Opgaven Analyse 2 (2WA40) College 25 1. a) Zij z0 ∈ [a, b] en p : [a, b] −→ R gegeven door 1 x = z0 p(x) = 0 x 6= z0 . Rb Laat zien: p ∈ R[a, b] en a p(x) dx = 0. b) Zij f, fe : [a, b] −→ R begrensd en zodanig dat f (x) = fe(x) ∀x ∈ [a, b] \ {z1 , . . . , zm } voor een eindig aantal punten z1 , . . . , zm ∈ [a, b]. Laat zien: f ∈ R[a, b] ⇐⇒ fe ∈ R[a, b] en in dit geval b Z b Z f (x) dx = fe(x) dx. a a (Hint: Gebruik a) en het feit dat R[a, b] een vectorruimte is.) 2. a) (Positiviteit van de integraal) Zij f ∈ R[a, b] en f (x) ≥ 0 voor alle x ∈ [a, b]. Laat zien: Z b f (x) dx ≥ 0. a b) (Monotonie van de integraal) Zij f, g ∈ R[a, b] en f (x) ≥ g(x) voor alle x ∈ [a, b]. Laat zien: Z b Z b f (x) dx ≥ g(x) dx. a a 3. Zij f : [a, b] −→ R begrensd en stuksgewijs continu, d.w.z. f is continu met mogelijke uitzondering van eindig veel punten z1 , . . . , zm ∈ (a, b), en in zi bestaan de eenzijdige limieten van links en van rechts. (i = 1, . . . , m). Laat zien: f ∈ R[a, b]. (Hint: Gebruik Stelling 6.3.3.) Rb 4. Zij f ∈ R[a, b] en zij a f (x) dx > 0. Laat zien: Dan is er een interval I ⊂ [a, b] met positieve lengte en een ε > 0 zodanig dat f (x) > ε voor alle x ∈ I. (Hint: Beschouw Darboux-ondersommen.) 5. (?) Geef een voorbeeld voor een functierij {fn } op [0, 1] met fn ∈ R[0, 1], fn → f ∗ puntsgewijs, f ∗ begrensd, f ∗ ∈ / R[0, 1]. 1 1 Vanwege dit lelijke verschijnsel is het voor vele doeleinden nodig om met een uitbreiding van de Riemannintegraal te werken, de zgn. Lebesgueintegraal. 1 Rekenvaardigheden (niet in te leveren): [A] 10.6 5,9,10,12,14 2