離散フーリエ変換3 >

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2001 年度基礎数学ワークブック番外編 2 「データの関数近似」
< 離散フーリエ変換 3 >
N 個の実数 y0 ; y1; ¢ ¢ ¢ ; yN¡1 と N 個の複素数 C0 ; C1; ¢ ¢ ¢ ; CN¡1 に対して以下
の等式が成立する。(証明略)
¯
¯2
¯
¯2
N¡1
N
¡1 ¯
N
¡1
¯
¯
X
X
X
2¼k` ¯
1
2¼k` ¯
¯
¯
Ck e N i ¯ = N
y` e¡ N i ¯
¯ y` ¡
¯ Ck ¡
¯
¯
¯
¯
N
N
¡1 ¯
X
(¤)
`=0
k=0
k=0
`=0
この等式より以下のことがわかる。
もし全ての k (k = 0; 1; ¢ ¢ ¢ ; N ¡ 1) に対して
(¤¤)
N ¡1
1 X ¡ 2¼k` i
Ck =
y` e N
N `=0
が成り立てば
(¤ ¤ ¤)
(離散フーリエ変換)
+
(¤) 式の右辺=0
+
(¤) 式の左辺=0
+
y` =
N¡1
X
Ck e
2¼k`
i
N
(離散フーリエ逆変換)
k=0
が全ての ` (` = 0; 1; ¢ ¢ ¢ ; N ¡ 1) に対して成立する。
逆に (¤ ¤ ¤) 式が成立すれば、(¤¤) 式も成立する。
(注) (¤) 式の左辺は y` と
N¡1
X
Ck e
2¼k`
i
N
との距離の 2 乗の和を意味している。2 乗の和を
k=0
最小にするような方法を最小 2 乗法という。
問
(¤¤) 式から CN¡k = Ck (Ck の複素共役) を導け。

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