14 年 5 月 2 日.

幾何学 XA = 位相幾何学：１４年５月２日
今日の講義の摘要: 前半では、底空間が paracompact であるファイバー束が Hurewicz ﬁbration
であるという Hurewicz の定理を証明する。応用として球面上の主 G 束を分類する。後半では
Hurewicz ﬁbration の（位相的な）平行移動を考える。次回、その定式化のために基本亜群を導入
する。
§4. 写像のリフトと被覆ホモトピー性質.（後半）
この講義を通して、I によって単位区間 [0, 1] := {t ∈ R; 0 ≤ t ≤ 1} ⊂ R を表す
I = [0, 1].
前回は離散的なファイバーをもつファイバー束を考えたが、今日は、一般のファイバー
束を考える。底空間が paracompact1 であるファイバー束は Hurewicz ﬁbration になると
いう W. Hurewicz の定理を最初に証明する。
以下ではとくに断らない限り、位相空間 Z について i0 : Z → Z × I によって写像
z → (z, 0) を表す。また ev0 : Z I → Z によって t = 0 における evaluation map → (0)
を表す。これは連続写像である。
Hurewicz の定理を証明するために、Hurewicz ﬁbration の定義の条件を言い換える。そ
のために、位相空間の間の連続写像 f : X → Y について
Nf := X ×Y Y I = {(x, ) ∈ X × Y I ; (0) = f (x)} ⊂ X × Y I
とおく。これには mapping path space という呼称がある。連続写像 kf : X I → Nf , ˜ →
( ˜(0), f ◦ ˜), を考えることができる。
第一成分への射影 : Nf → X, (x, ) → x, は homotopy 同値である。実際、y ∈ Y への
定数写像を cy : I → Y , ∀t → y, と表すことにすると、連続写像 ι : X → Nf , x → (x, cf (x) ),
は homotopy 逆である。明らかに ◦ ι = 1X である。また I は局所 compact だから連続
写像 Nf × I → Nf , ((x, ), s) → (x, t → (st)), を考えることができる。これは s = 0 のと
き ι ◦ であり、s = 1 のとき恒等写像 1Nf である。かくして
と ι は互いに homotopy
逆である。
それでは mapping path space を使って Hurewicz ﬁbration の定義の条件を言い換える
ことにする。
補題 4.7. 位相空間の間の連続写像 π : E → B について次の三つの条件は互いに同値で
ある。
(a) π : E → B は Hurewicz ﬁbration である。つまり、任意の位相空間 Z と任意の連
続写像 f : Z → E および F : Z × I → B が F ◦ i0 = π ◦ f : Z → B をみたすとき、連続
写像 G : Z × I → E が存在して π ◦ G = F : Z × I → B および G ◦ i0 = f : Z → E をみ
たす。下図参照。
f
Z
i0
w
Z ×I
Gw
w
F
w
/
w; E
π
/ B.
(b) 任意の位相空間 Z と連続写像 F : Z → B I および f : Z → E について π ◦
f = ev0 ◦ F : Z → B I をみたすとする。このとき、連続写像 G : Z → E I であって
1
この講義では、paracompact 性に Hausdorﬀ 性を含めて考える。
1
幾何学 XA = 位相幾何学
2
π∗ ◦ G = F : Z → B I および ev0 ◦ G = f : Z → E をみたすものが存在する。下図参照。
E I `A
π∗
ev0
A Gb
A
A
Z
}
Fb }}}
}
}
~}}
ev0
BI
/E
?

f
π
/B
(c) 連続写像 s : Nπ (= E ×B B I ) → E I であって kπ ◦ s = 1Nπ をみたすものが存在す
る2 。
証明. (a) ⇔ (b). I が局所 compact であることから、補題 3.8 により、連続写像 F :
Z × I → B と連続写像 F : Z → B I , z → F (z, ·), とは一対一対応している。連続写像
G : Z × I → E と連続写像 G : Z → E I についても同様である。このとき ev0 ◦ F = F ◦ i0 ,
ev0 ◦ G = G ◦ i0 に注意すると (a) と (b) が全く同じことを主張していることがわかる。
(b) ⇒ (c). (b) を仮定する。Z = Nπ , f : Nπ → E, (x, ) → x, F : Nπ → B I , (x, ) → ,
に (b) を適用してえられる連続写像を s : Nπ → E I とすると、任意の (x, ) ∈ Nπ につい
て (kπ ◦ s)(x, ) = (s(x, )(0), π ◦ s(x, )) = (x, ) となる。つまり s が望む連続写像である。
(c) ⇒ (b). (c) を仮定する。(b) の Z, F , f が与えられたとする。このとき連続写像
g : Z → Nπ = E ×B B I , z → (f (z), F (z)), が定義される。π ◦ f (z) = ev0 ◦ F (z) だからで
ある。G := s ◦ g : Z → E I とおけば ev0 ◦ G = f , π∗ ◦ G = F が成立つ。
次は Hurewicz の定理の証明で少しだけ使うのであるが、compact 開位相の簡単な演習
問題である。
補題 4.8. X を compact 空間とする。このとき、最小値をとる写像 min : RX → R,
f → min f (X), は連続である。
証明. a, b ∈ R, a < b, について min−1 (]a, b[) が開集合であることを示せばよい。f ∈
min−1 (]a, b[) とする。ある x0 ∈ X において f (x0 ) = min f (X) ∈]a, b[ である。V :=
O(X; ]a, +∞[) ∩ O({x0 }; ] − ∞, b[) とおく。これは f の開近傍である。V ⊂ min−1 (]a, b[) を
示せばよい。g ∈ V とする。g(X) ⊂]a, +∞[ により a < min g(X) である。また min g(X) ≤
g(x0 ) < b である。ゆえに V ⊂ min−1 (]a, b[) である。これが示すべきことであった。
定理 4.9. (W. Hurewicz) 位相空間の間の連続写像 π : E → B について、底空間 B
が paracompact Hausdorﬀ 空間であり、B の開被覆 U が存在して、各 U ∈ U につい
て π|π−1 (U ) : π −1 (U ) → U が（Hurewicz の意味での）ﬁbration であるとする。このとき
π : E → B は（Hurewicz の意味での）ﬁbration である。
証明. ここでの目標は kπ ◦ s = 1 をみたす連続写像 s : Fπ := E ×B B I → E I を構成する
ことである。そのために、位相空間 B I の局所有限開被覆を構成するのが証明の多くの部
分を占めている。
