回転流体中での MHD 乱流の発生と飽和について 犬塚修一郎 (京大理) 佐野孝好 (Cambridge 大 DAMTP) 1 はじめに 察の結果は、 「質量は内側に輸送し、角運動量は外に 移動することで全エネルギーは小さくなる」とまと 近年の電波や赤外線による観測の結果、生まれて められる。よってはじめのエネルギーに比べて減っ 間もない若い星の周りには普遍的に星周円盤が存在 たエネルギー、つまり余りのエネルギーは、流体 (粒 することがわかっている [5]。これら星周円盤にはガ 子系) の乱雑運動のエネルギーに転化させることが スと塵粒子の両方の成分が観測されている。太陽系 可能で、これが更に熱エネルギーや輻射エネルギー の惑星の起源もこのような星周円盤にあると考えら に転化することもありうる。この輻射エネルギーに れているため、これらガス円盤は原始惑星系円盤と 転化するかどうか、またそれが系の外に短時間で出 呼ばれている。若い星の進化段階に応じて平均的に て行けるかどうか等は重要ではない。一度他のエネ は円盤の質量が減少していることが観測的に示唆さ ルギー形態に転化してしまうと、(質量や角運動量を れているため、この円盤ガスの中心星への質量降着 移動させる前の) 初めの状態に戻ることが容易では 過程を解明することが重要である。質量降着を可能 ないことが重要である。これにより、回転系の天体 とするためには、円盤内で何らかの角運動量輸送メ 現象ではほぼ一般的に、質量の大部分を内側に運び、 カニズムが必要であるが、単独星の周りの原始惑星 角運動量は外に運ぶ方向に進化するということが物 系円盤では磁場を伴う乱流が唯一有効なメカニズム 理的に予想される。 として有望視されている [1, 17, 18] 。 次の問題は、この議論で仮定した質量や角運動量 この磁気乱流による角運動量輸送過程は若い星の の輸送手段が実際の個々の天体において存在するか 星周円盤のみならず、compact objects や銀河中心 どうかということになる。この疑問に対しては、電 核にあると考えられている black hole 周りの円盤に 磁的な相互作用を効率良く行う物質の場合に、肯定 おける質量降着現象においても本質的であると考え 的に答えるのが以下で説明する磁気回転不安定性で られているため、その過程の詳細の理論的解明が興 ある。 味をもたれている。講演では、この過程の基礎的な 部分について詳しく解説したので、ここでは、その 概要を以下に簡単にまとめる。 2 質量降着現象の基礎 3 磁気回転不安定性 理想 MHD 近似の仮定が成り立つほどの電離度を もったガス円盤が弱い磁場に貫かれている場合、ほ 重力源である天体の中へ (上へ) 物質が降着するこ ぼ無条件に不安定となり乱流状態になることが、非 とによって失われた重力エネルギーが輻射等の形で 常に明解な線形解析 [1] と 2 ないし 3 次元の数値シ 解放される過程は天体現象特有のものである。回転 ミュレーション [7, 8, 12] により明らかにされてい 流体におけるこのエネルギー解放機構の基本的な性 る。また、初期に必要な磁場の強さは非常に小さい 質は、中心天体の周りを回る２つの粒子の間で、質 ため、この MHD 乱流は非常に一般的に生じる一種 量の和と角運動量の和を保存しつつ質量や角運動量 のダイナモ現象である。この MHD 乱流では、磁場 を微小に移動させてそれぞれ円軌道にすると全エネ は始めに弱くても指数関数的に増幅され、磁気圧が ルギーがどう変化するか、ということを考えること ある値になるまで増幅すると飽和することが数値計 で容易に理解できる [9]。回転角速度は外ほど小さく、 算の結果としてわかっている。つまり、原始惑星系 単位質量当たりの角運動量は外側ほど大きいという、 円盤の MHD 乱流ではある特徴的な磁気圧を示す準 天体現象で典型的な回転則の場合に限ると、上記考 定常状態が実現されるのである。 ネ定数 K のバネから抗力をうけて運動する粒子を回 転座標系でみると、以下のような式に従って運動す るだろう。 x ¨ − 2Ωy˙ = −xR dΩ2 − Kx dR y¨ + 2Ωx˙ = −Ky (2) (3) ここで、Ω(R) はバネが無いときに円運動をしている 粒子の回転角速度分布を表す。この運動を非摂動状 態 x = y = 0 からの摂動の従う式を解くと摂動の成 長率は以下のような式に従うことが容易にわかる。 