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本科／ Z-Study サポート数学IIB 見本
５章
図形と方程式
（点・直線）：ポイント整理
PM25J1-Z1J1-01
学習時間のめやす 15分
１．２点間の距離
今回から図形と方程式を学習する．これは方程式の考え方を導入して図形問題を考えるもの
で，数学Ⅱ・Ｂの中でも重要な
野である．新しい内容も多く学習するので，じっくりと取り組ん
でほしい．
まず，座標平面上の２点間の距離を表す式を示しておこう．これは基本的な
式で，３平方の
定理から容易に証明できる．
重要ポイント1
点A
点間の距離
と点 B
，
，
の間の距離は
−
＋ −
とくに，原点 O 0，0 と点 A
，
の間の距離は
＋
２．内
点・外
点
重要ポイント2
２点 A
，
，B
＋
＋
また，線
，
：に内する点の座標は
：に外する点の座標は
＋
−
内・外とも，
ABを
に対し，線
＋
＋
，
ABを
−
内点・外点
，
−
＋
−
子の係数に注意してほしい．たとえば内だと，座標は
＋
＋
すなわち，
の係数が，
の係数が
で，比が入れ替わった形になっている．
座標について
も同じだ．
外については，
−
＋
＋−
：に外するを
，
−
と考えることにすれば，内
：
に内するとみて
＋
＋−
点の
式と同じ形に帰着される(
あるいは， −
：
に内
する
とみてもよい．同じ結果が得られることを各自確認せよ)．
なお，３点 A
，
＋＋
3
である．これは，線
，B
，
，
，C
，
を頂点とする
ABCの重心の座標は
＋＋
3
BCの中点(
線
BCを 1
：1に内
内する点として求められる．これも確認しておこう．
36
する点)
を M とし，線
AM を 2
：1に
PM25J1-Z1J1-02
３．直線の方程式
一般に，直線上の１点の座標と傾きがわかると，直線の方程式は決定できるのであった．
重要ポイント3
，
を通り，傾き
−
＝
の直線の方程式は
−
…………………………………………………(＊)
(
＊)
の形より，これは傾きが
＝
，＝
である直線の方程式であることは明らかだろう．また，(
＊)
に
を代入すると等号が成立するため，この直線は点
，
を通るわけだ．
また，直線上の２点の座標がわかっても，直線の方程式は決定できるのであった．
重要ポイント4
２点
，
，
＝
（Ⅰ）
直線の方程式
，
を通る直線の方程式は
のとき，＝
のとき， −
（Ⅱ）
(
Ⅰ)
は明らかだろう．
＝
−
−
−
のときは，この直線の傾きが
−
−
と表されることから，これを
重要ポイント３にあてはめることで(Ⅱ)
が得られる．
なお，(
Ⅱ)
の母を払って整理すると
−
となる．この式は
−
−
＝
のときも成り立つので，(
Ⅰ)
，(Ⅱ)をまとめた形といえる．
−
−
＝0
４．２直線の平行条件・垂直条件
重要ポイント5
２直線
＝
＝
＋，＝
′
−
′＋ ′が平行であるための条件は
′
＋
また，２直線
直線の平行条件
＋＝ 0， ′＋ ′＋ ′
＝ 0が平行であるための条件は
′
＝0
上の条件に加えて，＝ ′あるいは
′
＝
′が成り立つとき，２直線は一致する．問題によ
っては，２直線が一致する場合を２直線が平行である場合に含まないこともあるので，注意しよう．
37
５章
図形と方程式
（点・直線）
：ポイント整理
点
直線の方程式
PM25J1-Z1J1-03
重要ポイント6
＝
２直線
直線の垂直条件
＋，＝
′＋ ′が垂直であるための条件は
′
＝ −1
＋
また，２直線
′
＋
＋＝ 0， ′＋ ′＋ ′
＝ 0が垂直であるための条件は
′
＝0
２直線のうちどちらかが座標軸に平行であれば，
′
＝ −1は
′
