微分積分学演習第二（U クラス）小テスト略解（11/26） t7-3. x ∈ (−1, 1) とする。表せ。 t7-1. (i): x ∈ (−1, 1) とする。1/(1 + x2 ) を x = 0 における Taylor 級数で表せ。配点：1 点答え： (ii): arctan x を x = 0 における Taylor 級数で表せ。 n=0 配点：各 1 点計 2 点答え： (i): ∞ ∑ ∞ ( ∑ 1− 1 を x = 0 における Taylor 級数で (1 − x)(2 − x) ) 1 2n+1 xn = 1 3 7 15 + x + x2 + x3 + · · · . 2 4 8 16 解説. 部分分数分解すると、 (−1)n x2n = 1 − x2 + x4 − x6 + · · · . 1 1 1 1 1 1 = − = − × (1 − x)(2 − x) 1−x 2−x 1 − x 2 1 − (x/2) n=0 ∞ ∑ x3 x5 x7 (−1)n 2n+1 (ii): x =x− + − + ···. 2n + 1 3 5 7 n=0 となるので、等比級数を用いて計算出来る。解説. 等比級数 1/(1 − t) = 1 + t + t2 + t3 + · · · (t ∈ (−1, 1)) に t = −x2 を代入すれば、(i) の答えは求まる。また、1/(1 + x2 ) = (arctan x)′ であるので、(i) の答えを項別積分すれば、(ii) が求まる。 t7-4. x ∈ (−1, 1) とする。Taylor 級数が f (x) = ∞ ∑ (n − 1)xn となる f (x) n=0 を初等関数で表せ（ヒント：数列の和の求め方を思い出す。または、微分したり積分したり x を掛けたり割ったりして、知っている級数に帰着する）。 t7-2. x ∈ (−1, 1) とする。1/(1 − x)2 を x = 0 における Taylor 級数で表せ。配点：1 点答え： ∞ ∑ (n + 1)xn = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + · · · . 1 = (1 − x)2 ( 1 1−x ( )′ = ∞ ∑ n=0 であるので、右辺の項別微分を計算すれば良い。答え：解説. n=0 解説. 配点：2 点 )′ xn 1 2 2x − 1 x2 − = = − 1. (1 − x)2 1−x (1 − x)2 (1 − x)2 ∞ ∑ (n − 1)xn = n=0 ∞ ∑ (n + 1)xn − 2 n=0 ∞ ∑ xn n=0 となるが、右辺の第一項は t7-2 で計算したもの、右辺の第二項は等比級数なので、答えがわかる。その他にも、xf (x) − f (x) を計算してから等比級数を利用したり、f (x)/x2 を項別積分してから等比級数を利用したり出来る。