B は paracompact Hausdorﬀ 空間だから U に従う 1 の分割が存在する。つまり、集合
Λ と、それによって添字づけられた連続函数の族 ψλ : B → I = [0, 1], λ ∈ Λ, が存在して
次をみたす。Uλ := ψλ −1 (]0, 1]) とおく。
2
この補題の連続写像 G, G および s については、一般に一意性は成立たないことに注意する。
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(i) 各 Uλ は、ある U ∈ U に含まれる。したがって π|π−1 (Uλ ) : π −1 (Uλ ) → Uλ は ﬁbration
である。（ ﬁbration の制限は再び ﬁbration である。このことは補題 4.3 (2) によっても分
かる。）
(ii) {Uλ }λ∈Λ は局所有限である。つまり、任意の b ∈ B について b の開近傍 O がとれ
て {λ ∈ Λ; Uλ ∩ O = ∅} ∑∞ をみたす。
(iii) 各 b ∈ B について λ∈Λ ψλ (b) = 1 が成立つ。とくに {Uλ }λ∈Λ は開被覆である。
∞
この ψλ たちを用いて B I の局所有限開被覆を構成する。Λ := n=1 Λn とおく。つまり Λ
の元からなる列 (λ1 , λ2 , . . . , λn ) 全体の集合を Λ と表す。
T = (λ1 , λ2 , . . . , λn ) ∈ Λ とする。その長さを c(T ) := n とおく。函数 ψT : B I → I を
∈ B I について
(
)
ψT ( ) := min min ψλi ◦ |[ i−1 , i ]
1≤i≤n
n
n
とおいて定義する。補題 4.8 により最小値をとる函数 min : I I → I, f → min f , は連続だ
から ψT は連続である。
[
]
∩n
i−1 i
−1
WT := ψT ]0, 1] =
O(
,
; Uλi )
i=1
n n
とおく。Lebesgue 数を用いた議論によって {WT }T ∈Λb は B I の開被覆である。しかし {WT }
は局所有限ではない。たとえば a ≥ 1 について、各 λi を a 個づつならべたもの T a :=
(λ1 , . . . , λ1 , λ2 , . . . , λ2 , . . . . . . , λn , . . . , λn ) を考えると WT = WT a となるからである。
一方 {WT ; c(T ) ≤ n} は被覆ではないが局所有限である。実際、任意の ∈ B I について
compact 集合 (I) の開近傍 O が存在して Λ := {λ ∈ Λ; Uλ ∩O = ∅} は有限集合である。
このとき O(I; O ) はの開近傍であるが、T ∈ Λ が c(T ) ≤ n および WT ∩ O(I; O ) = ∅
n
をみたせば T は有限集合 i=1 (Λ )i に含まれる。
T ∈ Λ, c(T ) = n について連続函数 γT : B I → I を
{
}
∑
γT ( ) := max 0, ψT ( ) − n
ψS ( )
c(S) n
によって定義することができる。{WS ; c(S)
n} は局所有限だからである。
VT := γT −1 ]0, 1] ⊂ WT
とおくと、{VT }T ∈Λb は B I の局所有限開被覆である。
実際、まず、開被覆であることは、任意の ∈ B I について ∈ WT なる T のうち
c(T ) が最小であるものを T とすると γT ( ) = ψT ( )
0 つまり ∈ VT となることか
1
なる n をと
らわかる。局所有限性を示す。 ∈ WT なる T ∈ Λ をとる。ψT ( )
n
−1 1
−1 1
る。ψT
] n , 1] はの開近傍である。いま ∈ ψT ] n , 1] とすると c(T ) n なる任意
の T ∈ Λ について γT ( ) = 0 である。c(T )ψT ( )
1 ≥ ψT ( ) となるからである。そ
−1 1
こで VT ∩ ψT
] n , 1] = ∅ ならば c(T ) ≤ n である。{WT ; c(T ) ≤ n} は局所有限だから
{VT ∩ ψT −1 ] n1 , 1]} も局所有限である。かくして {VT }T ∈Λb は局所有限である。
以上で、B I の局所有限開被覆 {VT }T ∈Λb が得られた。これをもとに連続写像
s : Nπ → E I
∑
I
を構成しよう。被覆 {VT }T ∈Λb は局所有限だから S∈Λb γS は B の連続函数であって ]0, +∞[
∑
に値をもつ。そこで、T ∈ Λ について連続函数 δT := γT / S∈Λb γS : B I → I を定義するこ
とができる。
λ ∈ Λ および 0 ≤ a ≤ b ≤ 1 について
Ξλ,a,b := {(e, ) ∈ π −1 (Uλ ) × B I ; π(e) = (a), ([a, b]) ⊂ Uλ }
幾何学 XA = 位相幾何学
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とおく。π|π−1 (Uλ ) : π −1 (Uλ ) → Uλ は Hurewicz ﬁbration だから連続写像 σλ,a,b : Ξλ,a,b →
E [a,b] であって、任意の (e, λ) ∈ Ξλ,a,b について σλ,a,b (e, )(a) = e および π◦σλ,a,b (e, ) = |[a,b]
をみたすものが存在する。
T = (λ1 , λ2 , . . . , λn ) ∈ Λ, c(T ) = n, とする。
FT := {(e, , a, b) ∈ E × VT × I × I; π(e) = (a), a ≤ b}
とおき、連続写像 sT : FT → E I を次のように定義する。直角二等辺三角形 A := {(a, b) ∈
I × I; a ≤ b} を有限閉被覆 {Aj,k }1≤j≤k≤n , ただし Aj,k := A ∩ ([ j−1
, nj ] × [ k−1
, nk ]), によっ
n
n
て覆う。任意の元 (e, , a, b) ∈ FT について、(a, b) ∈ Aj,k ならば連続写像の列
ce |[0,a] , σλj ,a, j (e, ), σλj+1 , j , j+1 (ej , ), . . . ,
n
n
n
...,
σλν+1 , ν , ν+1 (eν , ), . . . ,
n
n
σλk , k−1 ,b (ek−1 , ), cσ
n
λk , k−1
n ,b
(ek−1 , )(b) |[b,1]
は貼りあって E I の元を定める。ただし eν := σλν−1 , ν−1 , ν (eν−1 , )( nν ) ∈ π −1 ( ( nν )) である。
n
n
これを sT (e, , a, b) と表す。貼りあわせの補題とくに系 3.13 によって sT : FT → E I は連
続である。
集合 Λ に全順序を入れる。(e, ) ∈ Fπ = E ×B B I とする。 ∈ VT なる T ∈ Λ を、こ
の順序にしたがって T1 , T2 , . . . , Tm とする。連続写像の列
sTi (ei−1 , , ui−1 , ui )|[ui−1 ,ui ] ,
1≤i≤m
∑i
を貼りあわせて連続写像 s(e, ) ∈ E I がえられる。ただし u0 = 0, ui = j=1 δTj ( ), um = 1
