Hoofdstuk 8

8 Afgeleiden en toepassingen
Waar in hoofdstuk 2 van afgeleiden vooral de rekentechnieken herhaald werden, gaan we in dit
hoofdstuk dieper in op de theoretische aspecten van differentieerbaarheid. Differentieerbaarheid
van een functie drukt een zekere ‘gladheid’ uit en we zullen verschillende krachtige eigenschappen van differentieerbare functies behandelen. Ook zullen we belangrijke toepassingen van deze
eigenschappen zien. Onder andere komt de techniek van linearisatie aan bod, waarbij een functie
lokaal benaderd wordt door een eerstegraadsfunctie. Meetkundig komt deze benadering overeen
met de plaatselijke benadering van de grafiek door de raaklijn aan de grafiek.
Onder andere zul√
len we aan de hand van linearisatie gemakkelijk een benadering van bv. 4, 001 kunnen vinden.
Men kan dit getal uiteraard ook eenvoudigweg benaderen door 2, maar dan is de fout ongeveer 0, 00025 terwijl met de benadering door linearisatie de fout slechts ongeveer 0, 00000003
bedraagt.
8.1
Differentieerbaarheid
Net zoals in het vorig hoofdstuk zullen we ook in dit hoofdstuk werken met reëelwaardige functies
f : I → R die gedefinieerd zijn op een domein I dat een open, halfopen of gesloten interval is
of een open of gesloten halfrechte of een eindige unie van dergelijke intervallen en halfrechten.
We herhalen dat, als a een inwendig punt (d.w.z. geen randpunt) is van I, f diﬀerentieerbaar
of aﬂeidbaar genoemd wordt in a indien de limiet
lim
x→a
f (x) − f (a)
x −a
bestaat in R. De waarde van deze limiet noemen we dan de afgeleide van f in a en noteren we
als f ′ (a). Als f afleidbaar is in a, geldt
f (a + h) − f (a)
f (x) − f (a)
= lim
x→a
x −a
h
h→0
f ′ (a) = lim
In het geval dat f differentieerbaar is in a, is f ′ (a) de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in
(a, f (a)) aan de grafiek van f . Ook geldt tan ω = f ′ (a) waarbij ω de hoek is die de raaklijn met
de x-as maakt. Dit verband tussen de afgeleide van f in a en de raaklijn aan de grafiek van f in
(a, f (a)) wordt geïllustreerd in Figuur 8.1.
De volgende eigenschap geeft voor een functie een verband tussen continuïteit in een punt a en
differentieerbaarheid in datzelfde punt.
Eigenschap 8.1. Als a een inwendig punt is van het domein I van een functie f : I → R, en als
f differentieerbaar is in a, dan is f continu in a.
Bewĳs. We gaan na dat de limiet van f voor x gaande naar a gelijk is aan de functiewaarde van
139
Hoofdstuk 8 Afgeleiden en toepassingen
y
y
y = f (x )
f (a + h)
ω
y = f (x )
f (x )
ω
f (a)
f (a)
x
a
a+h
x
a
x
Figuur 8.1: Raaklijn aan een grafiek
f in a:
limx→a f (x) = limx→a (f (x) − f (a) + f (a))
= lim
x→a
f (x) − f (a)
(x − a) + f (a)
x −a
f (x) − f (a)
(x − a) + lim f (a)
x→a
x→a
x −a
= lim
= lim
x→a
f (x) − f (a)
lim (x − a) + lim f (a)
x→a
x→a
x −a
= f ′ (a)0 + f (a) = f (a)
Het is wel bekend dat de omgekeerde implicatie in de vorige eigenschap niet geldig is: een functie
kan continu zijn in een inwendig punt van het domein zonder dat de functie differentieerbaar is
in dat punt.
Definitie 8.1. Indien I een open interval is en indien een functie f differentieerbaar is in alle
punten van I, dan zeggen we dat f diﬀerentieerbaar op een open interval I. De afgeleide functie
f ′ op I is dan de functie
f ′ : I → R : x 7→ f ′ (x)
die elk getal x in I afbeeldt op de afgeleide van f in x. Indien de afgeleide functie f ′ continu
is op I, zeggen we dat f continu diﬀerentieerbaar of continu aﬂeidbaar is op I en indien deze
afgeleide functie f ′ opnieuw differentieerbaar is in elk punt van I, dan definiëren we de tweede
afgeleide van f in een punt x van I als
f ′′ (x) = (f ′ )′ (x)
en ontstaat de tweede afgeleide functie van f op I:
f ′′ : I → R : x 7→ f ′′ (x)
Op analoge wijze worden hogere afgeleiden in een getal en hogere afgeleide functies gedefinieerd.
