基礎電磁気学演習

開講学期：
科目名：
教室：
２０１４年前期
基礎電磁気学演習
Ａ―１０９
担当教員：後藤太一, [email protected]
基礎電磁気学演習
学籍番号：＿＿＿＿＿＿＿＿＿
氏名：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
第０８回誘電体と電束密度，電流密度ベクトル
８．１図のように半球状に異なる誘電率  1 ，  2 の誘電体をつめた球形コン
デンサの静電容量を次の手順で求めよ．
（１）原点 O から r 離れた場所での電場の大きさ E r  を求めよ．
（２）原点 O から r 離れた場所での静電ポテンシャル  r  を求めよ．ただし，
内側の導体球の電位を 0 とする．
（３）電極間の電位差を V 求めよ．
（４）このコンデンサの静電容量 C を求めよ．
８．２面積 S （１辺の長さ a ），電極間距離 d の平行板コンデンサに一定電
圧 V が与えられている．極板と同じ面積の厚さ t ，誘電率  の誘電体板を図のように極板間に並行に入
れておく．ただし，誘電体の質量を m とし，図のように座標軸をとる．
（１）このコンデンサの静電容量 C はいくらか．
（２）極板間の電場の大きさ E  y  を求めよ．
（３）誘電体表面に生じる分極電荷密度を求めよ．
（４）このコンデンサに蓄えられている静電エネルギーを求めよ．
（５）コンデンサに充電した後で，電池を取り外した誘電体を x 方向に動かすときに誘電体板に働く力を求
めよ．
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８．１
８．１図のように半球状に異なる誘電率  1 ，  2 の誘電体をつめた球形
コンデンサの静電容量を次の手順で求めよ．
（１）原点 O から r 離れた場所での電場の大きさ E r  を求めよ．
（２）原点 O から r 離れた場所での静電ポテンシャル  r  を求めよ．ただ
し，内側の導体球の電位を 0 とする．
（３）電極間の電位差を V 求めよ．
（４）このコンデンサの静電容量 C を求めよ．
【解答】
（２） E(r ) は e r 方向成分しかないので，
（１）系は球対称であるから，電場 E(r ) ，電束
E(r)  E(r)  er  0  e  0  e
密度 D(r ) ，静電ポテンシャル  (r ) は球対称の
関数となり，その大きさは r のみの関数である．
内側の球に＋Q の電荷，外側の球に-Q の電荷
が帯電していると仮定する．
 した
 
1 
1 
 er (r)  e
(r)  e
(r) 
r 
r sin 

 r

  (r)  er
r
したがって，これを積分すればよく，
次に，ガウスの法則

S
(r)   E(r)dr  
D(r )  n(r )dS  S内の全真電荷

を球面 S について適用する．球面 S 上では球面
の外向き単位法線ベクトル n (r ) と電束密度
D(r ) が同方向であり，
Q
dr
2r 1   2 
2
Q
k
2 1  2 r
となる．ただし，k は積分定数．
D(r)  n(r)  D(r)  D(r ) である．ただし，誘電
（３）電極間の電位の差を求めれば良いのだから，
体の詰まり方から，球面 S 上で D(r ) は一定に

 

Q
Q
V   (a )   (b)  
 k 
 k   

  2  1   2 b
 2  1   2 a
Q
1 1

  
2  1   2   a b 
はならない．そこで，積分を， 1 ，  2 で分ける．
 D(r)  n(r)dS  
S
1 側の半球

D(r )  n(r )dS  
 2 側の半球
 Ε(r )  n(r )dS  
 1側の半球 1
 1E (r )  dS
 1側の半球
 2 側の半球
  2 E (r )  dS
 2r 1   2 E ( r )
2
D(r )  n(r )dS
 1側の半球
 2Ε(r )  n(r )dS
（４） C 
Q
の関係から，
V
となる．したがって，
2r 2  1   2 E (r )  Q
E (r ) 
Q
2r 2  1   2 
Q
Q
1 1

 2  1   2   
V  (a)   (b)
a b
ab
 2  1   2 
ba
C
を得る．
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８．２８．２
面積 S （１辺の長さ a ），電極間距離 d の平行板コンデンサに一定電圧 V が与えられてい
る．極板と同じ面積の厚さ t ，誘電率  の誘電体板を図のように極板間に並行に入れておく．ただし，誘電
体の質量を m とし，図のように座標軸をとる．
（１）このコンデンサの静電容量 C はいくらか．
（２）極板間の電場の大きさ E  y  を求めよ．
（３）誘電体表面に生じる分極電荷密度を求めよ．
（４）このコンデンサに蓄えられている静電エネルギーを求めよ．
（５）コンデンサに充電した後で，電池を取り外した誘電体を x 方向に動かすときに誘電体板に働く力を求
めよ．
【解答】
（１）このコンデンサは，図のように 3 つのコンデン
サが直列に接続されていると考えることができる．
それぞれの電極の面積は S であり，電極間距離
がそれぞれ左上図のようになっているので静電容
量は，
C1   0
S
S
S
, C 2   , C 3   0
d  (t  y 0 )
t
y0
である．
 , C n を直列接続したときの合
コンデンサ C1 , C 2 , 成容量を C t とすると，
1
1
1 
Ct   
 