＝ −1の利用が効果的である．たとえば，直線
場合は
＝
えない．しかし，これ以外の
２
＋1に垂直な直線は，その
３
傾きをとすると
２
３
＝ −1
であるから，＝ −
∴
３
＋
２
＝−
３
２
とおける．あとは，通る点などの条件からの値を定めればよい．
５．点と直線の距離
重要ポイント7
点P
，
点と直線の距離
＋
と直線
＋
＋＝ 0の距離は
＋
＋
式の形が少し複雑だが，しっかりモノにしてほしい．
子＝直線の方程式にＰの座標を代入したものの絶対値
母＝
，
の係数の２乗の和の平方根
である．
また，直線の方程式は，必ず
（例）点 1，1 と直線
＝
３
＋
４
＝
＋
３
＋
４
＋＝ 0 の形に直した上で，
の距離が１であるとき，の値を求める．
を変形すると，3 −4 ＋4 ＝ 0となる．これと点 1，1 との距離は
31
−41
＋4
3＋ −4
＝
4 −1
5
これが１であるから
4 −1 ＝ 5
4 −1＝ ±5
∴
式を適用すること．
＝
３
，−1
２
38
PM25J1-Z1J1-04
図形と方程式
（点・直線）：重要例題
学習時間のめやす各10分
例題1
重要ポイント１，２
平面上に，３点 A 3，6 ，B −3，0 ，C 0，−3 があり，線
る点をＤ，線
ABを 1
：2に内
す
BCを 1：2に外する点をＥとする．このとき，次の各問に答えよ．
ABCの重心Ｇの座標を求めよ．
（２）
DGの長さを求めよ．
（３）(
２)
のＧに対して，線
着眼
平面上の線
の内
点，外
点の座標，３角形の重心の座標，２点間の距離の求め方
を確認する問題．
（１）重要ポイント２で紹介した
点
式にあてはめるだけだが，符号の扱いにはくれぐれも
注意してもらいたい．
（２） ABCの３つの頂点の座標は与えられているので，これらから重心の座標を得るためには…．
（３）(１)，(
２)
において，Ｄ，Ｇの座標は求めてあるので，２点
−
＋ −
となることを利用すればよい．
（）Ｄは線
，
，
，
の間の距離が
……………………………………………………(
＊)
ABを 1：2に
内する点であるから，内点
の式より，Ｄの座標と座標は
23
＋1 −3
３
＝
＝ 1，
1
＋2
３
P
，
次に，Ｅは線
，
PQを
に
：
に内する点の座標は
＋
＋
(答)
BCを 1
：2に外
，Q
対して，線
26
＋10 12
＝
＝4
1
＋2
3
∴
，
する点であるから，外
式より，Ｅの座標と座標は
点の
：に外
＋
＋
，
する点の座標
は
−2 −3＋10 ６
＝
＝ −6，
1
−2
−1
−
＋
−
，
−
＋
−
−20
＋1 −3
−3
＝
＝3
1
−2
−1
∴
，
(
答)
（） ABCの重心Ｇの座標と
座標は
3
＋ −3＋0 ０
6＋0＋ −3
３
＝
＝ 0，
＝
＝1
3
３
3
３
∴
，
(答)
（）(１)，(
２)
の結果と，２点間の距離の式より
DG＝ 0
−1 ＋ 1
−4
＝ 1
＋9
＝
A
，
C
，
，B
，
に対して，
ABCの重心の座標は
＋＋
3
，
＋＋
3
着眼の(
＊)
．
(
答)
39
，
図形と方程式
（点・直線）
：重要例題
５章
（１）Ｄ，Ｅの座標をそれぞれ求めよ．
PM25J1-Z1J1-05
例題2
重要ポイント４，７
平面上に，３点 A 2，5 ，B −6，1 ，C −4，7 がある．このとき，次の各問に答え
よ．
（１）直線 ABの方程式を求めよ．
（２）Ｃと直線 ABの距離を求めよ．
（３）
着眼
ABCの面積を求めよ．
ABCの面積を求める過程において，直線の方程式や点と直線の距離の求め方を確認し
てもらう．
（１）一般に，
−
平面上の２点
＝
−
−
，
−
，
，
を通る直線の方程式は
…………………………………………………(
＊)
と表されるので…．