140
Hoofdstuk 8 Afgeleiden en toepassingen
In Figuur 8.2 werden de grafieken getekend van de functie
f : R → R : x 7→ x 4 − 6x 3 + 12x 2 − 10x + 3
die differentieerbaar is op R en van de afgeleide functie
f ′ : R → R : x 7→ 4x 3 − 18x 2 + 24x − 10
We herkennen op deze figuur enkele treffende verbanden tussen f en f ′ die we in hoofdstuk
2 herhaalden: waar de functie f daalt (op het open interval ]0, 5/2[) is de afgeleide functie f ′
negatief, waar de functie f stijgt (op het open interval ]5/2, 3[) is de afgeleide functie f ′ positief
en waar de functie f een lokaal minimum aanneemt (in x = 5/2) is de afgeleide functie f ′ nul.
y
3
2
1
y = f (x )
x
1
2
3
−1
−2
−3
y = f ′ (x )
Figuur 8.2: Afgeleide functie
8.2
De middelwaardestelling
De middelwaardestelling drukt de toename of afname van functiewaarden tussen twee punten
uit in functie van een afgeleide in een punt. Deze stelling zal de basis vormen voor verschillende
benaderingstechnieken van functies. De middelwaardestelling steunt op de belangrijke stelling
van Rolle.
141
Hoofdstuk 8 Afgeleiden en toepassingen
Stelling 8.1. De Stelling van Rolle
Indien een continue functie f : [a, b] → R (a < b)
• differentieerbaar is op het open interval ]a, b[
• en een gelijke functiewaarde heeft in de randpunten van [a, b], m.a.w. f (a) = f (b),
dan bestaat er een punt c, strikt tussen a en b gelegen, waarin de afgeleide nul is:
∃ c ∈ ]a, b[ : f ′ (c) = 0
Bewĳs. Aangezien f : [a, b] → R continu is, neemt f op [a, b] een kleinste waarde m en een
grootste waarde M ≥ m aan en bestaan er dus punten x0 en x1 in [a, b] zodat
f (x0 ) = m en f (x1 ) = M
Als M = m, dan valt de grootste waarde van f op [a, b] samen met de kleinste waarde van f op
[a, b] en is f bijgevolg een constante functie op [a, b]. In elk punt van ]a, b[ is dan de afgeleide
van f gelijk aan 0 en voor c kunnen we dan om het even welk getal in ]a, b[ nemen. Voor het
andere geval veronderstellen we dus m < M of f (x0 ) < f (x1 ). Omdat f (a) = f (b) moet dus
minstens één van de punten x0 , x1 verschillend zijn van a en b en dus in het open interval ]a, b[
liggen. Veronderstel dat xi dergelijk punt is, dus xi = x0 of xi = x1 . De functie f neemt in xi
haar grootste of kleinste waarde aan op [a, b] en dus bereikt f in xi zeker een lokaal extremum.
Omdat f differentieerbaar is in xi , want f is differentieerbaar in alle punten van ]a, b[, geldt nu
f ′ (xi ) = 0. We kunnen dus voor het gezochte punt c het punt xi nemen.
De stelling van Rolle heeft een belangrijke meetkundige interpretatie. Als namelijk in een punt
c van het open interval geldt dat f ′ (c) = 0, dan betekent dit dat de raaklijn aan de grafiek van
f in (c, f (c)) richtingscoëfficiënt nul heeft en bijgevolg horizontaal is. Bijvoorbeeld voldoet de
functie
f : R → R : x 7→ (x − 1)1/3 (x − 5) + 1
op het interval [1, 5] aan de voorwaarden van de stelling van Rolle en bijgevolg bestaat er minstens
één punt c in ]1, 5[ waarin de raaklijn horizontaal is. In Figuur 8.3(a) wordt de grafiek van deze
functie op het interval [1, 5] getekend. Merk op dat de functie f niet differentieerbaar is in het
beginpunt a = 1 van het interval [1, 5] omdat de limiet
f (x) − f (1)
x→1
x −1
lim
(x − 1)1/3 (x − 5) + 1 − 1
x→1
x −1
= lim
x −5
= −∞
x→1 (x − 1)2/3
= lim
niet bestaat in R. De functie f is wel, zoals de voorwaarden in de stelling van Rolle eisen,
differentieerbaar op het open interval ]1, 5[ en voor een punt x in dat open interval geldt
f ′ (x) = (1/3)(x − 1)−2/3 (x − 5) + (x − 1)1/3
=
(1/3)(x − 5) + (x − 1)
(x − 1)2/3
=
(4/3)x − 8/3
(x − 1)2/3
142
Hoofdstuk 8 Afgeleiden en toepassingen
We kunnen nagaan dat c = 2 in dit geval het enige punt is met f ′ (c) = 0. Inderdaad geldt voor
een punt x in het open interval ]1, 5[
f ′ (x) = 0 ⇔
(4/3)x − 8/3
= 0 ⇔ (4/3)x − 8/3 = 0 ⇔ x = 2
(x − 1)2/3
y
y
a
2
x
x
1
b
5
y = f (x )
y = f (x )
(a)
(b)
Figuur 8.3: De Stelling van Rolle
In het algemeen kunnen er, als de voorwaarden uit de stelling van Rolle voldaan zijn, meerdere
punten zijn in het open interval ]a, b[ waar de afgeleide nul is. Een voorbeeld hiervan wordt
gegeven door de functie

 x sin x1 als x 6= 0
f : R → R : x 7→

0 als x = 0
De grafiek van deze functie op het interval [0, 1/(100π)] wordt getekend in Figuur 8.3(b). De
afgeleide is nul in oneindig veel punten van het open interval ]0, 1/(100π)[.
