2014年度後期応用数学4 レポート問題2 1 勾配・発散・回転

2014 年度後期応用数学４レポート問題２
2015 年 1 月 9 日配布
作成者：若杉勇太
レポート作成上の注意
• 学籍番号と名前を各ページに書くこと．また全体をホッチキス等で止め，ばらばらにならな
いようにすること（紛失を防ぐため）．各ページにページ番号と，全体で何ページあるかも
書くこと．
（例：学籍番号：123456 氏名：若杉勇太ページ：2/3 等を各ページの上に書く）
• 以下の問題から５問選んで解答すること（５問以下でもよい）．１問につき 3 点満点で採点
し，15 点満点でレポート点を付ける．（注：小問１つを１問と数えないように）
• 提出期限は 2 月 6 日（金）17 時とする．
• 提出は講義の時間（講義終了時）に直接提出するかまたは，事務棟１階のレポート BOX へ
提出すること．
• 今回は成績処理の都合上，提出期限を過ぎた場合はレポートを受け取らないので注意すること．
• レポートの用紙は基本的には何でもよい．また両面ともに解答を書いてよい（資源の節約の
ため）．
• もちろん６問以上解いてもよい．基本は 15 点満点だが，より多くの問題を解答したり，良
い解答を作成するとそれに応じてさらに加点される．
• 解答は丁寧に書くこと．あまりにも雑で判読できないような場合は，大幅に減点されること
がある．
• 全く同じレポートが複数あったり，明らかに不正が見受けられる場合は，大幅に減点される
ことがある．友人と相談して解くのはもちろん構わないが，解答は自分の言葉で書くこと．
1 勾配・発散・回転
問 1.1 スカラー場 φ(x, y, z) = x + y + z ，ベクトル場 A(x, y, z) = yzi + zxj + xyk に対し，次
を求めよ．
(i) grad φ．
(ii) div A．
(iii) A · ∇φ．
問 1.2 スカラー場 φ(x, y, z) = (x + y + z)2 ，ベクトル場 A(x, y, z) = −yi + xj + zk に対し，次
を求めよ．
(i) ∆φ = div(grad φ)．
(ii) rot A．
(iii) ∇ · (φA)．
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問 1.3 ベクトル場 A = A(x, y, z) = Ax i+Ay j +Az k とスカラー場 φ = φ(x, y, z), ψ = ψ(x, y, z)
に対し，次を示せ．
(i) grad(φψ) = ψ∇φ + φ∇ψ.
(ii) div(φA) = (∇φ) · A + φ(∇ · A).
2 線積分・面積分と積分定理
問 2.1 a > 0 とし，曲線 C は r(t) = a cos ti + a sin tj (0 ≤ t ≤ 2π) で与えられるとする．また
φ(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 とする．このとき
∫
φ(x, y, z)ds
C
を求めよ．
問 2.2 曲線 C は r = ti+t2 j +k (0 ≤ t ≤ 1) で与えられるとする．また A(x, y, z) = xi+yj +zk
とする．このとき，
∫
A · dr
C
を求めよ．
問 2.3 平面 S は 3x + 2y + z = 6 (x, y, z ≥ 0) で与えられるとする．また φ(x, y, z) = x + y + z
とする．このとき
∫
φ(x, y, z)dS
S
を求めよ．
問 2.4 曲面 S ：4x2 + y 2 + z = 1 (z ≥ −2) を考え，S の向きは単位法線ベクトル n が点 (0, 0, 1)
において n = k となるように定められているとする．また A = (yz + 2y + x)i + yj + (z + 1)k
とする．このとき
∫
A · ndS
S
を求めよ．
問 2.5 球面 S：x2 +y 2 +z 2 = 1 を考え，S の単位法線ベクトルは外向き（n(x, y, z) = xi+yj +zk）
で与えられているとする．また A(x, y, z) = x3 i + y 3 j + z 3 k とおく．このとき
∫
A · ndS
S
2
を求めよ（ヒント：上半球面（z > 0）と下半球面（z < 0）に分けて計算する）．また S で囲まれ
る球の内部を B とするとき，
∫∫∫
div Adxdydz
B
を求めよ．またこれよりガウスの発散定理が成立していることを確かめよ．
問 2.6 平面上で，半径 a の円周 x2 + y 2 = a2 に半時計周りの向きを付けた曲線を C とおき，C で
囲まれた領域を D とする．
C
a
D
このとき，
∫
(−yx2 dx + xy 2 dy)
C
を求めよ（ヒント：グリーンの定理を用いる）
．
問 2.7 S を上半球面 x2 + y 2 + z 2 = 1 (z ≥ 0) とし，S の単位法線ベクトルは外向き（n =
xi + yj + zk）とする．また A(x, y, z) = −yi + xj とするとき，
∫
rot A · ndS
S
を求めよ．
問 2.8 S を閉曲面（境界なしの曲面）とし，S の単位法線ベクトル n は S の内側から外側へ向か
う方向に定められているとする．このとき，ベクトル場 A に対して，
∫
(rot A) · ndS = 0
S
を示せ（ヒント：S を適当な閉曲線で２つの境界付き曲面に分け，ストークスの定理を使う）．
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