とし、e0 = e, ei−1 = sTi−1 (ei−2 , , ui−2 , ui−1 )(ui−1 ) とする。作り方から s(e, )(0) = e,
π ◦ s(e, ) = である。{VT }T ∈Λb は局所有限だから s : Fπ → E I は連続である。つまり、
任意の ∈ B I について開近傍 W が存在して W ∩ VT = ∅ なる T ∈ Λ は有限個しか
ない。それを全順序にしたがって S1 , S2 , . . . , SN とする。これらについて上と同じ構成を
繰り返せば結果として同じものがえられるが、これは貼りあわせの補題によって W 上で
連続である。したがって s が E ×B W 全体の上で連続であることがわかる。以上により
π : E → B が Hurewicz ﬁbration であることが示された。
つぎは定理 4.9 の系であるが、非常に大切なことなので系ではなく定理と呼ぶことに
する。
定理 4.10. π : E → B を底空間 B が paracompact であるファイバー束とする。このと
き π : E → B は Hurewicz ﬁbration である。
open
≈
証明. 各点 b ∈ B は開近傍 U ⊂ B と局所自明化 Φ : U × π −1 (b) →→ π −1 (U ) をもつ。積束
U × π −1 (b) → U は補題 4.3 (1) により Hurewicz ﬁbration である。したがって Hurewicz
の定理（定理 4.9）により定理がえられる。
ここからは一般の位相群 G について主 G 束を調べることにする。主 G 束について次
の定理は基本的である。
定理 4.11. π : E → B を主 G 束とし、X を paracompact 空間とする。f0 f1 : X → B
を互いに homotopic な連続写像とする。このとき X 上の主 G 束の同型 f0 ∗ E ∼
= X f1 ∗ E が
成立つ。
これを証明するために準備を行う。π : E → B を主 G 束とする。E ×B E := {(e1 , e2 ) ∈
E × E; π(e1 ) = π(e2 )} とおく。主 G 束の定義により、任意の (e1 , e2 ) ∈ E ×B E につ
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いて e1 = e2 g をみたす g ∈ G がただ一つ存在する。この g を δ(e1 , e2 ) と書くことに
すると、写像 δ : E ×B E → G が定義できる。これは連続である。実際、各 b ∈ B に
ついて b の開近傍 U と主 G 束の局所自明化 Φ : U × G → π −1 (U ) をとる。Φ ×U Φ :
U × G × G → (E ×B E) ∩ (π −1 (U ) × π −1 (U )), (b , g1 , g2 ) → (Φ(b , g1 ), Φ(b , g2 )) は同相で
あり δ ◦ (Φ ×U Φ)(b , g1 , g2 ) = g2 −1 g1 となる。したがって δ は連続である。
つぎに π : E → B および π : E → B を同じ底空間 B をもつ主 G 束とする。E×B E :=
{(e, e ) ∈ E × E ; π(e) = π (e )} とおく。π ×B π : E ×B E → B, (e, e ) → π(e) = π (e ), は
主 G×G 束である。実際、各 b ∈ B について b の開近傍 U と E および E の主 G 束として
の局所自明化 Φ および Φ をとる。Φ ×U Φ : U × G × G → (E ×B E ) ∩ (π −1 (U ) × π −1 (U )),
(b , g, g ) → (Φ(b , g), Φ (b , g )) は局所自明化となっている。
(e, e ) ∈ E ×B E , g ∈ G, について (e, e )g := (eg, e g) とおいて G を E ×B E に連続
に右作用させ、商空間を
Iso(E, E ) := (E ×B E )/G
とおく。(e, e ) ∈ E×B E の同値類を [e, e ] ∈ Iso(E, E ) と表すことにする。π : Iso(E, E ) →
B, [e, e ] → π(e) = π (e), は G を ﬁber とする ﬁber bundle である。（群 G が非可換
ならば主 G 束ではない。）実際、上述の局所自明化 Φ および Φ を用いて局所自明化
U × G → Iso(E, E ), (b , g) → [Φ(b , 1), Φ (b , g)], がえられる。
さて、E ×B Iso(E, E ) := {(e1 , [e2 , e ]) ∈ E × Iso(E, E ); π(e1 ) = π(e2 ) = π (e )} とお
く。写像
α : E ×B Iso(E, E ) → E , (e1 , [e2 , e ]) → e δ(e1 , e2 )
は well-deﬁned かつ連続で G 同変である。実際、e gδ(e1 , e2 g) = e gg −1 δ(e1 , e2 ) = e δ(e1 , e2 )
であるから well-deﬁned である。また局所自明化 U ×G×G → E ×B Iso(E, E ), (b , g, g ) →
(Φ(b , g), [Φ(b , 1), Φ (b , g )]) についてこの写像は U × G × G → E , (b , g, g ) → Φ (b , g )g =
Φ (b , gg ) と表されるから連続である。さらに α(e1 g, [e2 , e ]) = e δ(e1 g, e2 ) = e δ(e1 , e2 )g =
α(e1 , [e2 , e ])g となるから α は G-同変である。
いま ISOB (E, E ) によって B 上の主 G 束の同型 ψ : E → E 全体の集合を表すこと
にする。勿論これは空集合であってもかまわない。このとき自然な全単射
ISOB (E, E ) = Γ(B; Iso(E, E ))
(4.3)
が成立つ。
(4.3) の証明. 同型 ψ ∈ ISOB (E, E ) について連続写像 s˜ψ : E → Iso(E, E ), e → [e, ψ(e)],
を考える。任意の g ∈ G について [eg, ψ(eg)] = [eg, ψ(e)g] = [e, ψ(e)] だから、連続写像
sψ : B = E/G → Iso(E, E ) が誘導される。これは明らかに Γ(B; Iso(E, E )) の元である。
逆に、切断 s ∈ Γ(B; Iso(E, E )) について連続写像 ψs : E → E , e → α(e, sπ(e)), は G-同
変であって π ◦ ψs = π をみたす。ゆえに補題 5.1 により B 上の主 G 束の同型である。
これらの対応 ψ → sψ と s → ψs とが互いに逆であることを証明する。
まず sψs = s を示す。任意の e ∈ E をとる。s(π(e)) = [e, e ] であるとする。このとき
sψs (π(e)) = s˜ψs (e) = [e, ψs (e)] = [e, α(e, sπ(e))] = [e, α(e, [e, e ])] = [e, e δ(e, e)] = [e, e ] =