Indien een van de voorwaarden uit de stelling van Rolle niet voldaan zijn, is het niet noodzakelijk
zo dat de afgeleide nul is in minstens één punt van het open interval ]a, b[. In Figuur 8.4 wordt
dit geïllustreerd in de gevallen waar
• de functie wel continu is in het gesloten interval [a, b] en wel differentieerbaar op het open
interval ]a, b[, maar de functiewaarden in begin- en eindpunt van het gesloten interval [a, b]
niet gelijk zijn,
• de functie wel differentieerbaar is op het open interval ]a, b[ en de functiewaarden in a en b
wel gelijk zijn, maar in een van de randpunten is de functiewaarde niet gelijk aan de linkerof rechterlimiet,
• de functie wel continu is op het gesloten interval [a, b] en de functiewaarden in a en b
wel gelijk zijn, maar de functie niet differentieerbaar is in alle punten van het open interval
]a, b[.
De stelling van Rolle heeft een belangrijke veralgemening die van toepassing is op de algemenere
situatie waarbij de functiewaarden in de randpunten van [a, b] niet gelijk zijn. Deze veralgemening
noemt men de Middelwaardestelling (van Lagrange).
143
Hoofdstuk 8 Afgeleiden en toepassingen
y
y
f (b)
f (a) = f (b)
y = f (x )
y = f (x )
f (a)
x
a
x
b
a
(a)
b
(b)
y
f (a) = f (b)
y = f (x )
x
a
b
(c)
Figuur 8.4: De voorwaarden uit de stelling van Rolle zijn niet alle voldaan
Stelling 8.2. Middelwaardestelling
Indien een continue functie f : [a, b] → R (a < b) differentieerbaar is op het open interval ]a, b[,
dan bestaat er een punt c, strikt tussen a en b gelegen, waarin geldt
f ′ (c) =
f (b) − f (a)
b−a
Bewĳs. Beschouw de koorde die (a, f (a)) met (b, f (b)) verbindt. De richtingscoeëfficiënt van
deze koorde is
f (b) − f (a)
b−a
en een vergelijking van de rechte door deze twee punten is dus
y = f (a) +
f (b) − f (a)
(x − a)
b−a
144
Hoofdstuk 8 Afgeleiden en toepassingen
De functie
f (b) − f (a)
(x − a)
h : [a, b] → R : x →
7 f (x) − f (a) +
b−a
beeldt elk punt x ∈ [a, b] af op het ’hoogteverschil’ tussen de y -waarde f (x) op de grafiek van f
en de y -waarde op de koorde. Dit hoogteverschil wordt geïllustreerd in Figuur 8.5. Deze functie
h is continu op [a, b] omdat f continu is op [a, b] en h dus een verschil is van continue functies
op [a, b]. Verder is h differentieerbaar op het open interval ]a, b[ omdat f differentieerbaar is
op ]a, b[ en h dus een verschil is van differentieerbare functies op ]a, b[. De afgeleide van h in
een punt x van het open interval ]a, b[ kunnen we berekenen met behulp van de rekenregels voor
afgeleiden:
f (b) − f (a)
′
′
(8.1)
h (x) = f (x) −
b−a
Verder neemt de functie h in de randpunten van [a, b] dezelfde functiewaarde aan:
f (b) − f (a)
h(a) = f (a) − f (a) +
(a − a) = f (a) − f (a) = 0
b−a
en
f (b) − f (a)
(b − a)
h(b) = f (b) − f (a) +
b−a
= f (b) − (f (a) + f (b) − f (a)) = 0
De functie h voldoet dus aan alle voorwaarden uit de stelling van Rolle en bijgevolg bestaat er
minstens één punt c in het open interval ]a, b[ zodat h′ (c) = 0. Maar wegens (8.1) geldt voor
dit getal c
f (b) − f (a)
′
′
h (c) = f (c) −
b−a
en omdat h′ (c) = 0 geldt dus
f ′ (c) =
f (b) − f (a)
b−a
y
h(x )
f (b)
f (a)
f
x
h
a
x
b
Figuur 8.5: De Middelwaardestelling
145
Hoofdstuk 8 Afgeleiden en toepassingen
Net zoals het geval was bij de stelling van Rolle, heeft ook de Middelwaardestelling een nuttige
meetkundige interpretatie. Omdat (f (b) − f (a))/(b − a) de richtingscoëfficiënt is van de koorde
die (a, f (a)) met (b, f (b)) verbindt, en omdat f ′ (c) de richtingscoëfficiënt is van de raaklijn aan
de grafiek van f in (c, f (c)), kunnen we nu uit de Middelwaardestelling besluiten dat er minstens
één punt c in ]a, b[ bestaat zodat in (c, f (c)) de raaklijn evenwijdig is met de koorde. In Figuur
8.6 wordt deze meetkundige interpretatie voorgesteld.
