(1) f(x) (3) - SUUGAKU.JP

年番号
1
関数 f(x) = x3 ¡ 9x2 + 24x について，次の問いに答えよ．
4
i を虚数単位，r を 1 より大きい実数とし，w = r #cos
fzn g を次の式で定める．
(1) f(x) の増減，極値を調べて，グラフの概形をかけ．
(2) k を定数とするとき，曲線 y = f(x) と直線 y = kx の共有点の個数を調べよ．
z1 = w;
zn+1 = zn wn+2
(3) 曲線 y = f(x) と直線 y = 6x で囲まれた図形の面積 S を求めよ．
氏名
¼
¼
; とおく．また，数列
+ i sin
24
24
(n = 1; 2; 3; Ý)
このとき，次の問いに答えよ．
（静岡大学 2015 ）
(1) z2 を r を用いて表せ．
(2) zn の偏角の 1 つを n を用いて表せ．
2
p
¡! ¡
! ¡! ¡
!
¡
!
¡
!
¡
! ¡
!
4ABC において，AB = b ，AC = c とおき，j b j = 1，j c j = 3， b ¢ c = 1 であるとす
る．辺 BC を 1 : 2 に内分する点を D，線分 AD に関して B と対称な点を E，直線 AE と辺 BC
の交点を F とする．このとき，次の問いに答えよ．
(3) 複素数平面で原点を O，zn で表される点を Pn とする．7 5 n 5 48 のとき，4Pn OPn+1 が
¼
を満たす直角三角形となるような n と r をそれぞれ求めよ．また，そのときの zn の
ÎO =
3
偏角 µ を 0 5 µ < 2¼ の範囲で求めよ．
（静岡大学 2015 ）
(1) 4ABC の面積 S1 を求めよ．
¡! ¡
! ¡
!
(2) AE を b ; c を用いて表せ．
¡! ¡
! ¡
!
(3) AF を b ; c を用いて表せ．
(4) DF : BC を求めよ．
5
(5) 4DEF の面積 S2 を求めよ．
る．辺 BC を 1 : 2 に内分する点を D，線分 AD に関して B と対称な点を E，直線 AE と辺 BC
（静岡大学 2015 ）
3
e を自然対数の底とし，0 5 x 5 e とする．関数 f(x) =
p
¡
! ¡
!
¡! ¡
! ¡! ¡
!
¡
!
¡
!
4ABC において，AB = b ，AC = c とおき，j b j = 1，j c j = 3， b ¢ c = 1 であるとす
Z
2
0
et ¡ x2 dt について，次の問い
に答えよ．
の交点を F とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) 4ABC の面積 S1 を求めよ．
¡! ¡
! ¡
!
(2) AE を b ; c を用いて表せ．
¡! ¡
! ¡
!
(3) AF を b ; c を用いて表せ．
(4) DF : BC を求めよ．
(1) 定積分を計算し，f(x) を x を用いて表せ．
(2) f(x) の最大値と最小値を求めよ．また，それらの値をとるときの x の値もそれぞれ求めよ．
(5) 4DEF の面積 S2 を求めよ．
（静岡大学 2015 ）
（静岡大学 2015 ）
6
1 つのコマと下の図のような 3 つのマス目 A，B，C がある．コマが A または B にあるとき，さ
8
i を虚数単位，r を 1 より大きい実数とし，w = r #cos
fzn g を次の式で定める．
いころを投げて出た目の数だけ C の方向にコマを進める．ただし，コマが途中で C や A に来た
ら，逆の方向に折り返して進める．これを 1 回の操作とする．A または B で止まった場合はそ
z1 = w;
の止まったマス目から操作を繰り返し，C に止まった場合は操作を終了する．例えば，A にコマ
があり 3 の目が出たら A ! B ! C ! B とコマを進め，続けて操作を繰り返したとき 5 の目が
出たら B ! C ! B ! A ! B ! C と進めて操作を終了する．
B
(n = 1; 2; 3; Ý)
このとき，次の問いに答えよ．
(1) z2 を r を用いて表せ．
最初にコマを A に置いて操作を始めるとき，次の問いに答えよ．
A
zn+1 = zn wn+2
¼
¼
; とおく．また，数列
+ i sin
24
24
(2) zn の偏角の 1 つを n を用いて表せ．
(3) 複素数平面で原点を O，zn で表される点を Pn とする．7 5 n 5 48 のとき，4Pn OPn+1 が
¼
ÎO =
を満たす直角三角形となるような n と r をそれぞれ求めよ．また，そのときの zn の
3
偏角 µ を 0 5 µ < 2¼ の範囲で求めよ．
C
(1) 1 回の操作で終了する確率 p1 を求めよ．
(2) 2 回の操作で終了する確率 p2 を求めよ．
（静岡大学 2015 ）
(3) n 回の操作で終了する確率 pn を n を用いて表せ．
（静岡大学 2015 ）
9
関数 f(x) = x3 ¡ 9x2 + 24x について，次の問いに答えよ．
(1) f(x) の増減，極値を調べて，グラフの概形をかけ．
(2) k を定数とするとき，曲線 y = f(x) と直線 y = kx の共有点の個数を調べよ．
7
e を自然対数の底とし，0 5 x 5 e とする．関数 f(x) =
Z
2
0
（静岡大学 2015 ）
et
¡
x2
dt について，次の問い
に答えよ．
(1) 定積分を計算し，f(x) を x を用いて表せ．
(2) f(x) の最大値と最小値を求めよ．また，それらの値をとるときの x の値もそれぞれ求めよ．
（静岡大学 2015 ）
10 1 つのコマと下の図のような 3 つのマス目 A，B，C がある．コマが A または B にあるとき，さ
いころを投げて出た目の数だけ C の方向にコマを進める．ただし，コマが途中で C や A に来た
ら，逆の方向に折り返して進める．これを 1 回の操作とする．A または B で止まった場合はそ
の止まったマス目から操作を繰り返し，C に止まった場合は操作を終了する．例えば，A にコマ
があり 3 の目が出たら A ! B ! C ! B とコマを進め，続けて操作を繰り返したとき 5 の目が
出たら B ! C ! B ! A ! B ! C と進めて操作を終了する．
最初にコマを A に置いて操作を始めるとき，次の問いに答えよ．
A
B
C
(1) 1 回の操作で終了する確率 p1 を求めよ．
(2) 2 回の操作で終了する確率 p2 を求めよ．
(3) n 回の操作で終了する確率 pn を n を用いて表せ．
（静岡大学 2015 ）

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