ω 4 − ω 2 (κ2 + 2K) + K K + R 図 1: 磁気回転不安定性の直感的説明: Balbus & Hawley 1998[3] より。 3.1 dΩ2 =0 dR (4) 式 (1) と式 (4) を見比べると、K = (k · v A )2 と置き 換えれば完全に一致する。従って、上述のバネによ る説明は妥当であろう。 線形不安定性 まずこの磁気回転不安定性の線形段階を記述する 理論を紹介する。 Balbus & Hawley は円柱座標の z 軸を回転軸と して回転する流体が z 方向の一様磁場に貫かれてい る場合に不安定となることを理想 MHD で局所近似 (4.1 節参照) と Bousinesq 近似を用いて示した。彼 らが得た分散関係式は ω 4 − ω 2 κ2 + 2(k · v A )2 +(k · v A )2 (k · v A )2 + R dΩ2 =0 dR (1) となる。ここで、k は揺らぎの波数ベクトル、κ は epicyclic frequency で、v A は磁力線方向の Alfv´en 速度ベクトルである。 図 2: 磁気回転不安定性の分散関係: 円柱座標の z この不安定性の原因は図 1 に示したようなに簡単 軸を回転軸として回転する流体が z 方向の一様磁場 化したモデルを用いて容易に理解できる [2]。非摂動 に貫かれている場合の軸対称のモードの成長率を z 状態において同じ半径で高さ (z 方向) の違う場所に 軸方向の波数の関数として示す. 局所線形解析では、 ある二つの粒子 (流体素片) が磁力線に見立てた “ば Bousinesq 近似を用いている. 実線が resistivity が 0 ね” でつながれている状態を考える。この二つの粒 の場合である. Sano & Miyama (1999)[16] より. 子が動径方向に関して逆の変位が与えられた場合、 もし角運動量を保つなら、内側の粒子は早く回るこ 磁気流体の場合に resisitivity も含めた解析は Sano とになり、外側は遅く回ることになる。しかし、等 角速度で動かそうとするばねの力のせいで、外側の & Miyama (1999) によりなされており、最も不安定 となる軸対称のモード (k ∝ z 軸) の分散関係を図 2 粒子は角運動量を得てますます外側へ行き、内側は に示す。実線が resistivity のない理想 MHD の場合 角運動量を失ってますます内側へ落ちてゆく。これ であり、式 (1) に対応する。破線や点線は resistivity が不安定性の原因である。 (η) が finite の場合であり、磁気レイノルズ数は 不安定性の成長率等は系を記述する運動方程式を 考察することで見積もることができる。回転系でバ Rm ≡ 2 vAz ηΩ (5) MHD Simulations including Ohmic Dissipation A Keplerian Disk + Uniform Vertical Fields B0 On the Flame Rotating with Local Angular Velocity Local Approximation: Box < Disk Thickness H Density 0, Pressure P0, Magnetic Di usivity are Uniform Boundary Conditions: Periodic Size: (x y z ) = (0:5H 2H 0:5H ) Vy B0 Z Y (2H 8H 2H ) : Grid Number = (64 256 64) X 図 3: 数値計算の問題設定の概要: と定義している。この図からわかるように、ゆらぎ のメカニズムはまだ十分には解明されていない。こ の z 軸方向の波長が特徴的波長 λcrit ∼ vAz /Ω より こでは、この MHD 乱流の非線形発展と飽和過程の 小さい場合は不安定となり指数関数的に成長する。 メカニズムを解明するための (非理想 MHD を含む) 磁気レイノルズ数が充分大きい場合、最大成長率は ３次元数値計算の結果の一部を解説する。 ω ∼ Ω であり、磁場の強さ (vAz ) に依らない。従っ て、磁気レイノルズ数が大きい場合には初期に vAz がどんなに小さくても、充分小さな (z 軸方向の) 波 長の揺らぎは回転周期程度で成長する。つまり、ど んなに磁場が弱くても、その効果は無視できず、(こ の問題設定では) 所謂 kinematic dynamo 近似が使え る領域は無い。