y
f (b)
f (a)
f
x
a
c
b
Figuur 8.6: Meetkundige interpretatie van de Middelwaardestelling
We besluiten deze sectie met een veralgemening van de Middelwaardestelling, waarbij twee
functies op [a, b] in plaats van één functie beschouwd worden.
Stelling 8.3. Middelwaardestelling van Cauchy
Indien a < b en indien f : [a, b] → R en g : [a, b] → R continue functies zijn die differentieerbaar
zijn op het open interval ]a, b[, dan bestaat er een punt c, strikt tussen a en b gelegen, waarin
geldt
f ′ (c)(g(b) − g(a)) = g ′ (c)(f (b) − f (a))
Bewĳs. Indien g(b) = g(a) dan volstaat het om een punt c te vinden, strikt tussen a en b
gelegen, waarin geldt 0 = g ′ (c). Het bestaan van dergelijk punt wordt dan gegarandeerd door
de Stelling van Rolle. We kunnen voor de rest van het bewijs dus veronderstellen dat g(a) en
g(b) verschillend zijn.
Omdat f en g continu zijn op [a, b] en differentieerbaar op ]a, b[, is ook de functie
h(x) = f (x) − f (a) −
f (b) − f (a)
(g(x) − g(a))
g(b) − g(a)
continu op [a, b] en differentieerbaar op ]a, b[. De afgeleide van h in een punt x van het open
interval ]a, b[ kunnen we berekenen met behulp van de rekenregels voor afgeleiden:
h′ (x) = f ′ (x) −
f (b) − f (a) ′
g (x)
g(b) − g(a)
(8.2)
Verder neemt de functie h in de randpunten van [a, b] dezelfde functiewaarde aan:
h(a) = f (a) − f (a) −
f (b) − f (a)
(g(a) − g(a)) = f (a) − f (a) = 0
g(b) − g(a)
146
Hoofdstuk 8 Afgeleiden en toepassingen
en
h(b) = f (b) − f (a) −
f (b) − f (a)
(g(b) − g(a)) = f (b) − f (a) − (f (b) − f (a)) = 0
g(b) − g(a)
De functie h voldoet dus aan alle voorwaarden uit de stelling van Rolle en bijgevolg bestaat er
minstens één punt c in het open interval ]a, b[ zodat h′ (c) = 0. Maar wegens (8.2) is
h′ (c) = f ′ (c) −
f (b) − f (a) ′
g (c)
g(b) − g(a)
en omdat h′ (c) = 0 geldt dus
f ′ (c) −
f (b) − f (a) ′
g (c) = 0
g(b) − g(a)
of
f ′ (c)(g(b) − g(a)) = g ′ (c)(f (b) − f (a))
Ook de Middelwaardestelling van Cauchy heeft een nuttige meetkundige interpretatie. Hierop
zullen we terugkomen in het hoofdstuk over krommen.
8.3
Linearisatie
Een van de belangrijkste toepassingen van afgeleiden is het ontwikkelen van technieken voor
het benaderen van functies. Men tracht benaderende functies te bekomen die eenvoudiger
zijn dan de oorspronkelijke functie. De wiskunde omschrijft nauwkeurig wat men precies met
een ’benadering’ in een bepaalde context bedoelt. Verder is een benadering pas bruikbaar in
de praktijk indien men informatie heeft over de nauwkeurigheid. Wij zullen foutafschattingen
bespreken die hiervoor gebruikt worden.
De standaard lineaire benadering
Indien f een functie is die differentieerbaar is in een inwendig punt a van haar domein, dan is
de raaklijn in (a, f (a)) aan de grafiek van f de rechte die lokaal, ’in de buurt van a’, het beste
het gedrag van de functie weergeeft. Beschouw bijvoorbeeld de functie f (x) = x 2 en het punt
a = 1. De raaklijn in (1, 1) aan de grafiek van f heeft als richtingscoëfficiënt
=2
f ′ (1) = 2x x=1
en heeft dus als vergelijking
y = 1 + 2(x − 1) of y = 2x − 1
In Figuur 8.7 wordt ingezoomd op deze raaklijn en op de grafiek naar het punt (1, 1). We stellen
vast dat, hoe kleiner het beschouwde interval rond a = 1 wordt, hoe beter de raaklijn en de
grafiek samenvallen.