s(π(e)) である。つまり sψs = s である。
つぎに ψsψ = ψ を示す。任意の e ∈ E をとる。ψsψ (e) = α(e, sψ (π(e))) = α(e, s˜ψ (e)) =
α(e, [e, ψ(e)]) = ψ(e)δ(e, e) = ψ(e) となる。したがって ψ = ψsψ である。以上で (14.1) が
証明された。
それでは定理 14.11 を証明しよう。
幾何学 XA = 位相幾何学
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定理 4.11 の証明. 包含写像 i0 : X → X ×I, x → (x, 0), および i1 : X → X ×I, x → (x, 1),
をとる。F : X × I → B を f0 を f1 につなぐ homotopy とすると f0 = F ◦ i0 , f1 = F ◦ i1
である。π := F ∗ π, E := F ∗ E とおく。π : E → X × I は主 G 束である。示すべき同型
は E |X×{0} = i0 ∗ E ∼
=X i1 ∗ E = E |X×{1} である。
連続写像 j0 : X × I → X × I, (x, t) → (x, 0), による E のひきもどしを E0 := j0 ∗ E =
(E |X×{0} ) × I とおく。明らかに同型 E0 |X×{0} = E |X×{0} が成立つから G を ﬁber とする
ﬁber bundle Iso(E0 , E ) → X × I は X × {0} 上の切断 s0 : X × {0} → Iso(E0 , E ) をもつ。
可換図式
s0
X −−−
→ Iso(E0 , E )




i
0
X ×I
X ×I
が成立つ。いま I は compact Hausdorﬀ 空間であって、仮定から X は paracompact 空
間である。そこで X × I は paracompact 空間である。したがって Hurewicz の定理（定
理 4.10）により π : Iso(E0 , E ) → X × I は Hurewicz ﬁbration である。とくに連続写像
s : X × I → Iso(E0 , E ) であって π ◦ s = 1X×I をみたすものが存在する。これは (4.3) に
より X × I 上の主 G 束の同型 ψ : E0 → E が存在するということ E ∼
=X×I j0 ∗ E に他な
らない。j0 ◦ i1 = i0 に注意するとこれは X 上の主 G 束の同型 i1 ∗ E ∼
=X i1 ∗ j0 ∗ E = i0 ∗ E
を意味する。これが示すべきことであった。
§2 では、この講義だけの記号として位相空間 X 上の主 G 束の同型類全体の集合を
H(X; G) と表した H(X; G) := {π : E → X; 主 G 束 }/ ∼
=X . 定理 4.11 は、この反変函手
H( · ; G) : (paracompact Hausdorﬀ 空間) → (点つき集合)
が homotopy 函手であると言っている。とくに、つぎがなりたつ。ここで位相空間が可縮
（contractible）であるとは、一点集合 ∗ とホモトピー同値であることを言う。
系 4.12. 任意の位相群 G について、可縮かつ paracompact な底空間上の主 G 束は、す
べて（位相的に）自明である。
ベクトル束および compact Hausdorﬀ 空間をファイバーとするファイバー束は、それ
ぞれ補題 1.12 と (3.12) によって、必ずある主束の随伴束となる。したがって可縮かつ
paracompact な底空間上のベクトル束および compact Hausdorﬀ 空間をファイバーとする
ファイバー束は、すべて（位相的に）自明である。
なお、点つき主 G 束の同型類 H(X, x0 ; G) についても、あとで証明するように、たと
えば X が CW 複体ならば同様のホモトピー不変性がなりたつ。
点つき主 G 束についての Mayer-Vietoris 性質（定理 2.6）と全く同様に、函手 H(·; G)
についても、次の Mayer-Vietoris 性質がなりたつ。つまり、X を位相空間、{U, V } を X
の開被覆とするとき、点つき集合の完全列
j
G(U ∩V ) → H(X; G) → H(U ; G) ×U ∩V H(V ; G) → ∗ (exact)
δ
がなりたつ。写像 δ : G(U ∩V ) → H(X; G) は、連続写像 γ : U ∩ V → G によって二つの
積束 U × G と V × G を貼り合わせて X 上の主 G 束 (U × G) ∪ψγ (V × G) → X の同
型類 δ(γ) := [(U × G) ∪ψγ (V × G)] をつくる写像である。ここで、ψγ : (U × G)|U ∩V =
∼
=
(U ∩ V ) × G → (U × G)|U ∩V = (U ∩ V ) × G は ψγ (x, g) := (x, γ(x)g), (x, g) ∈ (U ∩ V ) × G,
によって定義されている。いま、二つの連続写像のホモトピー γ0
γ1 : U ∩ V → G が
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なりたてば、これらをつなぐ連続写像 Γ : (U ∩ V ) × I → G を使って X × I 上の主 G 束
(U ×I ×G)∪ψΓ (V ×I ×G) → X ×I が得られる。これに定理 4.11 を適用すると、X 上の主
G 束の同型 (U ×G)∪ψγ0 (V ×G) ∼
=X (U ×G)∪ψγ1 (V ×G) が得られる。つまり、δ(γ0 ) = δ(γ1 )
である。以上により、写像 δ : G(U ∩V ) → H(X; G) は、写像 δ : [U ∩ V, G] → H(X; G) を
誘導する。以上により、つぎの点つき集合の完全列がえられた
δ
j
[U ∩ V ; G] → H(X; G) → H(U ; G) ×U ∩V H(V ; G) → ∗. (exact)
(4.4)
球面上の主 G 束
ここでも G を位相群とする。定理 4.11 とくに完全列 (4.4) を使って、球面
∑n
S n := {(x0 , x1 , . . . , xn ) ∈ Rn+1 ;
xi 2 = 1} ⊂ Rn+1
i=0
の上の主 G 束を分類する。n = 0 のとき S 0 は離散位相をもつ二点集合だから、S 0 上の
主 G 束はすべて自明である。以下 n ≥ 1 とする。
いま、位相群 G の単位元を含む弧状連結成分を G0 とすると、これは正規部分群であ
る。実際、h ∈ G0 とすると、連続写像 : I → G であって (0) = 1 および (1) = h
をみたすものが存在するが、任意の g ∈ G について連続写像 t ∈ I → g (t)g −1 ∈ G は
1 を ghg −1 につないでいるから ghg −1 ∈ G0 となる。したがって、G の弧状連結成分全
体の集合 π0 (G) = G/G0 は G から誘導される well-deﬁned な演算によって群となってい
る。これを弧状連結成分群という。群 π0 (G) はそれ自身に共役で作用する。つまり g お
よび h ∈ π0 (G) について g は h に ghg −1 ∈ π0 (G) によって作用する。この共役作用によ
