例 4.8
線形空間 R3 において，原点を通る直線，原点を通る平面は，R3 の部分空間である．
（な
お，原点を通らない直線，平面は部分空間ではない）
例 4.9
A を (m, n) 型実行列とする．このとき，
W = {x ∈ Rn | Ax = 0} = 斉次方程式 Ax = 0 の解全体
は Rn の部分空間である．
[証明] 部分空間になるための条件 (3) x, y ∈ W, k, ℓ ∈ F =⇒ kx + ℓy ∈ W を示す．
x, y ∈ W ⇐⇒ Ax = Ay = 0．したがって A(kx + ℓy) = kAx + ℓAy = k0 + ℓ0 = 0. ゆ
えに，kx + ℓy ∈ W .
例 4.9
実数列の全体が成す線形空間 S において，
W = { 実数列 {xn }∞
n=0 | xn+2 − xn+1 − xn = 0 (n = 0, 1, 2, . . .) を満たす }
は，S の部分空間である．
∞
∞
[証明] 部分空間になるための条件 (3) {xn }∞
n=0 , {yn }n=0 ∈ W, k, ℓ ∈ F =⇒ k{xn }n=0 +
∞
∞
ℓ{yn }∞
n=0 ∈ W を示す．{xn }n=0 , {xn }n=0 ∈ W ⇐⇒ xn+2 −xn+1 −xn = 0, yn+2 −yn+1 −yn =
0．これより，k(xn+2 − xn+1 − xn ) + ℓ(yn+2 − yn+1 − yn ) = (kxn+2 + ℓyn+2 ) − (kxn+1 +
∞
ℓyn+1 ) − (kxn + ℓyn ) = 0. ゆえに，k{xn }∞
n=0 + ℓ{yn }n=0 ∈ W .
線形部分空間に関する例題
例題 4.1 実線形空間 R3 において，次の集合 W が部分空間であるかどうかを調べよ（部
分空間であるか否かを述べ，その根拠も示せ）．
 

x
1

 
(1) W = x2  ∈ R3 
 x
3
 

x
1

 
(3) W = x2  ∈ R3 
 x
3
 

 x1
 
(5) W = x2  ∈ R3 
 x
3
 



x
1


x1 = 0,
 
3
(2) W = x2  ∈ R x1 + x2 + x3 = 1


x1 − x2 + 2x3 = 0 

 x

3


 



x
1



 
3
2
2
2
x1 + x2 = x3
(4) W = x2  ∈ R x1 ≥ x2 ≥ x3





 x
3



x1 , x2 , x3 :整数





基本戦略
(1) x, y ∈ W ならば x + y ∈ W , (2) x ∈ W , k ∈ F ならば kx ∈ W
の成否をチェックする．
2
[解答]

 
 

x1
y1
x1 + y1
• W の任意の 2 つのベクトルを x = x2 ，y = y2  とするとき，x + y = x2 + y2 
x3
y3
x3 + y3
であるから，条件 (1) の成否は，x1 , x2 , x3 および y1 , y2 , y3 が W を定義する条件を満たすとき，
x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 もその条件を満たすかどうかチェ
 
