数学 IB 小テスト (2012 年 6 月 14 日実施) 担当教員: 白石潤一 / TA: 野田陽平, 穂坂秀昭 • 指数関数の Taylor 展開は次の式で与えられる: ex = ∞ ∑ xn n! n=0 (−∞ < x < ∞). [問 1] この式を用いて, 指数法則が成り立つことを示せ. ex ey = ∞ ∞ ∞ ∑ ∑ xm ∑ y n 1 = ··· = (x + y)ℓ = ex+y m! n! ℓ! m=0 n=0 ℓ=0 • 1 から n までの正数の m 乗の総和を S(m, n) := n ∑ k m とする. たとえば m が小さいときは次の通り. k=1 S(0, n) = S(3, n) = n ∑ k=1 n ∑ k=1 [問 2] 和 n ∑ 1 = n, S(1, n) = n ∑ k=1 n2 (n + 1)2 k3 = , 4 k= n(n + 1) , 2 S(4, n) = n ∑ k=1 S(2, n) = n ∑ k2 = k=1 n(n + 1)(2n + 1) 6 n(n + 1)(2n + 1)(3n2 + 3n − 1) k4 = 30 (k + 1)ℓ を二通りに計算することで, 漸化式 k=1 ) ℓ ( ∑ ℓ S(m, n) = S(ℓ, n) + (n + 1)ℓ − 1 m m=0 を導け. 上に挙げた例を用いて, この漸化式が正しいこと l が小さいときに確認せよ. [問 3] 指数関数の Taylor 展開を用いて ∞ ∑ ex (enx − 1) 1 x 2x nx = e + e + · · · + e = S(m, n)xm x e −1 m! m=0 となることを示せ. • Bernoulli 数 Bn を次の漸化式 B0 = 1, n−1 ∑( k=0 n) Bk = 0 k (n = 2, 3, 4, . . .) にて定義する. B1 から B29 までの値は次の通りである. 1 1 1 1 , B1 = − , B2 = , B3 = 0, B4 = − , B5 = 0, B6 = 2 6 30 42 1 5 691 B7 = 0, B8 = − , B9 = 0, B10 = , B11 = 0, B12 = − , B13 = 0, 30 66 2730 7 3617 43867 B14 = , B15 = 0, B16 = − , B17 = 0, B18 = , B19 = 0, 6 510 798 174611 854513 236364091 B20 = − , B21 = 0, B22 = , B23 = 0, B24 = − , 330 138 2730 23749461029 8553103 , B27 = 0, B28 = − , B29 = 0, . . . B25 = 0, B26 = 6 870 B0 = 1, 1 [問 4] Bn の満たす漸化式から x = (ex − 1) ∞ ∑ Bn n x n! n=0 が成り立つことを示せ. また, Bn は Taylor 展開 ∞ ∑ Bn n x = x ex − 1 n=0 n! によって求められることを示せ. [問 5] S(m, n) と Bk に関する次のような式が成立することを確認せよ. ∞ ∞ m ∑ ∑ ∑ S(m, n) m x e(n+1)x − ex Bk (n + 1)m−k+1 − 1 x = x = xm m! e −1 x k! (m − k + 1)! m=0 m=0 k=0 また, m > 0 のとき m ∑ Bk k=0 1 =0 k! (m − k + 1)! であることに注意して, S(0, n) = n 1 ∑ m+1 m S(m, n) = k=0 ( m+1 k ) Bk (n + 1)m−k+1 (m = 1, 2, 3, . . .) となることを示せ. • x cot x の Taylor 展開 [問 6] Euler の公式から cot x = 2i +i e2ix − 1 を導け. また, x cot x = 1 − x2 x4 2x6 x8 − − − − ··· 3 45 945 4725 を導け. • tan x の Taylor 展開 [問 7] 倍角公式を用いて tan x = cot x − 2 cot 2x となることを示せ. これを用いて, 次の Taylor 展開を導け. tan x = ∞ ∑ x3 2x5 7x7 B2n 2n 2 (1 − 22n )(−1)n x2n = x + + + + ··· (2n)! 3 15 315 n=1 2