（２）ここでは，点
＋
，
＋
と直線
＋
＋＝ 0の距離が
……………………………………………………………(
☆)
＋
であることを利用しよう．
（３）３角形の面積の求め方はいろいろあるが，本問では，(
２)
の結果を利用する方針で考えてみ
よう． ABCの底辺を線
ABとみると，高さは(２)で求めた距離に他ならないので…．
（）２点 A 2，5 ，B −6，1 を通る直線の方程式は
−5＝
1
−5
−2
−6−2
−5＝
１
２
−2
2 −5 ＝ −2
2 −1
0＝ −2
よって，求める直線 ABの方程式は
(
答)
（）
−4
−27＋8
10
＝
＝
５
1＋ −2
ABCの底辺を線
(
２)
を見越して，一般形で
答えたが
＝
……………………………①
（）求めるＣと直線 ABとの距離をとすると，①より
＝
着眼の(
＊)
．
(
答)
１
＋4
２
を答としてもよい．
着眼の(
☆)
．
ABとみる
と，高さは(
２)のに他ならない．
このことに気づくのがポイ
ここで，２点間の距離の式より
ント．
例題１
AB＝ −6
−2 ＋ 1
−5
＝ 64
＋16
の
着眼
(
＊)
．
＝ 80
＝4５
であるから，求める ABCの面積は
＝
＝
１
AB
２
＝
３角形の面積
１
4５ 2５
２
＝
(
答)
40
１
× 底辺 × 高さ
２
の
PM25J1-Z1J1-06
例題3
重要ポイント５，６
平面上に，２直線
＋1 −
：
＋＋2＝ 0，：2 − ＋5＝ 0があるとき，次の各
問に答えよ．ただし，は実数の定数とする．
と
が垂直のとき，の値を求めよ．
（２）
と
が平行のとき，の値を求めよ．
（３）
はの値に関係なくある定点を通る．その定点の座標を求めよ．
２直線の垂直条件・平行条件，直線の定点通過についての問題に取り組んでもらう．
着眼
（１）一般に，２直線
⊥
′
＋
：
＋
＋＝ 0，： ′＋ ′＋ ′
＝ 0に対して
′
＝ 0 ………………………………………………(
＊)
が成り立つことを利用すればよい．
（２）本問では，上記のような２直線
′
−
，
に対して
′
＝ 0 ………………………………………………(
☆)
が成り立つことを利用するのがコツ．
（３）このような問題では，直線の方程式を
＋
のように
＝0
とはそれぞれ
との整式
についてまとめて処理するのが定石．
……………………(
※)
の値に関係なく定点を通るということは，
どのようなの値に対しても(※)が成り立つということであるから…．
（）条件より，と
＋1 2
＋−
は垂直であるから
−1 ＝ 0
∴
3 ＋2＝ 0
(
答)
（）条件より，と
めて処理することもできる．
2＝ 0
−1＝ 0
着眼の(
☆)
．
(答)
（）の方程式を
＋2＋
について整理すると
− ＋1 ＝ 0
このように，についてま
となる．この等式は
とめるのがコツ．これが
＋2＝ 0かつ
∴
の傾きをそれぞれ求
は平行であるから
＋1 −1− −
∴
着眼の(
＊)
．なお，
と
− ＋1＝ 0
についての恒等式となるよ
＝ −2，＝ −1
うな，の値の組を求め
のとき，任意のの値に対して成り立つので，はの値に関係な
ればよい．
くある定点を通る．よって，求める定点の座標は
，
(
答)
（３）解答における考え方を応用すると，異なる２直線
＋
＋＝0
′＋ ′＋ ′
＝ 0 ……………………………………………………………①
が点Ａで
わるとき，点Ａを通る直線のうち，①以外のものは
＋
＋＋
′＋ ′＋ ′＝ 0
は定数
の形で表されることがわかる．このことはしっかり押さえておこう．
41
図形と方程式
（点・直線）
：重要例題
５章
（１）

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