また、最も不安定な波長は磁場の強 さに比例するため、不安定性が成長して磁場が増幅 されると、より大きな揺らぎのモードがより成長す るようになる。このように磁気回転不安定性ではエ 4 磁気乱流への非線形発展 質量降着の様子やジェットの形成過程などを扱う 円盤全体の数値シミュレーション的研究も既に国内 外で行われているが [10, 11]、我々は MHD 乱流の 形成過程と飽和過程の物理を解明するために、計算 精度を上げた局所的な計算に限定して研究を進めて いる。 ネルギーが inverse cascade することへの明解な説明 がある。よって、磁気レイノルズ数が大きい場合に は、小さなスケールの渦での準定常的なエネルギー の散逸は本質的とはなりえず、通常の (非圧縮の) コ ルモゴロフ乱流とは非常に異なる非線形状態を示す ことになる。 この MHD 乱流の飽和過程では磁力線のリコネク ションが重要であることが理論的に予想されるがそ 4.1 基礎方程式 非線形計算は、以下のような局所的な擬似デカル ト座標系を用いた resistive MHD 計算であり、境界 条件等の扱いは Hawley, Gammie, & Balbus (1995) らの方法を採用している: dρ + ρ∇ · v = 0, dt (6) ∂v + v · ∇v ∂t = 1 1 − ∇P + (∇ × B) × B ρ 4πρ −2Ω × v + 2qΩ2 xˆ x (7) ∂ρu P η + ∇ · (ρuv) + ∇ · v = − |∇ × B|2 (8) ∂t ρ 4π ∂B = ∇ × (v × B − η∇ × B). ∂t (9) ここで、運動方程式に現れた 2qΩ2 xˆ x は、実効的重 力の潮汐力展開であり、x 軸は円柱座標の動径方向 ˆ は x 軸方向の単位ベクトルである。また、 にとり、x 比熱比 γ = 5/3 の理想気体の状態方程式を仮定する。 P = (γ − 1)ρu. 4.2 (10) 磁気回転不安定性の非線形計算手法 計算は空間・時間２次精度のゴドノフ法を MHD 問題に適用できるように我々が独自に開発した数値 計算法による [15]。具体的には、MHD の波を圧縮 性の波と非圧縮的なアルフベン波に局所的に分解し、 圧縮性の波に対しては、厳密な非線形 Riemann 問 題の解を用いて評価して数値流束とする。アルフベ ン波に対しては特性曲線法で解く。また、磁場の誘 導方程式は ∇ · B = 0 を厳密に保証する Consistent Transport 法を用いて解く。計算は擬似デカルト座 標系を用いた局所計算であり、境界条件等の扱いは Hawley, Gammie, & Balbus (1995) らの方法を採用 している。また、熱化を伴うリコネクションを正当 に記述するため、オーム散逸などの非理想 MHD 効 果を取り込むように、磁気粘性係数ηを陽的に含め た計算法を使っている [15]。 4.3 磁気乱流の飽和のメカニズム まず、我々は円盤を二次元軸対称として座標 (r, z) で円盤の局所的領域を記述する計算を行った。その 結果、初期の磁気レイノルズ数が 100 程度より小さ いときには磁場の成長が飽和するが、初期の磁気レ イノルズ数が大きいときには飽和せず、速度場・磁 場は Channel Flow と呼ばれる非常に単純な構造を 持ち、その成長は局所計算の範囲では無限に継続す ることを明らかにしている [14]。この Channel Flow とは線形解析で最も不安定となるモードの固有関数 の振幅をそのまま大きくして非線形段階の振幅にし たような構造を持つ。 図 4: 磁気レイノルズ数が大きい場合の典型的な進化: 我々が行った三次元計算の結果では、初期の磁気 ここで、dA は表面要素、δvy = vy + qΩx は摂動速 レイノルズ数が 100 程度より小さいときは、ほぼ二 度の回転方向成分である。このように全エネルギー 次元計算の場合と同様の飽和を示すが、初期の磁気 の増加分は全 stress wxy の動径方向境界での値に比 0 レイノルズ数が 10 程度以上の場合も (二次元計算の 例する。本来の円柱座標で大域的問題に対しても同 場合と異なり、) やはり飽和することが示された。図 4 に典型的な進化の様子を示す。