基礎電磁気学演習

開講学期：
科目名：
教室：
２０１５年前期
基礎電磁気学演習
Ａ―１１１
担当教員：後藤太一, [email protected]
基礎電磁気学演習
学籍番号：＿＿＿＿＿＿＿＿＿
氏名：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
第１０回アンペールの法則，ローレンツ力，静磁気
１０．１１本の無限に長い直線上の導線があり，電流 I が流れているとき，中心からの距離が r の場所に
おける磁束密度 Br  を求めよ．銅線太さは無視できる．
１０．２右図のように，半径 I の無限長の導線があり，その中を全電流 I が一様に流れ
ているとき，導線の内外の磁束密度の大きさと方向を求めよ．
１０．３下図のような半径 a (m)の半径と直線からなる導線に電流 I (A)が流れているとき，
中心 O の磁束密度を求めよ．
１０．４無限に長い直線上導線に電流 I が流れている．右図において，２辺が a ，
b (m)の長方形部分を通過する磁束を求めよ．
１０．５中心半径 5 cm，巻き数 1200 回の無端ソレノイドコイルに電流 40 mA を
流したとき，ソレノイド中心線上の磁束密度を求めよ．
１０．６共通の中心軸をもつ半径 a (m)の２つの円形コイルが 2d (m)の間隔で平行に置かれている．
a  2d で同じ向きに電流を流したとき中心軸上の中心付近では，磁界がほぼ一様になる．このコイルを
ヘルムホルツコイルという．それでは，これら半径 a (m)のヘルムホルツコイルに電流 I (A)の電流を流し
た時，コイルの中心及び中心軸上の中心の磁束密度を求めよ．
Page 1
開講学期：
科目名：
教室：
２０１５年前期
基礎電磁気学演習
Ａ―１１１
担当教員：後藤太一, [email protected]
１０．１１本の無限に長い直線上の銅線があり，電流 I が流れているとき，中心からの距離が r の場所に
おける磁束密度 Br  を求めよ．銅線太さは無視できる．
【回答】
アンペールの法則

C
B (r )  ds(r )  0 I   0 （Cを貫く全電流）
を用いる．左辺は，
 B(r)  ds(r)  B(r) 
C
C
ds(r ) B (r )  ds  2rB (r )
C
となる．
右辺は，C を貫く全電流が I であるから， 0 I となる．したがって，
 B(r)  ds(r) 2rB(r )  
C
B (r ) 
0
I
0 I
2r
となる．
Page 2
開講学期：
科目名：
教室：
２０１５年前期
基礎電磁気学演習
Ａ―１１１
担当教員：後藤太一, [email protected]
１０．２図のように，半径 I の無限長の導線があり，その中を全電流 I が一様に流れて
いるとき，導線の内外の磁束密度の大きさと方向を求めよ．
【回答】
アンペールの法則

C
B (r )  ds(r )  0 I   0 （Cを貫く全電流）
を用いる．ここで，中心からの距離を R とする．円周 C を積分経路に選ぶと， ds ベクト
ルは，円周に沿ったベクトルとなる．経路 C 上で BR  は定数のため，積分の外に
出せる．
つまり，
 B(r )  ds(r ) B( R) 
ここで，
C

C
したがって，
C
ds
となる．
ds は経路 C の長さであるから，円周 2R に等しい．
 B(r )  ds B( R) 
C
C
ds  2RB ( R ) となる．
一方，右辺は，経路 C の取り方によって変化する．半径が a よりも小さい場合は，
面積比を考えれば良い．したがって，

R2
(0  R  a )
 I
2RB ( R)   0 a 2
 I　( R  a)
 0
となり，
  0 RI
(0  R  a )
 2a 2 B( R)  

I
 0 ( R  a)
 2R
となる．
Page 3
開講学期：
科目名：
教室：
２０１５年前期
基礎電磁気学演習
Ａ―１１１
担当教員：後藤太一, [email protected]
１０．３図のような半径 a (m)の半径と直線からなる導線に電流 I (A)が流れているとき，中心 O の磁束密
度を求めよ．
【回答】直線部分は， sin   0 であるため，無視できる．よって，半円部分による B だけを考える．
アンペールの法則より，
B
0 I 1