る商集合を [π0 (G)] と書くことにする。[π0 (G)] の各元は G の元の共役類とよばれる。ま
た、位相空間 X について、ホモトピー集合 [X, G0 ] には位相群 G が作用している。つま
り、連続写像 f : X → G0 に元 g ∈ G が g · f : X → G0 , x → gf (x)g −1 , によって作用し
ている。この作用は G の [X, G0 ] への作用を定めるが、さらに π0 (G) の作用となってい
る。連続写像 : I → G について連続写像 X × I → G0 , (x, t) → (t)f (x) (t)−1 , によって
(0) · f
(1) · f : X → G0 となるからである。この作用による商集合を [X, G0 ]/π0 (G) と
表すことにする。これらの商集合によって、集合 H(S n ; G) は記述される。
まず、n = 1 つまり円周 S 1 上の主 G 束を分類する。（n ≥ 2 の場合と同時に扱う
ことも出来るが、そうすると却って複雑になるので、これだけ独立に扱う。）連続写像
p : I = [0, 1] → S 1 , p(t) := (cos(2πt), sin(2πt)), は [0, 1] が compact で S 1 が Hausdorﬀ な
ので等化写像である。g ∈ G について、(1, x) ∼g (0, gx), x ∈ G, の生成する I × G 上の同
値関係 ∼g による商を Eg := (I × G)/∼g と定義する。π : Eg → S 1 , (t, x) mod ∼g → p(t),
は well-deﬁned な連続写像であるが、さらにこれは主 G 束である。実際、 h ∈ G の
(t, x) mod ∼g への作用を ((t, x) mod ∼g )h := (t, xh) mod ∼g で定義すると、これは welldeﬁned な右作用で、その軌道は π のファイバーに等しい。あとは、作用の連続性と π の
局所自明性を証明すればよい。 S 1 \ {(1, 0)} = p(]0, 1[) への Eg の制限は G の作用も込め
て ]0, 1[×G に同相であるから、p(0) = p(1) = (1, 0) の近傍での局所自明性と G 作用の様
子をみれば充分である。{p(]1/2, 1]), p([0, 21 [)} は S 1 \ {(−1, 0)} の有限閉被覆である。この
とき、貼り合わせの補題により二つの同相写像
π −1 (p(]1/2, 1]))
π −1 (p([0, 1/2[))
∼
= p(]1/2, 1]) × G,
∼
= p([0, 1/2[) × G,
(t, x) mod ∼g → (p(t), gx),
(t, x) mod ∼g → (p(t), x),
および
は貼り合って、G 同変同相写像 π −1 (S 1 \ {(−1, 0)}) ∼
= (S 1 \ {(−1, 0)}) × G を作る。とく
に G の作用は連続である。これの逆写像が S 1 \ {(−1, 0)} 上の局所自明化を与える。
幾何学 XA = 位相幾何学
8
命題 4.13. 写像 g ∈ G → [Eg ] ∈ H(S 1 ; G) は次の全単射を誘導する
[π0 (G)] ∼
= H(S 1 ; G),
[g] → [Eg ].
証明. 3 次を順番に証明する。
(i) 与えられた写像 G → H(S 1 ; G) は全射である。
(ii) 与えられた写像が π0 (G) を径由する。
(iii) 与えられた写像が [π0 (G)] を径由する。
(iv) 誘導された写像 [π0 (G)] → H(S 1 ; G) が単射である。
まず、(i) を示す。π : E → S 1 を任意の主 G 束とする。上述の連続写像 p : I → S 1
による引き戻し π p : p∗ E → I は可縮な paracompact 空間 I 上の主 G 束であるから、系
∼
=
4.12 により自明である。同型写像 ψ : I × G → p∗ E = I ×S 1 E がえられる。第二成分へ
の射影 I ×S 1 E → E を合成したものを ψ2 : I × G → E とする。これは G-同変写像であ
る。ψ2 (0, 1) と ψ2 (1, 1) は同じファイバー π −1 ((1, 0)) に属するからただ一つ g ∈ G が存在
して ψ2 (1, 1) = ψ2 (0, 1)g となる。このとき ψ2 の G-同変性により、任意の x ∈ G につい
て ψ2 (1, x) = ψ2 (1, 1)x = ψ2 (0, 1)gx = ψ2 (0, gx) である。そこで、ψ2 は G-同変連続写像
ψ¯ : Eg → E を定める。補題 1.8 により S 1 上の主 G 束の同型 Eg ∼
=S 1 E を与える。(i) が
示された。
(ii) 連続写像 : I → G について I × I × G 上の同値関係 ∼ を、任意の t ∈ I および
x ∈ G について (0, t, x) ∼ (1, t, (t)x) をみたす最小の同値関係とする。Eg と同様の議論
により、商空間 E := (I × I × G)/∼ は S 1 × I 上の主 G 束である。定理 4.11 を適用し
て E (0) ∼
=S 1 E (1) が分かる。これで (ii) が得られた。
(iii) 任意の g, h ∈ G について Eg ∼
=S 1 Ehgh−1 を示せばよい。G-同変同相 ϕh : I ×
G → I × G, (t, x) → (t, hx), を考える。任意の x ∈ G について ϕh (1, x) = (1, hx) かつ
ϕh (0, gx) = (0, hgx) = (0, (hgh−1 )(hx)) だから、ϕh は G-同変同相 ϕ¯h : Eg → Ehgh−1 を誘
導する。補題 1.8 により ϕ
¯h は主 G 束の同型 Eg ∼
=S 1 Ehgh−1 を与える。(iii) が示された。
∗
∼
(iv) まず、主 G 束の同型 I × G =S 1 p Eg , (t, x) → (t, (t, x) mod ∼g ), がなりたつこと
∼
=
に注意する。g0 と g1 ∈ G が Eg ∼
=S 1 Eg であるとする。主 G 束の同型写像 ψ : Eg → Eg
0
1
0
1
を p によって引き戻してえられる同型写像を ψ p : I × G → I × G とする。これは G-同変写
像である。そこで、連続写像 a : I → G を ψ p (t, 1) = (t, a(t)), t ∈ I, によって定義すると、
任意の (t, x) ∈ I × G について ψ p (t, x) = ψ p (t, 1)x = (t, a(t))x = (t, a(t)x) となる。そこで
ψ p (0, g0 x) ∼g1 ψ p (1, x) を書き下すと、(0, a(0)g0 x) ∼g1 (1, a(1)x) となって g1 a(1) = a(0)g0
がえられる。いま、G における path g1 a(t)a(0)−1 , t ∈ I, を考えると [π0 (G)] において
[g0 ] = [a(0)g0 a(0)−1 ] = [g1 a(1)a(0)−1 ] = [g1 a(0)a(0)−1 ] = [g1 ] となる。(iv) が示された。
以上で命題が証明された。
逆対応
H(S 1 ; G) ∼
= [π0 (G)],
[Eg ] → [g].