時刻は回転周期を単 様の関係式が導かれる [4] ので、この結果は我々の 位にして 8.2 から 9.6 までの６つのスナップショット ここで、上式 (12) の最終行の表現が resistivity (η) を示しており、色は磁気圧の大きさ、矢印が磁場の に依存していないが、磁気エネルギーから熱エネル 向きを表している。磁気圧優勢の際、x − y 平面内で ギーへの変換に対して、resistivity が本質的である x− 軸 y− 軸に対して斜めに発達した Channel Flow ことに注意。このように飽和状態においては降着現 採用した擬似デカルト座標系には依存していない。 が際立っている。最下の図では reconnection の結果 その Channel Flow が崩壊して、磁気圧が小さくなっ 100 ている。このように磁気レイノルズ数が大きい場合 は Channel Flow の形成と reconnection によるその 10 次元計算の場合には起こりにくかった reconnection が主に方位角 φ 方向 (y 方向) の揺らぎで起き易く なったためと理解される。その様子を磁気圧とガス hhP ii=P0 崩壊とが周期的に繰り返されることが分かった。２ 1 0:1 圧の時間進化で見たものが図 5 である。このように 磁気回転不安定性の線形成長の単純延長としての非 gas mag P 0:01 線形成長により Channel Flow が形成され、それが リコネクションで崩壊したときに磁気エネルギーが P 0 ガスの熱エネルギーに転化していることがわかる。 10 20 100 この磁気レイノルズ数が大きい場合の実効的スト 30 t=t 40 50 rot レス・テンソルの (r, φ) 成分の飽和値が円盤内の角 80 運動量輸送において重要である。我々はこのストレ 圧力に対する (弱い) 依存性などについて示唆を得て いるが、詳細は省略する。 次にこのエネルギー収支を考えてみる。計算領域 (shearing box) 内の全エネルギーを以下のように定 義する。 Γ≡ d3 x ρ hhP ii=P0 ス・テンソルの飽和値の（飽和状態における）ガス 60 Pgas Pmag 40 20 2 1 2 B v +u+ψ + , 2 8π (11) ここで、u は単位質量当たりの内部エネルギーであ り、ψ = −qΩ2 x2 は、実効的重力ポテンシャルの潮汐 0 34 36 38 40 42 44 t=trot 力展開である。上式の時間微分を計算し、Resisitive 図 5: 磁気圧とガス圧の時間進化: 下の図は上の図 MHD の時間発展式を使うと以下のようになる。 を拡大したもの. 縦軸は初期のガス圧で規格化して dΓ dt = − dA · ρv ある. 横軸は回転周期で規格化した時間を表す. 1 2 P v +u+ +ψ 2 ρ 1 [B × (v × B) − ηB × (∇ × B)] 4π Bx By = qΩLx dA · ρvx δvy − 4π X + = qΩLx X dAwxy , (12) 象に伴う（計算領域内への）エネルギー注入が実効 的ストレス・テンソルに比例する形で求められる。 ここで、もし磁場や乱流速度の適当な空間平均量が 飽和すると仮定すれば、dΓ/dt の空間平均は熱エネ ルギーの増加分の空間平均量に等しくならざるを得 ない。つまり、空間平均を du dt で表すなら、 Bx By ρvx δvy − 4π ∝ 速度を問題設定のパラメータとして予言できる ようになることが必要である。 , (13) である。ここで、 Bx = By = vx = δvy = 0 であることに注意する。つまり、乱流状態で各速度 成分や磁場の成分は平均的に 0 であるにもかかわら ず、correlated fluctuation Bx By 等が散逸率と結 びついているという揺動散逸関係にあることが興味 深い。このガスへのエネルギー注入率の時間進化を 図 6 に示す。このように、我々は実際に磁場のリコ 2 現実的電気抵抗の効果 実際の天体では単に古典的 (運動論的)resistivity では記述されないかもしれない。太陽フレアの 研究などで使用されているような異常抵抗モデ ルの場合に結果がどうなるかも明らかにする必 要があるだろう。 3 大局的計算 既に円盤の大局的シミュレーションはなされて おり、質量輸送・密度分布等の変化などについ 0:2 _ i hE in _ hE i て議論するためには重要である [10, 11]。