ポイント

分布定数線路
科
v1.8 Aug.2014
1. 分布定数線路
d2 I(z)
− γ 2 I(z) = 0
(21)
dz 2
式 (21) を電流に関する波動方程式 (current wave equation) と呼ぶ。
ここで重要な結果である式 (16)，式 (21) を再度まとめて表示すると，
d2 V (z)
− γ 2 V (z) = 0
(22)
dz 2
2
d I(z)
− γ 2 I(z) = 0
(23)
dz 2
ただし，γ 2 = (R + jωL)(G + jωC) である。式 (22) および式 (23)
i ( z + ∆z , t )
R∆z L∆z
G∆z
v( z + ∆z , t )
C ∆z
∆z
図1
番氏名:
となり，最終的に次式が得られる。
i( z, t )
v( z , t )
年
R [Ω m]
L [H m]
G [S m]
C [F m]
微小長さ ∆z あたりの集中定数等価回路
の一般解はそれぞれ
V (z) = V0+ e−γz + V0− e+γz
(24)
I(z) = I0+ e−γz + I0− e+γz
(25)
である。ここで式 (24) の微分を考える。
dV (z)
= −γV0+ e−γz + γV0− e+γz
(26)
dz
この式の左辺は式 (11) に等しいので，
−γ(V0+ e−γz − V0− e+γz ) = −(R + jωL)I(z)
(27)
が得られる。これを I(z) について求めると，
1
γ
I(z)=
(V + e−γz − V0− e+γz )= (V0+ e−γz − V0− e+γz )(28)
R + jωL 0
Z0
ただし，Z0 を特性インピーダンス (characteristic impedance) と呼
*2 。
び，式 (29) で与えられる
√
R + jωL
R + jωL
Z0 =
=
(29)
γ
G + jωC
図 1 において，まず K.V.L (キルヒホッフの電圧則) より，
∂i(z, t)
= v(z + ∆z, t)
(1)
∂t
が得られる。同様に K.C.L (キルヒホッフの電流則) より，
∂v(z + ∆z, t)
i(z, t) − G∆zv(z + ∆z, t) − C∆z
= i(z + ∆z, t)(2)
∂t
が得られる。式 (1) と式 (2) を整理して書き直すと
∂i(z, t)
v(z, t) − R∆zi(z, t) − L∆z
− v(z + ∆z, t) = 0
(3)
∂t
∂v(z + ∆z, t)
i(z, t)−G∆zv(z +∆z, t)−C∆z
−i(z +∆z, t) = 0(4)
∂t
となる。さらに式 (3) と式 (4) の両辺を ∆z で割ると
v(z, t) − v(z + ∆z, t)
∂i(z, t)
− Ri(z, t) − L
=0
(5)
∆z
∂t
i(z, t) − i(z + ∆z, t)
∂v(z + ∆z, t)
− Gv(z + ∆z, t) − C
= 0 (6)
∆z
∂t
となる。ここで ∆z → 0 の極限をとると
∂v(z, t)
∂i(z, t)
= −Ri(z, t) − L
(7)
∂z
∂t
∂i(z, t)
∂v(z, t)
= −Gv(z, t) − C
(8)
∂z
∂t
となる。電圧と電流がともに正弦的に時間変化するとすれば，∂/∂t =
jω であるから
v(z, t) = V (z)ejωt
(9)
i(z, t) = I(z)ejωt
(10)
v(z, t) − R∆zi(z, t) − L∆z
2. 位相速度と波長
最も簡単な例として，式 (17), (29) において R = G = 0 の無損失の
√
場合を考える。このとき，γ = jβ = jω LC, Z0 =
V (z) = (V0+ e−jβz + V0− e+jβz )ejωt
Re [V (z)] = V0+ cos(ωt − βz) + V0− cos(ωt + βz)
(31)
となる。式 (31) の第 1 項目を進行波，第 2 項目を後進波と呼ぶ。こ
こで，進行波の位相項 (ωt − βz) に着目して，図 2 における同位相の
2 点 A (z0 , t0 ) と B (z0 + ∆z, t0 + ∆t) について考えると，両者の位
(11)
相は等しいので
(12)
ωt0 − βz0 = ω(t0 + ∆t) − β(z0 + ∆z) ⇒ ω∆t = β∆z
(32)
が得られる。従って，A-B 間の波面の移動速度 (位相速度 phase
velocity と呼ぶ) は
∆z
ω
ω
1
vp =
=
= √
= √
(33)
∆t
β
ω LC
LC
となる。一方，波長は位相が 2π 離れた 2 点の距離 A-C なので
(ωt0 − βz0 ) − (ωt0 − β (z0 + λ)) = βλ = 2π
(34)
従って次式となる。β は単位長あたりの位相角度を表す量で，位相定
数 (phase constant) と呼ばれ
2π
λ=
(35)
β
(13)
(14)
となる。これを整理すると
d2 V (z)
− (R + jωL)(G + jωC)V (z) = 0
dz 2
(30)
となる。物理的に観測できるのは実部のみなので*3
のように電圧と電流に関する 2 元連立 1 階微分方程式が得られる。式
(11) と式 (12) より I(z) を消去する。式 (11) より
dV (z)
1
I(z) = −
R + jωL dz
であるから，これを式
(12)
[
] に代入すれば
dV (z)
d
1
−
= −(G + jωC)V (z)
dz
R + jωL dz
L/C となる。
これを式 (24) に代入して時間項 ejωt を掛けると
となるので，
dV (z)
= −(R + jωL)I(z)
dz
dI(z)
= −(G + jωC)V (z)
dz
√
(15)
となり，最終的に次式が得られる。
で与えられる。
d2 V (z)
− γ 2 V (z) = 0
(16)
dz 2
ただし，γ を伝搬定数 (propagation constant) と呼び
√
γ = (R + jωL)(G + jωC)
(17)
1
*
で与えられる。また，式 (16) を電圧に関する波動方程式 (voltage
wave equation) と呼ぶ。同様にして，式 (11) と式 (12) より V (z)
を消去する。式 (12) より
dI(z)
1
V (z) = −
(18)
G + jωC dz
であるから，これを式
(11)
[
] に代入すれば
dI(z)
d
1
−
= −(R + jωL)I(z)
(19)
dz
G + jωC dz
t = t0
t = t0 + ∆t
cos (ωt0 − β z )
cos (ω (t0 + ∆t ) − β z )
z0 + ∆z
A B
z0
図2
C
λ
z
z0 + λ
位相速度と波長の概念図
となる。これを整理すると
d2 I(z)
− (R + jωL)(G + jωC)I(z) = 0
dz 2
(20)
*2
*1
*3
通常は複素数で γ = α + jβ の形をとる。無損失 (α = 0) なら γ = jβ のよ
うに純虚数となる。
1
通常は複素数となるが，無損失 (R = G = 0) なら実数となる。
[
]
[
]
cos (ωt − βz) = Re ej(ωt−βz) = Re e−jβ(z−vt) である。最後の式は
z − vt の関数になっており，速度 v で z+ に進む波を波動を表している。

Download Report