KURENAI : Kyoto University Research Information Repository Title Author(s) Citation Issue Date URL 定常プラズマの統計力学(基研研究会「統計物理の展望」 ,研究会報告) 伊藤, 伸泰 物性研究 (1999), 71(4): 632-635 1999-01-20 http://hdl.handle.net/2433/96542 Right Type Textversion Departmental Bulletin Paper publisher Kyoto University 研究会報告 定常プラズマの統計力学 東京大学工学系研究科 ･伊藤仲春 1 流体系 と統計力学 複雑 な定常状態 にある流体系の構造 を､統計力学的な手法で調べ ようとす る試みは古 くか ら続け られている｡ しか し､今の ところ､大 きな成功 をお さ めている とはいい難 い｡なぜ だろ うか ? 例 えば､ナ ビエス トークス乱流 を扱 う時 には､一様等方な系 に発達 した ど の方向 に も並進対称 な乱流場 を対象 とする｡ 一方 ､流体系 に とって境界条件 は､移流非線形項 とともに重要な要素である｡ このため､一様等方 な状況か らのアナ ロジーだけでは捉 え切 れない部分があるのではないだろ うか ?それ な らば､一般の形の領域 についての統計理論 を構成 してみれば うま くゆ くの ではないだろ うか ?実は これ まで､一般の領域での流体の統計理論 を構成す るために必要な状態空間 ( 位相空間)が見つか らなか ったため に､これは試 み られてこなかった｡ c l l ar dJor dal l ( Mi c hi gal l大数学)ととも 筆者 は､吉 田善幸 ( 東大工 )､Ri に､一般 の領域 でのある種の流体の運動 を統計力学的 に扱 うことので きる状 態空間 を発見 し､自己組織化 したプ ラズマの構造 など- の応用 を試みた｡以 下で簡単 に紹介 しよう｡ 詳細 ､実際の応用 については､参考文献 照 されたい.0 抑 【 2 】を参 2 流体系の状態空間 と不変測度 ある定常状態 の統計理論 を構成するため には､力学的 な性 質 として ●系の状態 の集合である状態空間 ●系の運動方程式の不変測度 ● 定常状態 を特徴付ける保存量 ･状態量 が必要 となる｡ 保存量 ･状態量 は､注 目する状態の巨視的な性 質か ら選ぶ必 要がある｡ ここでは､状態空間 と不変測度 とを扱 う｡ 流体系の運動状態は､ベ ク トル場 によって指定 される｡ 領域 に閉 じ込め ら れた湧 き出 しのないベ ク トル場は､ベ クトル演算子 ローテーション ( r ot , )の固 有ベ ク トル場で展開する と便利 である つ ま り､考 えている領域 を5 7と して､ ｡ f ?の中で r of , p -iニス i p i , di vp-i- 0, -6 3 2- f 2の表面で p i･ 元-0 ( 1 ) ｢ 統計物理の展望｣ なる r ntの固有ベ ク トル場 を考 える｡ この ような固有関数は連続個ではな く 可算個であるこ とがわかる ｡ 0に閉 じ込め られた湧 き出 しのないベ ク トル場 C i p iと展開で きることが示 されている｡ 卯 ま､L2 ウは､卯 こよってウニ∑i 内積で正規直交完全系 をなす ようにとれる｡ オイラー方程式 に従 う非粘性非圧縮の流体 の速度場 を￠とし､系 内に湧 き C i p iと展開で きる｡ さらに､この展開係 出 しがない とする｡ この時､ウニ∑i 数のルベーグ測度 dJ u -nidc iが ､オ イラー方程式∂t , ￠+( ￠･grad) ￠- p- g r a dpの不変速度であることがわかる｡ また､理想電磁流体の磁場 をB ､流れの速度場 を￠とすると､ i-∑ ibip-i､ ウ ニ∑i C 滴 と展開で きる｡ さらに､この展開係数のルベーグ測度 dJ u -ni dbin idciが ､理想 MHD 方程式 - ◆ ∂t B -- rot( VxB) , ∂+ , ￠+( ￠･grad)V= (rot , B )×B -一gradp ( 2 ) の不変測度であることがわかる｡ 3 自己組織化 したプ ラズマの統計 力学 プ ラズマを領域Oに閉 じ込め､適当な初期状態か ら放置す る｡ す る と､プ ラズマは 自己組織化 しゆ く｡ 電気抵抗が小 さいプ ラズマの場合 ､初期条件 か らまず急激な緩和 し､その後 しば ら く定常状態 に留 まる｡ この定常状態が ど うい う構造 を記述す る統計力学 を考 えよう｡ 全節 ( 2 )の理想 MHD 方程式 を 運動方程式 として使 う｡ 粒子の流れが磁場 と比べて軽視で きるようなプラズマの場合 ( 太陽 コロナ や宇宙論的なプ ラズマ)､流れウを無視 して磁場B -のみ を扱 って よいだろ う｡ 巨視的な保存量 として､磁場のエ ネルギー E-J nB2d x -と磁場のヘ リシテ ィ H-J nB -･ A dx Tを扱 う ｡ ここで､A lまベ クトルポテ ンシャルである｡ 全節の ot ,の固有ベ ク トル 相空間､不変測度 を使 って統計分布 を作 ろ う｡ 磁場Bを､r 場で展開 してこ i / B --∑c i p i +∑ a , . A J j t j =1 ( 3 ) ● , jl ま固有値入- 0 となる固有ベ ク トル場 ､す なわち､コホ と書 く｡ ここで ､A , は領域Oの第-ベ ッチ数 を表す｡和 ま､固有値が 0でな モ ロジー場である｡ i ot9 i- hjなるベ ク トル場9 Jをつか って､B -のベ い固有ベ クトル場である｡ r ク トルポテ ンシャルは､ J ノ A に ∑ 岩糾 i ∼ ∑ 痛 j =1 ( 4 ) と書 き表 される｡ ここで､鋸 ま￠it直交 している とは限 らない ことに注意 さ れたいo内積△ i . , ･ -( ￠i , 9 , I )は､コホモ ロジー と各モ ードをヘ リシテ ィーを - 6 33 - 研究会報告 -∑. : ; = 1 F j 通 して結 び付ける係数の役割 を果 たす｡Li Ai . jを､コホモ ロジー i ､Fjであるが ､項 ま運動方程式 と境界条件 係数 と呼ぶ｡ また､力学変数 は c とか ら不変であることがわかる｡ エ れ レギー､ヘ リシテ ィーは､ i E-∑c Z +∑珠 j ∑ 宕 + ∑LjFj ･ i ∫i 方- ( 5 , と書 き表 される｡ 統計分布 を作 るに際 して､エ ン トロピーを選択する必要がある｡ プ ラズマ の場合､部分系 の統計的記述が どの程度可能 か明 らかではないため､一般 に は レニエ ントロピーを使 う必要がある｡ が ､ここでは簡単のため､シャノン エ ン トロピーを仮定す る｡ す る と､分布 は -I Ipi(ci)dci Pi(ci)I e xpト β( E-1H) ] d･ u e xpl -p( 1-; ) ( c i -C' i ' ) 2 ] , ( 6) となる｡ ここで､ ct '- lAL i i ( 7) 2 ( li- A) とした｡この分布関数か ら､領域 の種数が 1以上で コホモ ロジー磁場がある 場合 ､各モー ドは 0ではない平均値 <c i> -C Tをとるこ とがわかる ｡ この古典統計では､黒体輯射の場合の レ- リー ･ジー ンズの発散 ( 紫外発 敬 ) と同様 の発散があ り､エ ネルギーやヘ リシテ ィは収束 しない｡何 らかの 方法で この発散 を除 く必要がある｡ 係数 ciを量子化することによ り収束 させ るこ とが考 え られ る 【 1 】｡ c iが ボ ゾ ンとなる とし､線形分散 を仮定する として得 られるボーズア インシュタイ ン統計か ら､エ ネルギー､ヘ リシテ ィ､お よびヘ リシテ ィのゆ らぎの空間波 / k2, 1 / k2, 1 / た1 と予想 される 数 た依存性 が､それぞれ ､1 また､ ミクロカノニカルア ンサ ンブル として収束 させ ることもで きる 【 2 1 ｡ この場合は､流れ場￠も含めて理想 MHD方程式 を扱 うことが可能である す ｡ る と､系の仝エ ネルギーは､流れ場の分 も加 えて E -I s 7 ( B2+V2) / 2 d ･ T Tとな J る｡ さらに､磁場 と流れ場の クロスヘ リシテ ィ- K- o B -･ Vd ･ T も巨視 的 な保存量 としてつか う｡ この ミクロカ ノニカル理論 か らは､巨視的 な状態が 6 ( E-(H -E K)- 0か ら決 まるこ と､コホモ ロジー場があ る と粒子 の巨視 的な流れが生 じること ( 定量的 な関係 も含めて)な どが予想 される｡ 4 最後 に ここで扱 った状態空間は､運動方程式の不変測度 を与 えるとともに運動領 域 の形状 を自然 に反映 している とい う特徴がある｡ 今後 ､さまざまな流体系 ー 63 4 - ｢ 統計物理の展望｣ へ の応用 が期待 され る｡ プ ラズマ の統計 力学 と して､ ここに述べ た どうい う 場 合 に どの理論 が妥 当なのかは ､各理論 か らの予想 の当否 を実験 に よって検 証す る こ とに よ り決定 で きるで あ ろ う｡ 謝辞 この研究 は､国際高等研究所 ワー クシ ョップ ｢複雑系 の秩 序 と構造 ｣か ら始 まった｡ l l ]N.I t 1 0al l dZ . Yos hi da, " Sf , at , i s t i c l me a c l la ni c sofl nagnet,Ohydl ･ Odyna1 1 1 i cs , "Pl l yS ･Re v･E53( 1 996)520 .この論 文 中で ､MHD の統 計理論 の一つ の 可能性 と して ､現象論的量子化 を使 った量子統計 を定式化 している ｡ これ を 使 って､十分 に半径 の大 きい トーラスの場合 につ いて､具体 的 な計算 を行 なっ てい るが ､その規格化 因子 の計算 に誤 りがあ る (正 しい表式 は､次 の文献 【 2 】 中に与 えてあ る)0 [ 2 ]R.Jor dall, Z ･Yos l l i daal l d N.It , 0, " St , at , i s t , i c l Me a cllani c sofTl lr ee- l Di me ns i ol l a lMagne t ol l ydr ndynami c si naMl lt i pl yConne ct e dDol nai l l ," Phys i c aDl14( 1 998)251 . - 635 -
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