しか し、磁気圧の飽和値などを定量的に決めるよう tot _ i=(E =t ) hE th0 rot _ i hE th な精度の良い計算はまだ難しいので、局所計算 0:15 の結果を踏まえて、計算可能な問題設定で取り 組む工夫が必要であろう。 0:1 参考文献 0:05 0 10 15 20 25 t=trot 図 6: エネルギー注入率の時間進化: ネクションに伴う (計算領域内の平均的な) ガスの加 熱量とこの実効的ストレスに比例したエネルギー注 入率が等しくなっていることを定量的に明らかにし た [13]。通常の MHD シミュレーションにおいては 物理的に与えた η に比例するジュール加熱ではなく、 (流体計算での数値粘性による速度の鈍化に対応す る) グリッド・スケールでのリコネクションが起こ るため、このような計算は難しかったことも指摘し たい。また、この結果、磁気リコネクションに伴う 加熱率が磁場の飽和値を決定しているということが 示唆された。今後は、三次元的なリコネクションの 素過程を研究することでこの加熱率を物理パラメー ターで評価することが、最終的な飽和現象の理論的 理解につながると期待される。 5 今後の課題 1 飽和値のスケーリング則 飽和値を解析的に予測するにはリコネクション [1] Balbus, S. A., & Hawley, J. F. 1991, ApJ, 376, 214 [2] Balbus, S. A., & Hawley, J. F. 1992, ApJ, 392, 662 [3] Balbus, S. A. & Hawley, J. F. 1998, Reviews of Modern Physics 70, 1 [4] Balbus, S. A., & Papaloizou, J. C. 1999, ApJ, 521, 650 [5] Beckwith, S. V. W. & Sargent, A. I.: Protostars and planets III, (eds. E. H. Levy & J. Il Lunine, Univ. Arizona Press, 1993), 521 [6] Hawley, J. F., & Balbus, S. A. 1991, ApJ, 376, 223 [7] Hawley, J. F., & Balbus, S. A. 1992, ApJ, 400, 595 [8] Hawley, J. F., Gammie, C. F., & Balbus, S. A. 1995, ApJ, 440, 742 [9] Lynden-Bell, D. & Pringle, J. E. 1974, MN 168, 603 [10] Machida, M., Hayashi, Mitsuru R., & Matsumoto, R. 2000, ApJ, 532, 67 [11] Machida, M. & Matsumoto, R. 2003, ApJ in press (astro-ph/0211240) [12] Matsumoto, R., & Tajima, T. 1995, ApJ, 445, 767 [13] Sano, T. & Inutsuka, S. 2001, ApJ, 561, L179 [14] Sano, T., Inutsuka, S., & Miyama, S. M. 1998, ApJ, 506, L57 [15] Sano, T., Inutsuka, S., & Miyama, S. M. 1999 Numerical Astrophysics 1998, eds. Miyama, S. M. et al. (Kluwer Academic) 383 [16] Sano, T. & Miyama, S. M. 1999, ApJ, 515, 776 [17] Sano, T., Miyama, S. M., Umebayashi, T. & Nakano, T. 2000 ApJ 543, 486 [18] Stone, J. M., Gammie, C. F., Balbus, S. A., & Hawley, J. F. 2000, Protostars and Planets IV, eds. Mannings, et. al. (Univ. Arizona Press), 589
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