問題

図形と方程式 NO1
２点間の距離
２点 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) 間の距離は AB =
特に、原点 O と点 A(x1 , y1 ) との距離は OA =
内分点，外分点の座標
数直線上の２点 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) に対して
１. 線分 AB を m : n に内分する点の座標は特に、線分 AB の中点の座標は ³
³
, , ２. 線分 AB を m : n に外分する点の座標は ³
´
´
, ´
三角形の重心
点 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ), C(x3 , y3 ) を頂点とする三角形 ABC の重心 G の座標は 1. 次の２点間の距離を求めよ。
(1) A(4, 3), B(0, 0)
³
, (2) A(−2, 3), B(4, 0)
2. ２点 A(1, 4), B(5, −2) 結ぶ線分 AB に対して, 次の点の座標を求めよ。
(1) 線分 AB の中点
(2) 線分 AB を 2 : 3 の比に内分, 外分する点
3. ３点 A(4, 7)，B(2, 1)，C(−3, −2) を頂点とする△ ABC の重心の座標を求めよ。
4. 点 A(−1, 2) に関して，点 P(2, 5) と対象な点 Q の座標を求めよ。
´
図形と方程式 NO2
(1) 点 (x1 , y1 ) を通り、傾きが m の直線の方程式は (2) 異なる２点 (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) を通る直線の方程式は
x1 6= x2 のとき、
x1 = x2 のとき、 (3) ２直線 y = m1 x + n1 , y = m2 x + n2 について、
２直線が平行 ⇐⇒
２直線が垂直 ⇐⇒
1. 次の条件を満たす直線の方程式を求めよ。
(1) 点 (−2, 4) を通り，傾きが −3
(3) ２点 (−3, 4), (−3, −1) を通る (2) ２点 (−4, 3), (6, −3) を通る
(4) ２点 (−3, 5), (2, 5) を通る
2. ２点 A(−5, −2), B(7, 4) がある。点 P(−2, 5) を通り, 直線 AB に平行な直線と
垂直な直線の方程式を求めよ。
図形と方程式 NO3
１. ２点 A, B が直線 ` に関して対称なとき
(1) 直線 AB は ` にである。
(2) 線分 AB のは直線 ` 上にある。
２. 点 (x1 , y1 ) と直線 ax + by + c = 0 の距離 d は
d = 1. 直線 y = x に関して，点 A(−3, 5) と対称な点の座標を求めよ。
【解】直線 y = x を ` とし、対称な点の座標を B(p, q) とする
直線 AB の傾きは直線 AB は ` に垂直であるから、
ゆえに、 · · · ①
また、線分 AB の中点直線 ` 上にあるから ³
´
, ゆえに、 · · · ②
⇐
傾きの積が −1
は
⇐
代入すると成り立つ
方程式①，②を連立させて解くと、P = ，q = したがって、点 B の座標は ( ， )
2. 直線 3x − 2y + 12 = 0 に関して，点 A(−3, 5) と対称な点の座標を求めよ。
図形と方程式 NO4
1. ４点 A(−2, 5), B(1, 2), C(4, 3), D を頂点とする平行四辺形 ABCD について，
次の点の座標を求めよ。
(1) 対角線 AC の中点
(2) 頂点 D
2. ３点 (2, 5), (4, 9), (−1, a) が同じ直線上にあるとき，a の値を求めよ。
3. ３点 A(1, 1), B(3, 7), C(5, 4) について，次のものを求めよ。
(1) 直線 AB の方程式
(2) 線分 AB の長さ
(3) 点 C と直線 AB の距離 (4) △ ABC の面積
図形と方程式 NO5
中心が (a, b), 半径が r の円の方程式は特に, 中心が原点, 半径 r の円の方程式は円の方程式は `, m, n を定数として
と書ける。
1. 次の円の方程式を求めよ。
(1) 原点中心, 半径２の円
(2) 中心 (2, −5), 半径３の円
(3) 点 (2, 4) が中心で, 原点を通る円 (4) ２点 (0, 1), (2, 3) を直径の両端とする円
2. 次の方程式はどのような図形を表すか。
(1) x2 + y2 − 4x + 6y − 3 = 0 (2) x2 + y2 + 2x − 4y + 5 = 0 (3) x2 + y2 − 6x − 4y + 18 = 0
3. ３点 (−3, 4), (4, −5), (1, −4) を通る円の方程式を求めよ。
図形と方程式 NO6
円 x2 + y2 = r2 上の点 P(x1 , y1 ) におけるこの円の接線の方程式は
問次の円の与えられた点における接線の方程式を求めよ。
(1) x2 + y2 = 25 (3, 4)
(2) x2 + y2 = 5 (−1, 2)
(3) x2 + y2 = 4 (2, 0)
点 P(−3, 1) を通り，円 x2 + y2 = 1 に接する直線 p p
(4) x2 + y2 = 9 ( 3, 6)
の方程式と，接点の座標を求めよ。
【解】接点を Q( , ) とすると，
· · · ① ⇐
2
点 Q は円 x + y
2
=1
上にある。
また，点 Q におけるこの円の接線の方程式は
· · · ②
この直線が点 P を通るから
· · · ③
①，③から y1 を消去すると
ゆえに x1 = , ③から，x1 = のとき，y1 = ，
x1 = のとき，y1 = よって，接線の方程式②は，
接点の座標は
問点 P(−5, 10) を通り，円 x2 + y2 = 25 に接する直線の方程式と，接点の座標を求めよ。
図形と方程式 NO7
2
2
2
円 x + y = r と直線 sx + ty + u = 0 について, 連立方程式
¯
x2 + y2 = r2
sx + ty + u = 0
から y を消去して２次方程式を ax2 + bx + c = 0 とし、半径 r の円の中心と直線 ` の距離を d
