線形代数学 I - b 02. 空間内の平面及び直線の方程式

平面の方程式
直線の方程式
.
.
線形代数学 I - b
02. 空間内の平面及び直線の方程式
土屋和由
基礎・教養教育センター
2015 年 04 月 16 日
土屋和由
線形代数学 I - b 02. 空間内の平面及び直線の方程式
平面の方程式
直線の方程式
. 図形と方程式
平面上の図形の方程式
. 平面上の図形は方程式で表される．
1
直線：ax + by = c
円：x 2 + y 2 = r 2
. 二つの図形の交点の座標が連立方程式を解くことで得られる．
⇒ 幾何学的な情報が代数的計算で得られる
2
.
本日の目標
.
空間内の
. 平面の方程式
1
. 直線の方程式
2
を得ること．
.
土屋和由
線形代数学 I - b 02. 空間内の平面及び直線の方程式
平面の方程式
直線の方程式
. 基本的な平面の方程式
xyz 空間内の xy 平面の方程式
xyz 空間内の xy 平面上の点の z 座標は全て 0 である．
xyz 空間内の xy 平面上の点の x 座標及び y 座標は全ての実数を
取り得る．
⇒ xy 平面の方程式は「z = 0」
.
問
.
より一般に
xyz 空間内の平面の方程式はどのように表されるか？
.
土屋和由
線形代数学 I - b 02. 空間内の平面及び直線の方程式
平面の方程式
直線の方程式
. 平面の決定
平面の決定




x0
a
α：点  y0  を通り，法線ベクトル n =  b  と直交する平面
z0
c
ポイント：n と a = p − p0 は直交する ⇔ (n, a) = 0
土屋和由
線形代数学 I - b 02. 空間内の平面及び直線の方程式
平面の方程式
直線の方程式
. 平面の方程式の一般形
平面の方程式

(n, a) =
 

a
x − x0
(  b  ,  y − y 0 )
c
z − z0
= a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0
したがって，平面 α の方程式は
ax + by + cz = d
と表される．
.
Example (空間内の xy 平面)
.
空間内の xy 平面の方程式は
a = 0,
b = 0,
c = 1,
d =0
の場合に対応する．
.
土屋和由
線形代数学 I - b 02. 空間内の平面及び直線の方程式
平面の方程式
直線の方程式
. ヘッセの標準形
ヘッセの標準形
α : a0 x + b0 y + c0 z = d0 とする．今，

 √ 2 12 2
(d0 ≧ 0)
a0 +b0 +c0
ℓ=
← 法線ベクトルの長さを 1 へ
1
 − √ 2 2 2 (d0 < 0)
a0 +b0 +c0
a = ℓa0 , b = ℓb0 , c = ℓc0 , d = ℓd0
とおくと，ax + by + cz = d は平面 α の方程式であり，
a2 + b 2 + c 2 = 1, d ≧ 0
(1)
を満たす．
.
Definition (ヘッセの標準形)
.
平面 α の方程式 ax + by + cz = d が条件 (1) を満たすとき，ヘッセの
標準形と呼ばれる．
.
土屋和由
線形代数学 I - b 02. 空間内の平面及び直線の方程式
平面の方程式
直線の方程式
. 三点から定まる平面の方程式
.
Example (三点から定まる平面の方程式)
.
    

1
1
0
空間内の三点  1  ,  0  ,  1  を通る平面 α の方程式は
0
1
1
x +y +z =2
によって与えられる（ヘッセの標準形ではない）．
平面 α のヘッセの標準形は
1
1
2
1
√ x+√ y+√ z=√
3
3
3
3
である．
.
土屋和由
線形代数学 I - b 02. 空間内の平面及び直線の方程式
平面の方程式
直線の方程式
. 基本的な直線の方程式
xyz 空間内の x 軸の方程式
x 軸は xz 平面と xy 平面の共通部分であるから，方程式は
{
y =0
← xz 平面の方程式
z =0
← xy 平面の方程式
である．
.
問
.
より一般に
xyz 空間内の直線の方程式はどのように表されるか？
.
土屋和由
線形代数学 I - b 02. 空間内の平面及び直線の方程式
平面の方程式
直線の方程式
. 直線の決定
直線の決定




x0
a
ℓ：点  y0  を通り，方向ベクトル v =  b  に平行な直線
z0
c
土屋和由
線形代数学 I - b 02. 空間内の平面及び直線の方程式
平面の方程式
直線の方程式
. 直線の方程式（ベクトル方程式）
直線の方程式
p = p0 + tv より，

 


 

x
x0
a
x0 + at
 y  =  y0  + t  b  =  y0 + bt  .
z
z0
c
z0 + ct
したがって，直線 ℓ の方程式は

 x = x0 + at
y = y0 + bt

z = z0 + ct
と表される．
.
注意
.
「媒介変数 t の実数全体における変化」と「直線上の点（ベクトル）の
.変化」が一対一対応する．
土屋和由
線形代数学 I - b 02. 空間内の平面及び直線の方程式
平面の方程式
直線の方程式
. 二点から定まる直線の方程式
.
Example (二点から定まる直線の方程式)
.

  
1
2
空間内の二点  1  ,  3  を通る直線 ℓ の方程式は
−1
3
x −1=
y −1
z +1
=
2
4
によって与えられる．
.
土屋和由
線形代数学 I - b 02. 空間内の平面及び直線の方程式
平面の方程式
直線の方程式
. 直線の方程式（媒介変数を消去）
媒介変数 t を消去
(1) a ̸= 0, b ̸= 0, c ̸= 0 のとき
x − x0
y − y0
z − z0
=
=
a
b
c
(2) a = 0, b ̸= 0, c ̸= 0 のとき

x = x0
y − y0
z − z0

=
b
c
(3) a = b = 0, c ̸= 0 のとき
{
x = x0
y = y0
土屋和由
線形代数学 I - b 02. 空間内の平面及び直線の方程式
平面の方程式
直線の方程式
. 直線の方程式と平面
直線の方程式と平面
 x −x
y − y0
0

=
x − x0
y − y0
z − z0
a
b
=
=
⇔
 y − y0 = z − z0
a
b
c
b
c
← 平面の方程式
← 平面の方程式
直線の方程式は，二枚の平面の共通部分として与えられる．
土屋和由
線形代数学 I - b 02. 空間内の平面及び直線の方程式

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