147
Hoofdstuk 8 Afgeleiden en toepassingen
(a, f (a))
(a, f (a))
y
y
f (x ) = x
2
f (x ) = x 2
2
2
1
1
x
1
−1
x
1
−1
(a)
(b)
Figuur 8.7: Lokale benadering door de raaklijn in een punt
Definitie 8.2. Als f differentieerbaar is in a, dan noemt men de functie
La : R → R : x 7→ f (a) + f ′ (a)(x − a)
de standaard lineaire benadering van f in a. Gebruikt men deze standaard lineaire benadering La
als benadering van de functie f op een interval dat a bevat, dan noemt men dit het lineariseren
van f in a.
De standaard lineaire benadering van f in a heeft dus als grafiek de raaklijn aan de grafiek van
f in (a, f (a)). Het lineariseren van een functie f in een punt a kan zeer nuttig zijn om een
functiewaarde f (x) in een naburig punt x van a te benaderen, indien men de functiewaarde f (a)
′
van f in a en de afgeleide
√ f (a) van f in a kent. Bijvoorbeeld kunnen de functiewaarde en
de afgeleide
van f (x) = x in a = 4 gebruikt worden om een benadering te vinden voor het
√
f in het naburig punt x = 4,001 van a. In a = 4 is de
getal 4,001, de functiewaarde van √
functiewaarde exact gekend: f (4) = 4 = 2.
√
Voorbeeld. We lineariseren f (x) = x in a = 4 en berekenen daarom eerst de afgeleide van f
in a:
1
1 =
f ′ (a) = √ 2 x x=4 4
De standaard lineaire benadering van f in 4 is dus de functie L4 met
1
x
L4 (x) = f (a) + f ′ (a)(x − a) = 2 + (x − 4) = 1 +
4
4
148
Hoofdstuk 8 Afgeleiden en toepassingen
Deze benadering en de grafiek van f worden voorgesteld in Figuur 8.8.
y
2
(a, f (a))
L4 (x ) = 1 +
1
x
4
f (x ) =
√
x
x
1
2
3
4
Figuur 8.8: Standaard lineaire benadering van
√
x in a = 4
Met deze standaard lineaire benadering vinden we als benadering van
x 4,001
L4 (4,001) = 1 + =1+
4 x=4,001
4
√
4,001 het getal
Deze benadering kunnen we met de hand uitrekenen:
4,001
= 1 + 1, 00025 = 2, 00025
4
√
Een rekenmachine geeft als benadering voor 4,001 de volgende benaderde waarde:
1+
2,000249984376952819877614500105
De volgende eigenschap drukt de wijze uit waarop de standaard lineaire benadering de functie f
benadert in de buurt van a.
Eigenschap 8.2. Veronderstel dat f differentieerbaar is in a. De standaard lineaire benadering
van f in a voldoet aan
f (x) − La (x)
=0
(8.3)
lim
x→a
x −a
Bovendien is La de enige van alle eerstegraadsfuncties l die voldoen aan l(a) = f (a) en aan
f (x) − l(x)
=0
x→a
x −a
lim
(8.4)
Bewĳs. Duidelijk geldt (8.3) want
f (x) − La (x)
x→a
x −a
lim
f (x) − (f (a) + f ′ (a)(x − a))
x→a
x −a
= lim
= lim
x→a
f (x) − f (a)
− f ′ (a) = 0
x −a
149
Hoofdstuk 8 Afgeleiden en toepassingen
Veronderstel verder dat l een eerstegraadsfunctie is die voldoet aan l(a) = f (a) en aan (8.4);
Dergelijke functie heeft een voorschrift van de vorm l(x) = f (a) + m(x − a). er volgt dan uit
(8.3)
f (x) − f (a)
f (x) − (f (a) + m(x − a))
= 0 ⇒ lim
−m =0
lim
x→a
x→a
x −a
x −a
⇒ m = lim
x→a
f (x) − f (a)
x −a
Maar dan geldt m = f ′ (a) en l is dan de standaard lineaire benadering La .
Uit (8.3) volgt dat, voor elke willekeurige ε > 0, er een δ > 0 bestaat zodat voor alle getallen x
in het open interval ]a − δ, a + δ[ (uitgezonderd voor a) geldt dat
f (x) − La (x) <ε
x −a
Zeker geldt dan, voor punten x die dicht bij a liggen,
|f (x) − La (x)| < ε
omdat |x − a| klein is, en La (x) kan dus als benadering gebruikt worden van f (x). Maar de
gelijkheid (8.3) drukt nog iets veel sterkers uit. Namelijk, zelfs als het verschil |f (x) − La (x)|
gedeeld wordt door |x − a|, blijft de limiet van de breuk
f (x) − La (x) x −a
nul als x nadert naar a. Men zegt dat het verschil tussen f (x) en La (x) verwaarloosbaar is t.o.v.
|x − a|.