(4.5)
はモノドロミー（monodromy）の一番簡単な例である。
なお、対応して S 1 上の K-ベクトル束の同型類全体の集合は [π0 (GLn (K))] によって記
述される。また、F が compact Hausdorﬀ 空間のとき、S 1 上の F -束の同型類全体の集合は
F の写像類群（mapping class group） π0 (Homeo(F )) の共役類全体の集合 [π0 (Homeo(F ))]
によって記述される。
つぎに n ≥ 2 の場合の球面 S n 上の主 G 束を分類する。P± := (0, . . . , 0, ±1) ∈ S n と
おき、U+ := S n \ {P− } および U− := S n \ {P+ } とする。{U+ , U− } は S n の開被覆であ
3
この命題は、以下の記述を読まずに、自分で証明をつけた方がよい。
14 年 5 月 2 日
9
る。この開被覆について完全列 (4.4) を考える。立体射影により同相 U+ ≈ U− ≈ Rn がな
りたち Rn は可縮である。ゆえに、系 4.12 により H(U± ; G) = ∗ である。したがって、完
全列 (4.4) により、写像 δ : [U+ ∩ U− , G] → H(S n ; G) は全射である。
命題 4.14. n ≥ 2 のとき、全射 δ はつぎの全単射を誘導する
H(S n ; G) ∼
= [S n−1 , G0 ]/π0 (G).
√
≈
証明. 同相写像 S n−1 ×] − 1, +1[→ U+ ∩ U− , (x, t) → (x/ 1 − t2 , t) により U+ ∩ U− は S n−1
とホモトピー同値である。そこで、π0 (G) の作用を保つホモトピー集合の同型 [U+ ∩U− , G0 ] =
[S n−1 , G0 ] がなりたつ。また、n ≥ 2 の仮定により S n−1 U+ ∩ U− は弧状連結である。次
を順番に証明する。
(i) 写像 δ の G0 への制限 [U+ ∩ U− , G0 ] → H(S n ; G) は全射である。
(ii) (i) の写像が [U+ ∩ U− , G0 ]/π0 (G) を径由する。
(iii) 誘導された写像 [U+ ∩ U− , G0 ]/π0 (G) → H(S n ; G) が単射である。
(i) と (ii) は同様に証明される。h1 , h2 ∈ G および γ ∈ GU+ ∩U− について h1 γh2 ∈ GU+ ∩U−
を x ∈ U+ ∩U− に h1 γ(x)h2 ∈ G を対応させる連続写像とする。このとき δ(h1 γh2 ) = δ(γ) ∈
H(S n ; G) であることを示す。主 G 束の自己同型 ϕ± : U± ×G → U± ×G を、(x, g) ∈ U+ ×G
について ϕ+ (x, g) := (x, h2 g) とおき、(x, g) ∈ U− × G について ϕ− (x, g) := (x, h1 −1 g) と
おいて定義する。このとき、任意の (x, g) ∈ (U+ ∩ U− ) × G について ϕ− −1 ψγ ϕ+ (x, g) =
ϕ− −1 ψγ (x, h2 g) = ϕ− −1 (x, γ(x)h2 g) = (x, h1 γ(x)h2 g) = ψh1 γh2 (x, g) である。したがって、
∼
=
ϕ± は S n 上の主 G 束の同型 ϕ : (U+ × G) ∪ψγ (U− × G) → (U+ × G) ∪ψh1 γh2 (U− × G) を
誘導する。したがって δ(h1 γh2 ) = δ(γ) である。
(i) この事実を使って (i) を証明する。U+ ∩ U− は弧状連結だから γ(U+ ∩ U− ) は G
のある弧状連結成分に含まれる。その弧状連結成分に属する元 h0 ∈ G を一つとる。こ
のとき γh0 −1 (U+ ∩ U− ) ⊂ G0 である。いま示したことから δ(γ) = δ(γh0 −1 ) であって、
[γh0 −1 ] ∈ [U+ ∩ U− , G0 ] である。(i) が示された。
(ii) h ∈ G および γ ∈ G0 U+ ∩U− について、いま示したことから δ(γ) = δ(hγh−1 ) であ
る。これは (ii) に他ならない。
(iii) γ0 および γ1 ∈ G0 (U+ ∩U− ) について δ(γ0 ) = δ(γ1 ) であるとする。主 G 束の同型
∼
=
ϕ : (U+ ×G)∪ψγ0 (U− ×G) → (U+ ×G)∪ψγ1 (U− ×G) がとれる。これを U± ×G に制限してえら
れる主 G 束の同型を ϕ± : U± ×G → U± ×G とする。連続写像 α± : U± → G を ϕ± (x, α± (x)),
x ∈ U± , によって定義する。同型 ϕ が well-deﬁned であることから、ϕ− ◦ ψγ0 = ψγ1 ◦ ϕ+ :
(U+ ×G)|(U+ ∩U− ) → (U= ×G)|(U+ ∩U− ) である。任意の x ∈ U+ ∩U− について ϕ− ◦ψγ0 (x, 1) =
ϕ− (x, γ0 (x)) = (x, α− (x)γ0 (x)) および ψγ1 ◦ ϕ+ (x, 1) = ψγ1 (x, α+ (x)) = (x, γ1 (x)α+ (x)) で
≈
あるから、α− (x)γ0 (x) = γ1 (x)α+ (x) がなりたつ。同相 h± : Rn → U± を一つとる。連続写
像 (U+ ∩ U− ) × I → G, (x, t) → α− (h− (th− −1 (x)))γ0 (x)α+ (h+ (th+ −1 (x)))−1 はホモトピー
α− (h− (0))γ0 α+ (h+ (0))−1 γ1 : U+ ∩ U− → G を与える。いま γ0 および γ1 は G0 に値を
もつから、π0 (G) に移行して [α− (h− (0))][α+ (h+ (0))]−1 = 1 ∈ π0 (G) となる。したがって
[U+ ∩ U− , G0 ]/π0 (G) において [γ1 ] = [α− (h− (0))γ0 α+ (h+ (0))−1 ] = [γ0 ] が得られる。(iii) が
示された。
以上で命題が示された。
あとで示すように位相群 G について、基点を忘れる写像 πn−1 (G0 , 1) → [S n−1 , G] は
