Opgaven Analyse 2 (2WA40) College 23

Opgaven Analyse 2 (2WA40) College 23
a) Geef voorwaarden aan (x0 , y0 ) ∈ R2 zodanig dat de vergelijking
1.
F (x, y) = x4 + ey y 3 = 1 + e
in een omgeving van het punt (x0 , y0 ) eenduidig oplosbaar is naar
y = g(x).
b) Kies (x0 , y0 ) = (1, 1) en bepaal in dit geval g 0 (1). Geef een vergelijking voor de raaklijn aan de bijbehorende hoogtelijn van F .
2. Beschouw het stelsel vergelijkingen
x2 + y 2 + u2 + v 3
4
4
3
x +y +y+u +v
4
=
4
=
5.
Laat zien dat dit stelsel in een omgeving van het punt
(x0 , y0 , u0 , v0 ) = (1, 1, 1, 1)
oplosbaar is naar x = φ(u, v), y = ψ(u, v), en bereken de parti¨ele afgeleiden ∂u φ, ∂u ψ, ∂v φ, ∂v ψ in het punt (u, v) = (1, 1).
3. (Hogere differentieerbaarheid van impliciete functies)
Laat I, J twee open intervallen in R zijn. Zij F : I × J −→ R differentieerbaar met continue parti¨ele afgeleiden. Zij verder ∂y F (x, y) 6= 0 voor
(x, y) ∈ I × J. Zij g : I −→ J differentieerbaar en
F (x, g(x)) = 0.
Laat zien: Als F k keer continu differentieerbaar is (d.w.z. alle parti¨ele
afgeleiden tot en met orde k zijn continu differentieerbaar in I × J) dan
is ook g k keer continu differentieerbaar.
Hint: Gebruik de voorstelling voor g 0 .
4. Zij S ⊂ R3 in cartesische co¨ordinaten (x, y, z) gegeven door
(x − 1)4 + y 2 + z 2 = 2
.
a) Geef de bolco¨
ordinaten hρ0 , θ0 , φ0 i van het punt P = (1, 1, 1)
b) Laat zien: er zijn omgevingen U ⊂ R3 van P , V ⊂ R2 van (θ0 , φ0 ) en
een continu differentieerbare functies R : V −→ R zodanig dat S ∩ U
gegeven wordt door de punten met bolco¨ordinaten hR(θ, φ), θ, φi,
(θ, φ) ∈ V .
c) Bereken ∂θ R(θ0 , φ0 ), ∂φ R(θ0 , φ0 ).
1
5. (?) (Stelling over het locale diffeomorfisme, inverse functiestelling)
Zij D ⊂ Rd open, z0 ∈ D, f : D −→ Rd continu differentieerbaar en
Df (z0 ) inverteerbaar. Laat zien:
(i) Er zijn open omgevingen A ⊂ D van z0 en B ⊂ Rd van f (z0 ) zodanig
dat fe := f |A : A −→ B bijectief is.
(ii) De inverse fe−1 is continu differentieerbaar op B, en
D(fe−1 )(w) = [Dfe(fe−1 (w))]−1 .
(iii) Indien fe k keer continu differentieerbaar is dan is de inverse dat ook.
(Hint: w = f (z) ⇐⇒ F (w, z) := w − f (z) = 0. Pas de impliciete functiestelling toe op F in een omgeving van het punt (z0 , f (z0 )). Voor d = 1 ken
je dit resultaat al. Voor d > 1 heb je de algemene versie van de impliciete
functiestelling nodig, zie studiewijzer.)
Rekenvaardigheden (niet in te leveren):
[A] Ch.12 Review: 3,5,12,13
2

Download Report