Vervangt men een functie op een open interval rond een punt a door de standaard lineaire
benadering La in een punt a, dan is die benadering in het algemeen niet exact en wordt er in elk
punt x een fout gemaakt. Deze fout is het verschil tussen de functiewaarde f (x) en de benaderde
waarde La (x). Niet zozeer het teken van deze fout is interessant, maar wel de grootte. Daarom
definieert men de foutfunctie bij de benadering van f door La door
Ea (x) = |f (x) − La (x)|
Wil de benadering in praktijk bruikbaar zijn, is er informatie nodig over de nauwkeurigheid van
de benadering, met andere woorden over de foutfunctie. De volgende eigenschap geeft twee
bovengrenzen van de gemaakte fout bij deze benadering. Een bovengrens van de gemaakte
fout is een getal dat kan berekend worden uit de gegevens van de functie en dat de eigenschap
heeft dat de gemaakte fout niet groter is dan dit getal. Uiteraard is een foutafschatting slechts
relevant in naburige punten x van a die verschillend zijn van a. Inderdaad, omdat
La (a) = f (a)
hebben de standaard lineaire benadering en de functie f in x = a dezelfde functiewaarde en
wordt er geen fout gemaakt:
Ea (a) = 0
150
Hoofdstuk 8 Afgeleiden en toepassingen
Eigenschap 8.3. Veronderstel dat I een open interval is dat een punt a bevat.
1. Indien f differentieerbaar is op I, indien x ∈ I \ {a} en indien |f ′ (t)| ≤ M voor alle t in het
gesloten interval met eindpunten a en x, dan geldt
Ea (x) ≤ 2M|x − a|
2. Indien f tweemaal differentieerbaar is op I, indien x ∈ I \ {a} en indien |f ′′ (t)| ≤ N voor
alle t strikt gelegen tussen a en x, dan geldt
Ea (x) ≤ N|x − a|2
Bewĳs.
1. Veronderstel eerst f differentieerbaar is op het open interval van a tot x en dat
|f ′ (t)| ≤ M voor alle t gelegen tussen a en x. Omdat f continu is op het gesloten interval
[a, x] en differentieerbaar op het open interval ]a, x[, bestaat er wegens de Middelwaardestelling een getal c tussen a en x zodat
f ′ (c) =
f (x) − f (a)
x −a
Hieruit volgt
Ea (x) = |f (x) − La (x)| = |f (x) − (f (a) + f ′ (a)(x − a))|
= |(f (x) − f (a)) − f ′ (a)(x − a)|
= |f ′ (c)(x − a) − f ′ (a)(x − a)|
= |f ′ (c) − f ′ (a)||x − a|
≤ |f ′ (c)| + |f ′ (a)| |x − a|
≤ (M + M) |x − a| = 2M|x − a|
2. Veronderstel nu dat f tweemaal differentieerbaar is op het open interval van a tot x
en |f ′′ (t)| ≤ N voor alle t gelegen strikt tussen a en x. Omdat f continu is op het
gesloten interval [a, x] en differentieerbaar op het open interval ]a, x[, bestaat er wegens
de Middelwaardestelling een getal c tussen a en x zodat
f ′ (c) =
f (x) − f (a)
x −a
Omdat f ′ continu is op het gesloten interval [a, c] en differentieerbaar op het open interval
]a, c[, bestaat er wegens de Middelwaardestelling een getal c1 tussen a en c zodat
f ′′ (c1 ) =
f ′ (c) − f ′ (a)
c −a
151
Hoofdstuk 8 Afgeleiden en toepassingen
Hieruit volgt
Ea (x) = |f ′ (c) − f ′ (a)||x − a|
= |f ′′ (c1 )||c − a||x − a|
≤ |f ′′ (c1 )||x − a||x − a|
≤ N|x − a|2
Het tweede deel van de vorige eigenschap geeft meestal een scherpere afschatting van de gemaakte fout wegens de aanwezigheid van het kwadraat van het getal |x − a|, dat een klein getal
is voor x dicht bij a.
Voorbeeld.
Hernemen we het vorige
√
√ voorbeeld waarin we 2, 00025 als benadering vonden van
4,001 door de functie f (x) = √
x in a = 4 te lineariseren en L4 (x) uit te rekenen voor
′
x = 4,001. Omdat f (t) = 1/(2 t) geldt voor alle getallen t gelegen tussen a = 4 en
x = 4,001:
√
√
√
|f ′ (t)| = |1/(2 t)| = 1/(2 t) ≤ 1/(2 4) = 1/4
We kunnen de vorige eigenschap dus toepassen met het getal M = 1/4. We vinden dan dat de
gemaakte fout E4 (4,001) niet groter is dan
1
2M|x − a| = 2 0, 001 = 0, 0005
4
Een betere foutafschatting wordt geleverd door het tweede deel van de vorige eigenschap. Omdat
f ′′ (t) = −1/4t −3/2 geldt voor alle getallen t gelegen strikt tussen a = 4 en x = 4.001:
|f ′′ (t)| = |(1/4)t −3/2 | = (1/4)t −3/2 <
1 −3/2
4
= 1/32
4
We kunnen de vorige eigenschap dus toepassen met het getal N = 1/32. We vinden dan dat de
gemaakte fout E4 (4,001) niet groter is dan
N|x − a|2 =
1
0, 000001 = 0, 00000003125
32
In het hoofdstuk ’Integralen en toepassingen’ zullen we in staat zijn om zelfs de tweede foutafschatting nog te verscherpen.
