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2014 年 11 月 13 日
No.8
数学を学ぶ (微分積分２)・授業用アブストラクト
§8. 2 変数関数の Taylor 展開
ある条件を満たす２変数関数は x と y に関する多項式によって近似することができる。そ
の多項式の係数は、高階の偏微分係数によって与えられる。ここでは、これらの結果—２変数
関数の Taylor 展開、Maclaurin 展開—を導く。
● 8 - 1 : 高階偏導関数
領域 D 上で定義された偏微分可能な関数 f (x, y) の偏導関数
∂f ∂f
,
がさらに偏微分可能
∂x ∂y
であるとき、その偏導関数として次の４つが考えられる。
∂2f
∂ ( ∂f )
∂2f
∂ ( ∂f )
=
,
,
=
∂x2
∂x ∂x
∂y∂x
∂y ∂x
(8 - 1 a)
∂2f
∂ ( ∂f )
∂2f
∂ ( ∂f )
=
,
=
∂x∂y
∂x ∂y
∂y 2
∂y ∂y
これらを f (x, y) の第 2 次偏導関数または 2 階偏導関数と呼ぶ。
より一般に、f (x, y) を n 回続けて偏微分することができるとき、f (x, y) は n 回偏微分可能
であるという。その偏導関数は一般に次の形をしている：
∂nf
∂ ( ∂ (
∂ ( ∂f ) ))
(8 - 1 b)
=
···
···
∂x1 ∂x2 · · · ∂xn
∂x1 ∂x2
∂xn−1 ∂xn
但し、i = 1, · · · , n に対して xi = x または xi = y である。
(8 - 1 b) を f (x, y) の第 n 次偏導関数または n 階偏導関数と呼ぶ。
● 8 - 2 : 偏微分の順序交換
一般に、領域 D 上で定義された 2 回偏微分可能な関数 f (x, y) に対して、偏導関数
∂2f ∂2f
,
∂x∂y ∂y∂x
は等しいとは限らない (教科書 p.96 問４参照)。しかし、
(8 - 2 a)
∂2f
∂2f
∂2f
∂2f
と
がともに連続であれば
=
となる
∂x∂y
∂y∂x
∂x∂y
∂y∂x
ことが知られている。この事実を繰り返し使うことにより次がわかる。
定理 8 - 2 - 1
n ≥ 0 を整数とし、f (x, y) を領域 D 上で定義された n 回偏微分可能な関数であって、n 階
までのすべての偏導関数が連続であるとする。このとき、n 階までの偏導関数は偏微分の順
序によらない。したがって、p + q ≤ n なる整数 p, q ≥ 0 に対して、f を x について p 回、
y について q 回偏微分して得られる偏導関数は、次のように書くことができる：
(8 - 2 b)
∂ p+q f
.
∂xp ∂y q
– 43 –
例 8 - 2 - 2 R2 上で定義された関数 f (x, y) = log(x2 + y 2 + 1) は何回でも微分可能、すなわ
ち、任意の整数 n ≥ 1 に対して n 階の偏導関数はすべて微分可能である。したがって、n 階の
偏導関数はすべて連続になり、それは偏微分の順序によらない。例えば、
∂3f
∂3f
∂3f
=
=
∂x∂x∂y
∂x∂y∂x
∂y∂x∂x
が成り立つ。この関数は、
∂f
2y
∂2f
−4xy
= 2
,
= 2
より、次のような関数
2
∂y
x + y + 1 ∂x∂y
(x + y 2 + 1)2
である。
∂3f
−4y(−3x2 + y 2 + 1)
.
=
∂x2 ∂y
(x2 + y 2 + 1)3
● 8 - 3 : Taylor 展開
f (x, y) を領域 D 上で定義された偏微分可能な関数とする。h, k ∈ R に対して、
( ∂
∂ )
∂f
∂f
(8 - 3 a)
h
+k
f =h
+k .