 C1 C2 C3 
1
1
1
1


 S  
S
S

        0  
   0
 t
 d  (t  y0 ) 
 y0  
 0S

 ( d  t )   0t
1
1


  S  t  d  t  


 0  



となる．
（２）まず誘電体のない場所
(0  y  y 0 , y 0  t  y  d ) での電場を求める．
電極上に一様に電荷が分布している場合，電場
は（誘電率が変わらない限り）電極からの距離に
よらず一定だから，電極表面での電場が求まれば
よい．
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電極表面での電場の大きさを E0 と電極の電荷
密度は， E 0 

の関係があるので，が求ま
0
ればよい．電極に蓄えられる電荷は，
1
 t d t 
 Vで
Q  CV 
V  S  
 ( d  t )   0t
 0 

あるから，電極の電荷密度は，
 0S
ただし， D0   0 E 0 , D   0 E  P
P   ' であるから，
 '   0 ( E0  E )   0 (   0 )
V
 ( d  t )   0t
     t d  t  1 
    0  
 V
   0   
 0  


1
 t d t 
Q
 0
 V
 
V   
S  ( d  t )   0t


0 

となる．
したがって，
E0 
 1
 0

V 
V

 0  0  ( d  t )   0t
 ( d  t )   0t
 1  t d  t  1 
  
 V
  0  
 0  


（４）静電エネルギー
U
 0S
CV 2 1

V2
2
2  (d  t )   0
 SV 2  t d  t  1 

 
 

2  
 0  


である．
次に誘電体内部 ( y 0  y  y 0 t ) の電場を求め
る．誘電体内部の電場の大きさを E として電束密
度 D の法線成分の連続性の法則を使って求める．
誘電体表面には真電荷は存在しないこと，電束密
度と誘電体表面波垂直であることを考えると，
D0  D ，または，  0 E  E が成立するから，
E
0

0

E0  0
V
V

  (d  t )   0 t
 (d  t )   0 t
よって，
 1  t d  t  1 
 V  となる．
E0 
V  
 (d  t )   0t    
 0  


0
（３）誘電体表面の分極電荷密度を   ' として，誘
電体表面を跨る筒状閉曲面 S についてガウスの
法則を適用する．
真電荷は存在しないから， SD  SD0  0
（５）誘電体を x だけ引き出した場合を考える．これ
は図のように静電容量 C1 と C2 のコンデンサを並
列に接続していると考えることができる．
C1 の部分の電極面積は，
C2 の部分の電極面積は
S
x
a
S
(a  x) であるから，
a
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 F ( x)x  U ( x) である．したがって
a 
 x
1S
S 
x,  0
C1   0 
d
d a
S
 S  t d  t 
(a  x)   b  
C2 
 ( d  t )   0t a
 0 
 a  
 0
F ( x)  
U ( x) U ( x)

となる．よって，
x
x
F ( x)  

U
   
 
  
0
x
x  x    x   2
1
となり，全静電容量は，
 0
1 S
S
(a  x)
C  C1  C 2   0
x
 (d  t )   0 t a
d a
 0
S ( 0   )tx  da
d d  (d  t )   0 t 
Sb  Sb  t d  t 

 0
   
ad  a  
 0 
したがって，誘電体を引き戻そうとする力が働く．
（別解）
1
となる．このコンデンサに電荷 Q が蓄えられてい
るので，静電エネルギーU は，
Q 2 Q 2 a d  ( d  t )   0 t 


U

2C
2  0 S ( 0   )tx  da x  
となる．
  2 0 S ( 0   )t  0, 
ただし，   2 0 Sda  0,
Q は（２）で

2
  Q ad  (d  t )   0t   0
与えられる一定値である．
誘電体に加わる力 F に逆らって外力-F を加え，
さらに x だけ引き出した時の仕事は  F ( x)x で
1
Q 2 Q 2  Sb Sb  t d  t  
 
 
 0
U1 


a  
2C
2  ad
 0  


1
Q2
Q2   t d  t  
 
S  
U0 

2C0
2   
 0  


1
1
U  U 0  U
エネルギー保存則より， U   F  b
したがって，
1
1 1

  t d  t 1  
1 Q 2  Sb Sb  t d  t  
 
    S  
  

F 
 0
b 2  ad a  
 0  
 0   
  


 

与えられる．エネルギー保存則より，この仕事は
静電エネルギー変化 U (x ) に等しいので，
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