Differentialen
De differentiaal van een differentieerbare functie in een punt a wordt gebruikt om de toename of
afname van de functiewaarde te schatten als men zich vanuit a verplaatst naar een naburig punt
a + h. Hiervoor wordt de standaard lineaire benadering van de functie in a gebruikt. Veronderstel
dat f differentieerbaar is in een punt a en beschouw een naburig punt van a. Dit naburig punt
is van de vorm a + h met h een ’klein’ reëel getal dat zowel positief als negatief kan zijn. Figuur
8.9 illustreert de uiteenzetting die volgt. Op deze figuur werden de grafiek van f alsook de
raaklijn aan de grafiek van f in (a, f (a)) getekend. Herinner dat de raaklijn de grafiek is van de
standaard lineaire benadering La van f in a.
152
Hoofdstuk 8 Afgeleiden en toepassingen
y
f
f (a + h)
∆y
f (a) + f ′ (a)h
∆La = f ′ (a)h
f (a)
h
La
x
a
a+h
Figuur 8.9: De differentiaal van f in a
Beschouw nu een interval ]a − δ, a + δ[ rond a dat volledig in het domein van de functie f omvat
is. We beschouwen dan een verplaatsing vanuit het punt a naar een punt a + h, waarbij de
verplaatsing h voldoende klein genomen wordt (|h| ≤ δ). Bij dergelijke verplaatsing ontstaat er
een verschil in functiewaarden van f tussen die twee punten. Dit verschil laat zich aflezen als
een ’hoogteverschil’ tussen de twee punten (a, f (a)) en (a + h, f (a + h)) op de grafiek van f .
We noteren dit verschil met ∆y zodat
∆y = f (a + h) − f (a)
Dezelfde verplaatsing vanuit a naar a + h geeft ook aanleiding tot een verschil in functiewaarden
van La tussen die twee punten. Dit verschil laat zich aflezen als een ’hoogteverschil’ tussen de
twee punten (a, f (a)) en (a + h, La (a + h)) op de raaklijn. We noteren dit verschil met ∆La
zodat
∆La = La (a + h) − La (a) = (f (a) + f ′ (a)(a + h − a)) − (f (a)) = f ′ (a)h
Het is duidelijk dat, voor kleine waarden van h, het verschil ∆La een benadering is van het verschil
∆y . Inderdaad, er geldt
lim ∆y − ∆La = 0
h→0
Er geldt zelfs dat
∆y − ∆La
=0
h
h→0
lim
153
Hoofdstuk 8 Afgeleiden en toepassingen
omdat
∆y − ∆La
h
h→0
lim
(f (a + h) − f (a)) − (f ′ (a)h)
h
h→0
= lim
f (a + h) − (f (a) + f ′ (a)h)
h
h→0
= lim
f (a + h) − La (a + h)
h
h→0
en deze laatste limiet is nul wegens Eigenschap 8.2. De fout die gemaakt wordt door, bij
een verplaatsing van a naar een naburig punt a + h, het verschil in functiewaarde ∆y langs de
grafiek van f te vervangen door het bijhorend verschil in functiewaarde langs de raaklijn, is dus
verwaarloosbaar ten opzichte van de verplaatsing h.
= lim
Definitie 8.3. Indien f differentieerbaar is in een punt a, dan is de diﬀerentiaal van f in a de
afbeelding da f : R → R gedefinieerd door
da f (h) = f ′ (a)h
Deze afbeelding hecht aan een ‘kleine’ verplaatsing h vanuit het punt a het bijhorend hoogteverschil tussen de punten (a, f (a)) en (a + h, f (a) + f ′ (a)h) op de raaklijn.
Soms wordt een verschil h tussen x en een naburig punt symbolisch met dx aangeduid en het
hoogteverschil tussen de punten (x, f (x)) en (x + h, f (x) + f ′ (x)h) op de raaklijn met dy . We
vinden dan de wel bekende symbolische formule
dy = f ′ (x)dx
√
Voorbeeld. We hernemen
een vorig voorbeeld waarin we een benadering zochten van 4,001.