∂x
∂y
∂x
∂y
と定める。さらに、f (x, y) が 2 回偏微分可能なときには、
( ∂
( ∂
∂ )2
∂ )( ∂f
∂f )
h
+k
+k
+k
f := h
h
∂x
∂y
∂x
∂y
∂x
∂y
(8 - 3 b)
∂2f
∂2f
∂2f
∂2f
+ kh
+ k2 2
= h2 2 + hk
∂x
∂x∂y
∂y∂x
∂y
と定める。一般に、f (x, y) が n 回偏微分可能なときには、
( ∂
( ∂
∂ ) ( ∂
∂ )2
∂ )n
+k
+k
+k
f, h
f, · · · , h
f
h
∂x
∂y
∂x
∂y
∂x
∂y
∂2f
∂2f
,
が連続なときには、両者は等しいから
∂y∂x ∂x∂y
( ∂
∂ )2
∂2f
∂2f
∂2f
(8 - 3 c)
h
+k
f = h2 2 + 2hk
+ k2 2
∂x
∂y
∂x
∂x∂y
∂y
となり、3 階までの偏導関数がすべて連続なときには
( ∂
3
∂ )3
∂3f
∂3f
∂3f
3∂ f
+k
(8 - 3 d)
h
f = h3 3 + 3h2 k 2 + 3hk 2
+
k
∂x
∂y
∂x
∂x ∂y
∂x∂y 2
∂y 3
となる。
が定義される。
定理 8 - 3 - 1
n ≥ 0 を整数とし、f (x, y) を領域 D 上で定義された n 回偏微分可能な関数であって、n
階までのすべての偏導関数が連続であるとする。(a, b) ∈ D とする。実数 h, k が (a, b) と
(a + h, b + k) を結ぶ線分が D の中に含まれるくらいに十分小さいならば、次の等式を満た
す実数 θ (0 < θ < 1) が存在する：
[( ∂
∂ ) ]
1 [( ∂
∂ )2 ]
+k
f (a, b) +
h
+k
f (a, b)
h
∂x
∂y
2!
∂x
∂y
[( ∂
1
∂ )n−1 ]
+ ··· +
h
+k
f (a, b) + Rn ,
(n − 1)!
∂x
∂y
∂ )n ]
1 [( ∂
h
+k
f (a + θh, b + θk)
Rn =
n!
∂x
∂y
f (a + h, b + k) = f (a, b) +
(8 - 3 e)
– 44 –
(証明)
D は開集合であり、(a, b) と (a + h, b + k) を結ぶ線分は D の中に含まれているので、ε > 0
を十分小さくとると、
−ε < t < 1 + ε =⇒ (a + ht, b + kt) ∈ D
が成り立つ。したがって、開区間 I = (−ε, 1 + ε) 上で定義された関数
(8 - 3 f)
F (t) = f (a + ht, b + kt)
(t ∈ I)
を考えることができる。F (t) は n 回微分可能であり、その第 n 次 Maclaurin 展開は
F (t) = F (0) + F 0 (0)t +
F (2) (0) 2
F (n−1) (0) n−1 F (n) (θt) n
t + ··· +
t
+
t
2
(n − 1)!
n!
(0 < θ < 1)
となる。特に、t = 1 を代入して
(8 - 3 g)
F (1) = F (0) + F 0 (0) +
F (2) (0)
F (n−1) (0) F (n) (θ)
+ ··· +
+
2
(n − 1)!
n!