ックすれば分かる．

x1
kx1
• W の任意のベクトルを x = x2  とするとき，kx = kx2  であるから，条件 (2) の成否は，
x3
kx3
x1 , x2 , x3 が W を定義する条件を満たすとき，kx1 , kx2 , kx3 もその条件を満たすかどうかチェック
すれば分かる．
(1) 条件 (1) の成否について： x1 = 0, x1 − x2 + 2x3 = 0, y1 = 0, y1 − y2 + 2y3 = 0 とするとき，
x1 + y1 = 0, (x1 + y1 ) − (x2 + y2 ) + 2(x3 + y3 ) = 0
が成り立つかどうかをチェックすればよい．明らかに，この等式は成り立つので，条件 (1) は成立
する．
条件 (2) の成否について： x1 = 0, x1 − x2 + 2x3 = 0 とするとき，
kx1 = 0, kx1 − kx2 + 2kx3 = 0
が成り立つかどうかをチェックすればよい．明らかに，この等式は成り立つので，条件 (2) は成立
する．
以上より，W は部分空間である．
(2) 条件 (1) の成否について： x1 + x2 + x3 = 1, y1 + y2 + y3 = 1 とするとき，
(x1 + y1 ) + (x2 + y2 ) + (x3 + y3 ) = 1
が成り立つかどうかをチェックすればよい．しかし，x1 + x2 + x3 = 1, y1 + y2 + y3 = 1 のとき
(x1 + y1 ) + (x2 + y2 ) + (x3 + y3 ) = 2 であり，この等式は成り立たない．したがって，条件 (1) は
成立しない．
条件 (1) が成り立たないので，W は部分空間でない．
(3) 条件 (1) の成否について： x21 + x22 = x23 , y12 + y22 = y32 とするとき，
(x1 + y1 )2 + (x2 + y2 )2 = (x3 + y3 )2
が成り立つかどうかをチェックすればよい．しかし，x21 + x22 = x23 , y12 + y22 = y32 のとき，(x1 +
y1 )2 + (x2 + y2 )2 − (x3 + y3 )2 = (x21 + 2x1 y1 + y12 ) + (x22 + 2x2 y2 + y22 ) − (x23 + 2x3 y3 + y32 ) =
2(x1 y1 + x2 y2 − x3 y3 ) ̸= 0（一般には）であり，この等式は成り立たない．したがって，条件 (1)
は成立しない．
条件 (1) が成り立たないので，W は部分空間でない．
(4)(5) は自分で！
3
１次結合の定義
F 上の線形空間 V において，V のベクトル x1 , x2 , . . . , xm に対して，
c 1 x1 + c 2 x2 + · · · + c m xm
(c1 , c2 , . . . , cm ∈ F )
の形のベクトルを x1 , x2 , . . . , xm の 1 次結合（または線形結合）という．
◁
ベクトルから生成される部分空間の定義
F 上の線形空間 V において，V のベクトル x1 , x2 , . . . , xm の 1 次結合の全体
{x ∈ V | x = c1 x1 + c2 x2 + · · · + cm xm (c1 , c2 , . . . , cm ∈ F )}
は V の部分空間である．これを x1 , x2 , . . . , xm により生成される部分空間（あるいは，
x1 , x2 , . . . , xm が張る部分空間）といい，
⟨x1 , x2 , . . . , xm ⟩ または Span(x1 , x2 , . . . , xm )
と表す．
また，ある部分空間 W が，あるベクトル x1 , x2 , . . . , xm を用いて，
W = Span(x1 , x2 , . . . , xm )
と書けるとき，x1 , x2 , . . . , xm を W の生成元という．
◁
[W = Span(x1 , x2 , . . . , xm ) が部分空間であることの証明]
部分空間になるための条件 (3) x, y ∈ W, k, ℓ ∈ F =⇒ kx + ℓy ∈ W を示す．
x, y ∈ W ⇐⇒ x = c1 x1 + c2 x2 + · · · + cm xm , y = c′1 x1 + c′2 x2 + · · · + c′m xm ．これより，
kx + ℓy = k(c1 x1 + c2 x2 + · · · + cm xm ) + ℓ(c′1 x1 + c′2 x2 + · · · + c′m x)
= (kc1 + ℓc′1 )x1 + (kc2 + ℓc′2 )x2 + · · · + (kcm + ℓc′m )xm
∈ Span(x1 , x2 , . . . , xm ) = W.
部分空間の和
F 上の線形空間 V において，W1 , W2 , . . . , Wm を V の部分空間とするとき
W = {x ∈ V | x = x1 + x2 + · · · + xm , xi ∈ Wi (i = 1, 2, . . . , m)}
は V の部分空間である．これを W1 , W2 , . . . , Wm の和といい，
W1 + W2 + · · · + Wm
で表す．
部分空間の共通部分
F 上の線形空間 V において，W1 , W2 が部分空間であるとき，それらの（集合とし
ての）共通部分 W1 ∩ W2 は，V の部分空間である．この部分空間を部分空間 W1 , W2
の共通部分という．
◁
W1 , W2 が部分空間であるとき，W1 ∪ W2 は一般には部分空間とならない．
4

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