全単射である。したがって、n ≥ 2 かつ G が弧状連結な位相群のとき、同型 H(S n , G) =
πn−1 (G, 1) となる。このように位相群のホモトピー群は球面上の主 G 束という幾何学的な
意味をもっている。
幾何学 XA = 位相幾何学
10
§5. 位相的平行移動と基本亜群.（前半）
本論に入る前に、初等的な事実を準備する。n ≥ 1 とする。部分空間 Jn ⊂ I n を
Jn := {(t1 , · · · , tn−1 , tn ) ∈ I n ; tn = 1 または (t1 , · · · , tn−1 ) ∈ ∂I n−1 }
= I n−1 × {1} ∪ (∂I n−1 ) × I ⊂ ∂I n
とおく。（n = 1 のときは J1 = {1} ⊂ {0, 1} = ∂I と理解する。） Jn は可縮である。実際、
可縮な部分空間 I n−1 × {1} を変位レトラクトにもつからである。この講義を通して次の補
題はしばしば用いられる。
補題 5.1. 次の同相がなりたつ
(I n , Jn ) ≈ (I n−1 × I, I n−1 × {0}).
証明. n = 1 のとき J1 = {1} ⊂ I から明らか。n ≥ 2 とする。丸めて天地をひっくり返す同相
(I n , Jn , I n−1 ×{1}) ≈ (Dn−1 ×I, Dn−1 ×{1}∪(∂Dn−1 )×I, Dn−1 ×{1}) ≈ (Dn−1 ×I, Dn−1 ×
{0} ∪ (∂Dn−1 ) × I, Dn−1 × {0}) に着目する。同相写像 ϕ : I 2 → I 2 を任意の h ∈ I について
ϕ(0, h) = (0, h) をみたし、ϕ(I×{0}∪{1}×I) = I×{0}, ϕ(I×{1}) = {1}×I∪I×{1} をみた
すようにとる。これは例えば I 2 を (0, 21 ) を頂点とする I ×{0}∪{1}×I ∪I ×{1}(≈ I) の cone
とみなせば具体的に構成できる。ϕ(r, h) = (ρ(r, h), η(r, h)) と表す。同相写像 Dn−1 × I →
Dn−1 × I, (x, h) → (ρ( x , h) xx , η( x , h)) は Dn−1 × {0} ∪ (∂Dn−1 ) × I を Dn−1 × {0}
にうつす。これは同相 (Dn−1 × I, Dn−1 × {0} ∪ (∂Dn−1 ) × I) ≈ (Dn−1 × I, Dn−1 × {0}) を
与える。補題が示された。
それでは本論に入る。 Hurewicz ﬁbration π : E → B を考える。B 上の path つまり
単位区間 I から B への連続写像に沿う平行移動（parallel transport, parallel translation）
を考えたい。b0 , b1 ∈ B, ∈ (B, b0 , b1 )(I,0,1) とする。包含写像 π −1 (b0 ) → E と連続写
像 π −1 (b0 ) × I → B, (e, t) → (t), に homotopy 持ち上げ性質 HLP を適用して、連
続写像 G : π −1 (b0 ) × I → E であって、任意の e ∈ π −1 (b0 ) および t ∈ I について
π ◦ G (e, t) = (t), G (e, 0) = e をみたすものがとれる。lift G は一意的とは限らないか
ら、連続写像 G (·, 1) : π −1 (b0 ) → π −1 (b1 ), e → G (e, 1), はに対して一意的とは限らな
い。しかし連続写像 G (·, 1) の homotopy 類を
∗
と表すならば、これは
= [ ]∗ := [G (·, 1)] ∈ [π −1 (b0 ), π −1 (b1 )]
∈ (B, b0 , b1 )(I,0,1) の homotopy 類だけで一意的にきまる。つまり
補題 5.2. 0
1 : (I, 0, 1) → (B, b0 , b1 ) ならば、それぞれの任意のリフト G 0 および
G 1 について homotopy G 0 (·, 1) G 1 (·, 1) : π −1 (b0 ) → π −1 (b1 ) がなりたつ。したがって、
−1
−1
∗ = [ ]∗ は well-deﬁned であって 0∗ = 1∗ ∈ [π (b0 ), π (b1 )] がなりたつ。
証明. 0 を 1 につなぐ homotopy L : (I × I, {0} × I, {1} × I) → (B, b0 , b1 ) をとり、連
続写像 F : π −1 (b0 ) × I × I → B を F (e, t, s) := L(t, s), (e, t, s) ∈ π −1 (b0 ) × I × I, に
よって定義する。また、連続写像 f : π −1 (b0 ) × (I × {0} ∪ {0} × I ∪ I × {1}) → E を
π −1 (b0 ) × I × {0} 上 G 0 , π −1 (b0 ) × {0} × I 上 (e, 0, s) → e, π −1 (b0 ) × I × {1} 上 G 1 に
よって定義する。同相 (I 2 , I × {0} ∪ {0} × I ∪ I × {1}) ≈ (I 2 , J2 ) が成り立つから、補題
5.1 によって f と F に homotopy 持ち上げ性質 HLP を適用することができて、連続写像
G : π −1 (b0 )×I×I → E であって f の拡張かつ F の lift であるものをとることができる。連続
写像 G(·, 1, ·) : π −1 (b0 ) × I → π −1 (b1 ) は homotopy G 0 (·, 1) G 1 (·, 1) : π −1 (b0 ) → π −1 (b1 )
を与える。これが示すべきことであった。
14 年 5 月 2 日
11
こうして対応
[(I, 0, 1), (B, b0 , b1 )] → [π −1 (b0 ), π −1 (b1 )],
[ ]→
(5.1)
∗
がえられた。これを位相的な平行移動とよぶ。定数写像 cb0 : I → B, ∀t → cb0 (t) := b0 , に
ついては lift Gcb0 を Gcb0 (e, t) := e ととることができるから cb0 ∗ = [1π−1 (b0 ) ] である。通常