2a 2

0 I
4a
(T)
Page 4
開講学期：
科目名：
教室：
２０１５年前期
基礎電磁気学演習
Ａ―１１１
担当教員：後藤太一, [email protected]
１０．４無限に長い直線上導線に電流 I が流れている．右図において，２辺が a ，
b (m)の長方形部分を通過する磁束を求めよ．
【回答】
微小区間 S の磁束密度 B
0 I
 I d a 1
dr  0 
dr
d
2r
2 d r
I
I
d a
d a
 0 log r d  0 log
d
2
2
 Ib
d a
  Bs  b  0 log
[Wb]
2
d
B
d a
Page 5
開講学期：
科目名：
教室：
２０１５年前期
基礎電磁気学演習
Ａ―１１１
担当教員：後藤太一, [email protected]
１０．５中心半径 5 cm，巻き数 1200 回の無端ソレノイドコイルに電流 40 mA を流したとき，ソレノイド中
心線上の磁束密度を求めよ．
【回答】
N：1200 回， I  40 mA  40  10 3 A

C
B S dS B  ds  2r
C
B  2r   0 NI
B
 0NI 4  107  1200  40  103

 19200  10 8
2
2r
2    5  10
 1.92  10  4 ［T］
Page 6
開講学期：
科目名：
教室：
２０１５年前期
基礎電磁気学演習
Ａ―１１１
担当教員：後藤太一, [email protected]
１０．６共通の中心軸をもつ半径 a (m)の２つの円形コイルが 2d (m)の間隔で平行に置かれている．
a  2d で同じ向きに電流を流したとき中心軸上の中心付近では，磁界がほぼ一様になる．このコイルを
ヘルムホルツコイルという．それでは，これら半径 a (m)のヘルムホルツコイルに電流 I (A)の電流を流し
た時，コイルの中心及び中心軸上の中心の磁束密度を求めよ．
【回答】
2 つのコイルを L1,L2 とし，その中心を X,Y とする．
X の L1 による次磁界度 B1
 0I
 I
dS  0 2 dS
2
4r
4a
2a  I
 I
 I
0
B1  
dS  0 2  2a  0 ［T］
2
0
4a
4a
2a
dB1 
X の L2 による磁束密度 B2，
 0I
dS
4r '2
dB2 
B2  
2a
0


dB2 sin  
 0I
 sin   2a
4r '2
 0 Ia 2
 0 Ia
2



a
4r '3
2 r '3
 0 Ia 2

2 2a 2

3

B  B1  B2 
4a
 0I
2a
2a

a
より，
r'
r '  a 2  2 d 2  a 2  a 2  2 a 2 より，
 0 Ia 2
2
sin  
2

0 I
4 2a

20 I
[T ]
8a
2  0 I  0I
 I
24


 0.677 0 [T ]
8a
a
8
a
Page 7
開講学期：
科目名：
教室：
２０１５年前期
基礎電磁気学演習
Ａ―１１１
担当教員：後藤太一, [email protected]
中心軸の中心 O の磁束密度 B
O の L1 による磁束密度 B3
 0I
dS
4R 2
dB3 
B3  
2a
0
dB3 sin  ' 
 0I
 sin  '2a
4R 2
 Ia 2
 Ia
 0 3  2a  0 3
4R
2R

 0 Ia 2
 5 2
2
a 
 4 
3

sin  ' 
a
より，
R
2
a
r'  a  d  a    
2
2
 0 Ia 2
5
5
2  a2 
a
4
2

2
2
5 2
a より，
4
40 I
[T ]
5 5a
O の L2 による磁束密度 B4  B3 より，
B  B3  B4  B3  2 
4 0I
8 0 I
2 
[T ]
5 5a
5 5a
Page 8