演習問題解答 第 8 章（その 2） 8.2 対象システム G(s) = 5 5 = 2 (s + 5)(s2 + 3s + 1) s + 8s2 + 16s + 5 に対して，ゲイン KP の比例フィードバックを行なうと，閉ループ系の伝達関数は以下のようになる． G(s) 5 = 2 2 1 + KP G(s) s + 8s + 16s + 5 + 5KP まず，この閉ループ系が安定限界に達したときの KP の値 KC を求める．安定限界とは系の応答が減衰， 発散のいずれも起こらず持続的に振動する場合であり，系の極（特性多項式の根）が純虚数 s = jω とな ることに対応する．したがって，安定限界時の周波数を ωC とし，s = jωC を閉ループ系の特性多項式に 代入して，KP = KC として実部と虚部に分けると 2 2 )=0 + jωC (16 − ωC s2 + 8s2 + 16s + 5 + 5KC = 5 + 5KC − 8ωC となる．この式が恒等的に成り立つための条件 2 2 5 + 5KC − 8ωC = 0, jωC (16 − ωC )=0 より， 2π ∼ = 1.57, KC = 24.6 4 を得る．したがって，ジーグラ・ニコルスの限界感度法より，以下の P，PI，PID 制御に対する比例ゲイ ン，積分時間，微分時間が求まる． ωC = 4 ⇒ TC = PI 制御 : KP = 0.5KC = 12.3 PI 制御 : KP = 0.45KC = 11.1, TI = 0.83TC = 1.30 PID 制御 : KP = 0.6KC = 14.8, TI = 0.5TC = 0.79, TD = 0.125TC = 0.20 なお，代表根については授業で触れていないため，省略する． 1
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