判別式を D = b2 − 4ac とすると
⇐⇒ 異なる２点で交わる。
⇐⇒ 接する
⇐⇒ 共有点を持たない。
とすると
⇐⇒ 異なる２点で交わる。
⇐⇒ 接する
⇐⇒ 共有点を持たない。
1. 円 x2 + y2 = 1 と直線 y = 2x + k が共有点を持つとき，定数 k の値の範囲を求めよ。
また，接するときの k の値と接点の座標を求めよ。
図形と方程式 NO8
2
2
２つの円 x + y + `1 x + m1 y + n1 = 0
x2 + y2 + `2 x + m2 y + n2 = 0
が異なる２点で交わるとき，２円の交点を通る円 (直線) は，k を定数として
2
2
2
2
k(x + y + `1 x + m1 y + n1 ) + (x + y + `2 x + m2 y + n2 ) = 0
で表される。
k 6= −1 のとき，２つの交点を通る円
k = −1 のとき，２つの交点を通る直線
1. 交わる２つの円 x2 + y2 − 2x − 4y + 1 = 0 x2 + y2 = 5 について，
２円の交点，および点 (1, 3) を通る円の方程式を求めよ。
2. 直線 4x + 3y − 5 = 0 が円 x2 + y2 = 4 から切り取られる線分の長さと
線分の中点の座標を求めよ。
図形と方程式 NO9
1. 円 x2 + y2 = 9 の接線で，直線 3x + y = 5 に垂直なものの方程式を求めよ。
2. 中心が点 (3, 0) で，4x − 3y − 2 = 0 に接する円の方程式を求めよ。
3. 中心が直線 y = x + 1 上にあり，x 軸に接して，点 (3, 2) を通る円の
方程式を求めよ。
公式 NO1 図形と方程式
1. 数直線上の２点 A(a), B(b) に対して、線分 AB を m:n に内分する点を P、外分する点を Q とする。
点 P の座標は x =
点 Q の座標は x =
特に、線分 AB の中点の座標は x = 2. ２点 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) 間の距離は AB =
特に、原点 O と点 A(x1 , y1 ) との距離は OA =
3. 内分点，外分点の座標
数直線上の２点 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) に対して
１. 線分 AB を m : n に内分する点の座標は特に、線分 AB の中点の座標は ³
³
, , ２. 線分 AB を m : n に外分する点の座標は ³
´
´
, ´
4. 三角形の重心
点 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ), C(x3 , y3 ) を頂点とする三角形 ABC の重心 G の座標は ³
, 5. (1) 点 (x1 , y1 ) を通り、傾きが m の直線の方程式は 6. 異なる２点 (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) を通る直線の方程式は
x1 6= x2 のとき、
x1 = x2 のとき、 7. ２直線 y = m1 x + n1 , y = m2 x + n2 について、
２直線が平行 ⇐⇒
２直線が垂直 ⇐⇒
8. ２点 A, B が直線 ` に関して対称なとき
(1) 直線 AB は ` にである。
(2) 線分 AB のは直線 ` 上にある。
9. 点 (x1 , y1 ) と直線 ax + by + c = 0 の距離 d は
d = 10. ２直線 ax + by + c = 0, dx + ey + f = 0 について、
２直線が平行 ⇐⇒
２直線が垂直 ⇐⇒
´
公式 NO2 図形と方程式
11. 中心が (a, b), 半径が r の円の方程式は特に, 中心が原点, 半径 r の円の方程式は 12. 円の方程式は `, m, n を定数として
と書ける。
13. 円 x2 + y2 = r2 と直線 sx + ty + u = 0 について, 連立方程式
¯
x2 + y2 = r2
sx + ty + u = 0
から y を消去して２次方程式を ax2 + bx + c = 0 とし、半径 r の円の中心と直線 ` の距離を d
判別式を D = b2 − 4ac とすると
⇐⇒ 異なる２点で交わる。
とすると
⇐⇒ 接する
⇐⇒ 共有点を持つ。
⇐⇒ 共有点を持たない。
14. 円 x2 + y2 = r2 上の点 P(x1 , y1 ) におけるこの円の接線の方程式は
⇐⇒ 異なる２点で交わる。
⇐⇒ 接する
⇐⇒ 共有点を持たない。
⇐⇒ 共有点を持つ。
15. ２つの円 x2 + y2 + `1 x + m1 y + n1 = 0
2
2
x + y + `2 x + m2 y + n2 = 0
が異なる２点で交わるとき，２円の交点を通る円 (直線) は，k を定数として
2
2
2
2
k(x + y + `1 x + m1 y + n1 ) + (x + y + `2 x + m2 y + n2 ) = 0
で表される。
k 6= −1 のとき，２つの交点を通る円
k = −1 のとき，２つの交点を通る直線
16. 次の問題を解くときに最初におく式をかけ。
(1) 円 x2 + y2 = 9 の接線で，直線 2x − 3y = 5 に垂直なものの方程式を求めよ。
⇐⇒ (1 0 ) 円 x2 + y2 = 9 の接線で，直線 3x + 2y = 1 に平行なものの方程式を求めよ。
⇐⇒ (2) 中心が点 (3, 0) で，4x − 3y − 2 = 0 に接する円の方程式を求めよ。
半径 r = (3) 中心が直線 y = x + 1 上にあり，x 軸に接して，点 (3, 2) を通る円の
方程式を求めよ。
⇐⇒ (4) 点 (1, 2) を通り，x 軸と y 軸の両方に接する円
⇐⇒ (5) 中心が直線 y = 2x 上にあり，原点と点 (2, 4) を通る円
⇐⇒ (6) ２点 (−5, 1)，(2, 8) を通り，x 軸に接する円
⇐⇒

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