eb0 := [cb0 ] ∈ [(I, 0, 1), (B, b0 , b0 )]
と書いて、eb0 を単位元（unit）または恒等射（identity）とよぶ。
次に、二つの paths 0 と 1 : I → B が合成可能（composable）つまり
であるとする。このとき、path の積 1 · 0 : I → B を
{
if t ∈ [0, 1/2],
0 (2t),
( 1 · 0 )(t) :=
1 (2t − 1), if t ∈ [1/2, 1],
によって定義する4 。条件 0 (1) =
題 3.2）により連続である。
1 (0)
(5.2)
0 (1)
=
1 (0)
(5.3)
により well-deﬁned であり、貼り合わせの補題（補
補題 5.3. 一般の位相空間 B について (5.1) のように path の積を定義するとこの積はホ
モトピー集合に積を定める。
証明. 0
0 : (I, 0, 1) → (B, b0 , b1 ) および 1
1 : (I, 0, 1) → (B, b1 , b2 ) であるとする。
L0 : (I × I, ∂I × I) → (B, b0 , b1 ) および L1 : (I × I, ∂I × I) → (B, b1 , b2 ) を、それぞれ 0 を
0 に、および 1 を 1 につなぐ（基点を保つ） homotopy とする。このとき (t, s) ∈ I × I
について
{
L0 (2t, s),
if 0 ≤ t ≤ 1/2,
L(t, s) :=
L1 (2t − 1, s),
if 1/2 ≤ t ≤ 1
によって定義される写像 L : I × I → X は well-deﬁned な連続写像（貼り合わせの補題 =
補題 3.2）(I × I, ∂I × I) → (X, x0 ) であり 1 · 0 を 1 · 0 につなぐ（基点を保つ）homotopy
である。ゆえに [ 1 · 0 ] = [ 1 · 0 ] ∈ [(I, 0, 1), (B, b0 .b2 )] がわかる。
これにより、合成（composite）
· : [(I, 0, 1), (B, b0 , b1 )] × [(I, 0, 1), (B, b1 , b2 )] → [(I, 0, 1), (B, b0 , b2 )],
([ 0 ], [ 1 ]) → [ 1 ] · [ 0 ] := [ 1 · 0 ]
が定義できた。
再び、Hurewicz ﬁbration に戻って、合成可能な二つの paths 0 と 1 : I → B を考え
る。それぞれ lifts G 0 および G 1 をとる。lift G 1 · 0 を
{
G 0 (e, 2t),
if t ∈ [0, 1/2],
G 1 · 0 (e, t) :=
G 1 (G 0 (e, 1), 2t − 1),
if t ∈ [1/2, 1],
によって定義することができる。これは [ 1 · 0 ]∗ = [ 1 ]∗ ◦ [ 0 ]∗ を意味する。つまり、対応
(5.1) は path の積をホモトピー圏における合成に写している。
この講義での path の積は右から読むことに注意せよ。これから説明するように平行移動を、基
本亜群からの共変函手とするためである。他の文献では path の積を左から読むことも多い。
4
幾何学 XA = 位相幾何学
12
ホモトピー類 ∗ ∈ [π −1 (b0 ), π −1 (b1 )] はホモトピー同値である。これは path の逆を使
うと証明できる。一般に、path : (I, 0, 1) → (B, b0 , b1 ) の逆 : (I, 0, 1) → (B, b1 , b0 ) を
(t) := (1 − t),
t∈I
(5.4)
によって定義する。
補題 5.4. [ ] · [ ] = eb0 ∈ [(I, 0, 1), (B, b0 , b0 )] および [ ] · [ ] = eb1 ∈ [(I, 0, 1), (B, b1 , b1 )] が
なりたつ。
証明. 連続写像 H : (I × I, ∂I × I) → (I, 0) を


2t,
H(t, s) := 1 − s,


2 − 2t,
s
if 0 ≤ t ≤ 1 −
2 ,
s
1+s
if 1 −
2 ≤t≤ 2 ,
s
if 1 +
2 ≤t≤1
(5.5)
によって定義する。任意の ∈ (B, b0 , b1 )(I,0,1) について ◦ H : (I × I, {0, 1} × I) → (B, b0 )
は homotopy ·
cx0 : (I, 0, 1) → (B, b0 , b0 ) を与える。ゆえに [ ] · [ ] = eb0 である。ま
た、 ◦ H によって [ ] · [ ] = eb1 である。
Hurewicz ﬁbration π : E → B にもどると、次の系がえられる。
系 5.5. (1) 任意の path つまり連続写像
: (I, 0, 1) → (B, b0 , b1 ) について、 ∗ ∈
−1
−1
[π (b0 ), π (b1 )] はホモトピー同値である。
(2) 底空間 B が弧状連結ならば、ﬁber π −1 (b) の homotopy 型は b ∈ B のとり方によら
ない。
証明. (1) 以上の議論によりの逆について ∗ ◦
∗ ◦ ∗ = [ · ]∗ = [cb1 ]∗ = 1π −1 (b1 ) である。つまり
とくに ∗ はホモトピー同値である。
(2) (1) から明らか。
∗
∗
= [ · ]∗ = [cb0 ]∗ = 1π−1 (b0 ) であり、
は ∗ のホモトピー逆を与えている。
基本亜群 ΠB を既に知っている人にとっては、ここまでの議論はワザとらしかったと
思う。要するに、Hurewicz ﬁbration π : E → B は共変函手
ΠB → (位相空間の homotopy 圏)
b → π −1 (b)
[ ] → ∗ ∈ [π −1 ( (0)), π −1 ( (1))]
を誘導する、と一言いえば済む話を勿体を付けて議論して来た。次回は、まず基本亜群を
定義し、主 G 束および離散的なファイバーをもつファイバー束のホロノミー準同型を考
える。

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