Evenwichten van stelsel differentievergelijkingen

Evenwichten van stelsel differentievergelijkingen
A. Lineair:
1. Het stelsel is van de vorm
~x(t + 1) = A~x(t)
met A een matrix.
2. Het enige evenwicht is
0
0
3. Stabiliteit van het evenwicht: eigenwaarden λ1 en λ2 van A bepalen.
→ Re¨ele eigenwaarden: Stabiel als |λ1 | < 1 EN |λ2 | < 1.
→ Complexe eigenwaarden: Stabiel als det(A) < 1.
B. Niet-lineair:
1. Het stelsel is van de vorm
(
x1 (t + 1) = F (x1 (t), x2 (t))
x2 (t + 1) = G(x1 (t), x2 (t))
2. De evenwichten worden bepaald door onderstaand stelsel op te lossen
(
x1 (t) = F (x1 (t), x2 (t))
x2 (t) = G(x1 (t), x2 (t))
3. Stabiliteit bepalen van het evenwicht (x∗1 , x∗2 ):
∂F ∂F ∂G ∂G
, , ,
a) Zoek de parti¨ele afgeleiden ∂x
1 ∂x2 ∂x1 ∂x2
b) Vul het evenwicht in de parti¨ele afgeleiden in
c) Stel de Jacobiaan J op:
J=
∂F (x∗1 ,x∗2 )
∂x1
∂G(x∗1 ,x∗2 )
∂x1
∂F (x∗1 ,x∗2 )
∂x2
∂G(x∗1 ,x∗2 )
∂x2
d) Eigenwaarden λ1 en λ2 van J bepalen.
→ Re¨ele eigenwaarden: Stabiel als |λ1 | < 1 EN |λ2 | < 1.
→ Complexe eigenwaarden: Stabiel als det(J) < 1.
1
!

Download Report