統計力学 I 演習第１回佐宗 [1-1] ことわざに，「覆水盆に返らず」という。盆の上のコップが倒れて水が床に落ちる過程は明らかに逆向きには起きず，不可逆過程である。つぎに，盆の上の球も，盆を傾ければ自然に落下する。自然に起こる過程だから，逆過程は不自然であり，したがって球が落ちる過程は不可逆である。これは正しいか ? [1-2] n モルの理想気体（ 1 モルあたりの定積比熱を Cv とする）を温度 T ，体積 V から，体積 V に膨張させる。 (1) 自由断熱膨張させるとき，エントロピー S の変化を求め，熱力学第 2 法則に関 B dQ がどうなるか調べよ。する不等式 S(B) − S(A) ≥ A Te (2) 等温可逆的に膨張させるとき，エントロピー S の変化を求め，上の不等式がどうなるか調べよ。 [1-3] 比熱 C(T ) を温度 T の関数として測定したら，関数 C(T ) = (∆/T )/(e∆/kB T + 1) で ﬁt できた。エントロピー S(T ) を求め，C(T ) とともに概形を図に描け。 [1-4] (a) 積分公式 ∞ −∞ 2 e−αx dx = π , α ∞ −∞ 2 xe−αx dx = 0, ∞ −∞ 2 x2 e−αx dx = 1 2α π α を示せ。 (b) これらを用いて， 2 x = ∞ 2 −αx2 dx −∞ x e ∞ 2 −αx dx −∞ e 1 = , 2α ∞ 2 x2e−αx /2 dx 1 = 2 −αx /2 dx α −∞ e ∞ x = −∞ 2 を示せ。 [1-5] Stirling の公式の簡易形 n! nn e−n を，関数 log x を積分することにより求めよ。（できるだけ近似がよくなるよう，積分範囲に注意せよ。） [1-6] より精度の高い Stirling の公式 n! n! = √ 2πnnn e−n を，積分表示 ∞ o xn e−x dx と鞍点法を用いて求めよ。 [1-7] Stirling の公式 log N! N log N − N + 12 log(2πN) を用い，次の PN (n) の対数を計算することにより PN (n) ≡ N! N 1 1 1 2 e− 2 (m/σ) √ n!(N − n)! 2πσ 2 (1) となることを示せ。（ただしn = N/2 + m とおいて，log PN (n) を m の 2 次までテーラー展開せよ。また，σ = N/4 とおけ。） [1-8] p = q = 1/2 として，N = 10, 50, 100 に対し，次の 2 項分布 PN (n) を計算し，図示せよ。（パソコン等でプログラムを組んで，作図せよ。Excel でもよい。） PN (n) = N! pn q N −n n!(N − n)! [1-9] Gauss 分布 1 2 2 F (x) = √ e−(x−x0 ) /2σ0 2πσ0 に対し， ∞ −∞ F (x)dx = 1, x = ∞ −∞ xF (x)dx = x0 , 2 σ = ∞ −∞ (x − x)2 F (x)dx = σ02 を示せ。 [1-10] x ≥ 0 の半直線上に，ランダムに点を打つ。単位の長さ中に，平均して 1/λ 個の点があるように打つものとする。区間 [0, x] の中に，点が 1 個もない確率が P0 (x) = （ヒント：P0 (x+dx) と P0 (x) の関係を考えよ。また，P0 (0) = e−x/λ となることを示せ。 1 とせよ。） [1-11] 前問と同じ状況で，[0, x] には点がなく，[x, x + dx] にはじめて 1 個だけ点がある確率が f(x)dx = e−x/λ dx/λ となることを示せ。これを利用し，[0, x] に 1 個だけ点がある確率が P1 (x) = (x/λ)e−x/λ となることを示せ。 [1-12] 前問と同じ状況で，[0, x] に n 個の点がある確率が Poisson 分布 n Pn (x) = となることを示せ。 1 x n! λ e−x/λ