(0 < θ < 1)
を得る。ここで、F (1) = f (a + h, b + k), F (0) = f (a, b) であるから、i = 1, · · · , n に対して
( ∂
∂ )i
+k
(8 - 3 h)
F (i) (t) = h
f (a + ht, b + kt)
∂x
∂y
が示されれば、(8 - 3 g) は示したい式そのものであることがわかる。
まず、連鎖定理 [定理 7 - 2 - 2] より、
( ∂
∂ )
F 0 (t) = h
+k
f (a + ht, b + kt)
(8 - 3 i)
∂x
∂y
と書ける。よって、i = 1 のとき (8 - 3 h) は成立する。
次に、i = 2 のときを考える。
( ∂
∂ )
g(x, y) = h
+k
f (x, y)
∂x
∂y
とおくと、(8 - 3 i) は
F 0 (t) = g(a + ht, b + kt)
と表わすことができる。したがって、(8 - 3 f) から (8 - 3 i) を導いた方法と同様にして、
( ∂
( ∂
∂ )
∂ )2
+k
g(a + ht, b + kt) = h
+k
f (a + ht, b + kt)
F 00 (t) = h
∂x
∂y
∂x
∂y
がわかる。よって、i = 2 のときも (8 - 3 h) は成立する。以下同様にして、一般の i に対して
(8 - 3 h) は成立することがわかる。
定理の式 (8 - 3 e) において、x = a + h, y = b + k とおくことにより、f (x, y) は (a, b) の十
分近くでは、
(x − a, y − b に関する n − 1 次多項式) + “
( 余り ”の項)
の形をしていることがわかる。この表示を f (x, y) の (a, b) のまわりでの第 n 次 Taylor 展開
といい、(a, b) = (0, 0) の場合を特別に第 n 次 Maclaurin 展開と呼ぶ。また、Rn をラグラン
ジュの剰余項と呼ぶ。
– 45 –
例 8 -3 -2
(1) n = 2 のとき、(8 - 3 e) より、f (x, y) の (a, b) のまわりでの第 2 次 Taylor 展開は
∂f
∂f
f (x, y) = f (a, b) + (x − a) (a, b) + (y − b) (a, b) + R2
∂x
∂y
で与えられる。但し、R2 はラグランジュの剰余項である。
(2) n = 3 のとき、(8 - 3 e) より、f (x, y) の (a, b) のまわりでの第 3 次 Taylor 展開は
∂f
∂f
f (x, y) = f (a, b) + (x − a) (a, b) + (y − b) (a, b)
∂x
∂y
(
)
2
∂ f
∂2f
∂2f
1
(x − a)2 2 (a, b) + 2(x − a)(y − b)
(a, b) + (y − b)2 2 (a, b) + R3
+
2
∂x
∂x∂y
∂y
で与えられる。但し、R3 はラグランジュの剰余項である。
例 8 - 3 - 3 関数 f (x, y) = log(2x + y) (2x + y > 0) について、(1, 0) のまわりでの第 2 次
Taylor 展開を求めよ。
解；
∂f
2
=
,
∂x
2x + y
∂2f
−4
=
,
2
∂x
(2x + y)2
∂f
1
=
,
∂y
2x + y
∂2f
−2
=
∂x∂y
(2x + y)2
∂2f
−1
=
2
∂y
(2x + y)2
であるから、関数 f (x, y) の (1, 0) のまわりでの第 2 次 Taylor 展開は
∂f
∂f
(1, 0) + y (1, 0) + R2
∂x
∂y
1
= log 2 + (x − 1) + y + R2
2
f (x, y) = f (1, 0) + (x − 1)
である。但し、
R2 =
(
1
1 2)
2
y
−2(x
−
1)
−
2(x
−
1)y
−
(2 + 2θ(x − 1) + θy)2
2
(0 < θ < 1)
である。
– 46 –
2014 年 11 月 13 日
No.8
数学を学ぶ (微分積分２) 演習問題 8
8-1. 次の各関数の 2 階偏導関数を求めよ。
(1) f (x, y) = x2 y 3 + 7xy 2 − 5xy ((x, y) ∈ R2 )
(2) g(x, y) = ex sin(xy) ((x, y) ∈ R2 )
8-2. 関数 f (x, y) = log(ex + y + 1) (y > −1) について、第 3 次 Maclaurin 展開を求めよ。但
し、剰余項は計算しなくてよい。
– 47 –
数学を学ぶ (微分積分２) 通信
[No.8]
2014 年 11 月 13 日発行
第６回の学習内容チェックシート Q2 について
全微分可能の定義に従って示すという解答が多かったです。一般に、そのやり方で調べよう
(多項式)
とすると大変です。 (多項式) の形で与えられる関数 f (x, y) が全微分可能であることを示すとき
には、全微分可能の定義に戻るのではなく、それが全微分可能な関数の「組合せ」で書き表わ
されることを利用して示すようにしましょう。基本となるのは次の３つの事実です。
• p(x, y) = x, q(x, y) = y ((x, y) ∈ R2 ) によって定義される関数 p と q は全微分可能である
[例 6 - 1 - 3].
• 実数 c への定数関数 c(x, y) = c ((x, y) ∈ R2 ) は全微分可能である。
• 全微分可能な関数の和・差・積・商は全微分可能である [補題 6 - 2 - 1].
まともに扱うと歯が立たない複雑な関数も、それをより簡単な関数の和差積商や合成として
捉えることにより、性質を調べたり計算を行うことが易しくなる場合があります。この問いは
そういった種類の問題を解決するための１つの有用な方法を尋ねているのです。答えられなかっ
た人は、演習 6-1(1) の解答例や授業中に与えた [例 6 - 2 - 2] の解答例を参考に、修正してくださ
い。同様の考え方は、関数が連続であることを示すときにも有効です (第 4 回の学習内容チェッ
クシート Q3, 数学を学ぶ通信 No.6, 演習 4-1(2) 等を参照)。
2 変数関数に対する
0
に使用について
演習 7-1 の解答で (xy)0 , (x2 − y 2 )0 のような表現が目立ちました。2 変数関数 f (x, y) に対し
(
)0
て f (x, y) という記号を偏微分の意味で用いると、x に関する微分なのか、y に関する微分
∂ ∂
なのかはっきりしません。 ,
を使うようにしましょう。
∂x
∂y
(
)0
)0
(
(2) では、 Tan−1 (x2 − y 2 ) という記号を Tan−1 (x2 − y 2 ) (= Tan−1 を微分してから、
x2 − y 2 を代入したもの) の意味で使っている答案がかなりありました。0 をつける位置に気を
つけてください。
演習 5-2 の解答例の訂正
配布した演習 5-2 の解答例に誤りがあります。次のように訂正します。
(イ) より
(イ) より
•
−→
(x, y) = ( π3 , π3 )
(x, y) = ( π3 , 23 π)
• (最後の行) (x, y) = ( π3 , 23 π), ( 23 π, 23 π) である。 −→ (x, y) = ( π3 , π3 ), ( 23 π, 23 π) である。
次回予告
第 5 回の授業で、２変数関数の極値の候補は
∂f
∂x (x, y)
=
∂f
∂y (x, y)
= 0 を解くことにより求め
られることを説明しました。次回は、それらの候補の中から実際に極値になっているものを決
定する有効な判定法—ヘッシアン (Hessian) 判定法—を説明します。
– 48 –
2014 年 11 月 13 日
数学を学ぶ（微分積分２）第 8 回・学習内容チェックシート
学籍番号
Q1. 次の
氏名
に適当な言葉や数式・記号を入れてください。
• 領域 D 上で定義された関数 f (x, y) が２回偏微分可能であるとすると、f (x, y) の
が f (x, y) の偏導関数をさらに偏微分することによって定義される。
より正確には、それらは次式で定義される：
∂2f
=
∂x2
∂2f
=
∂x∂y
2
∂ f
この４つのうち、 ∂y∂x
と
∂2f
∂x∂y
,
∂2f
=
∂y∂x
,
∂2f
=
∂y 2
2
∂ f
であれば、 ∂y∂x
=
については、それらが
∂2f
∂x∂y
となる。
• (0, 0) を含む領域 D 上で定義された関数 f (x, y) の第 2 次 Maclaurin 展開は、R2 をラ
グランジュの剰余項として、
f (x, y) =
+
x+
y + R2
である。
• (0, 0) を含む領域 D 上で定義された関数 f (x, y) の第 3 次 Maclaurin 展開は、第 2 次
偏導関数が連続なとき、R3 をラグランジュの剰余項として、
f (x, y) =
+
x+
x2 +
+
y
xy +
y 2 + R3
である。
• 領域 D 上で定義された関数 f (x, y) を (a, b) ∈ D のまわりで第 2 次 Taylor 展開する
と、R2 をラグランジュの剰余項として、
f (x, y) =
+
(x − a) +
(y − b) + R2
となる。
• 領域 D 上で定義された関数 f (x, y) は 4 回偏微分可能であって、4 階までの偏導
( ∂
)
∂ 4
関数がすべて連続であるとする。このとき、実数 h, k に対して、 h ∂x
+ k ∂y
f は
4
4
4
4
∂4f
, ∂ f , ∂ f , ∂ f ,∂ f
∂x4 ∂x3 ∂y ∂x2 ∂y 2 ∂x∂y 3 ∂y 4
を用いて次のように表わされる：
( ∂
∂ )4
+k
f=
h
∂x
∂y
Q2. 第８回の授業で学んだ事柄について、わかりにくかったことや考えたことなどがありまし
たら、書いてください。

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