√
De functie f (x) = x is gekend in a = 4 met functiewaarde f (4) = 2. Het punt x = 4,001
wordt bekomen door een verplaatsing vanuit a = 4 met h = 0,001. We gebruiken de differentiaal
van f in a om bij deze
√ in functiewaarde te schatten. Voor de functie
√ verplaatsing′ h de toename
′
f geldt f (t) = 1/(2 t) en dus f (4) = 1/(2 4) = 1/4. Bijgevolg wordt de differentiaal van f
in a gegeven door
h
da f (h) =
4
√
h
Dus is 4 een benadering van de verandering van x als we ons vanuit a verplaatsen naar een
naburig getal a + h. Met h = 0,001 vinden we
0,001
= 0,00025
4
√
en bijgevolg is 2,00025 een benadering van 4,001 aan de hand van de differentiaal van f in
a = 4.
da f (h) =
Hernemen we nogmaals de limiet
f (a + h) − La (a + h)
=0
h
h→0
lim
154
Hoofdstuk 8 Afgeleiden en toepassingen
die Eigenschap 8.2 uitdrukt in functie van een verschil h tussen a en een naburig punt a + h,
dan volgt hieruit
f (a + h) − f (a) − f ′ (a)h
lim
=0
(8.5)
h
h→0
of nog
f (a + h) − f (a)
′
− f (a) = 0
(8.6)
lim
h
h→0
Deze berekening levert interessante informatie over de vorm van de fout als we La (a + h)
gebruiken als benadering van f (a + h). Dit wordt geformuleerd in de volgende eigenschap.
Eigenschap 8.4. Zij f : I → R een functie, a ∈ I en δ een strikt positief getal zodat het interval
]a − δ, a + δ[ in het domein I van f omvat is. Dan is f differentieerbaar in a, enkel en alleen
er een functie ε :] − δ, δ[\{0} → R bestaat met de eigenschap limh→0 ε(h) = 0 en er een reëel
getal m bestaat zodat voor alle h 6= 0 met |h| < δ geldt
f (a + h) = f (a) + mh + ε(h)h
Bewĳs. Voor het eerste deel van het bewijs, veronderstellen we dat f differentieerbaar in a.
Stellen we dan voor h ∈ R0
ε(h) =
f (a + h) − f (a)
− f ′ (a)
h
dan geldt limh→0 ε(h) = 0 wegens (8.6). Als h 6= 0 en |h| < δ dan geldt wegens de definitie van
ε(h)
f (a + h) − f (a)
′
′
′
f (a) + f (a)h + ε(h)h = f (a) + f (a)h +
− f (a) h = f (a + h)
h
Voor het tweede deel van het bewijs, veronderstellen we dat er een functie ε :] − δ, δ[\{0} → R
bestaat met de eigenschap limh→0 ε(h) = 0 zodat voor alle h 6= 0 met |h| < δ geldt
f (a + h) = f (a) + mh + ε(h)h
voor een zeker reëel getal m. Dan is f differentieerbaar in a want er geldt dan
lim
h→0
f (a + h) − f (a)
= lim (m + ε(h)) = m
h
h→0
Het reëel getal m is dan de afgeleide van f in a:
f ′ (a) = m
In de vervolgcursus ’Wiskunde: gevorderde analyse en meetkunde’ zullen we deze eigenschap
gebruiken om het begrip .’differentieerbaarheid’ te veralgemenen naar functies van twee en drie
variabelen. In de volgende sectie is het bovendien deze karakterisatie die ons in staat zal stellen
de Kettingregel te bewijzen.
155
Hoofdstuk 8 Afgeleiden en toepassingen
8.4
De Kettingregel
Het is welbekend dat de Kettingregel toelaat om de afgeleide van samengestelde functies te
berekenen. We zullen hier de Kettingregel precies formuleren. Het bewijs zullen we geven met
de technieken die in de vorige sectie ontwikkeld werden. Zowel I als J stelt een open interval
voor.
Stelling 8.4. Kettingregel Indien f : I → R differentieerbaar is in a, f (I) ⊂ J en g : J → R
differentieerbaar in f (a), dan is de samengestelde functie
g ◦ f : I → R : x 7→ g(f (x))
differentieerbaar in a en er geldt
(g ◦ f )′ (a) = g ′ (f (a))f ′ (a)
Bewĳs. Omdat g differentieerbaar is in f (a), bestaat er wegens Eigenschap 8.4 een functie ε,
˜ = 0 en zodat
gedefinieerd voor voldoend kleine toenames h˜ 6= 0 vanuit f (a), zodat limh→0
ε(h)
˜
˜ = g(f (a)) + g ′ (f (a))h˜ + ε(h)
˜ h.
˜
g(f (a) + h)
(8.7)
Neem nu een naburig punt a + h van a en beschouw de toename vanuit f (a)
h˜ = f (a + h) − f (a)
Deze toename is klein als h klein is omdat f continu is in a. Uit (8.7) volgt dan:
˜ (a + h) − f (a))
g(f (a + h)) − g(f (a)) = g ′ (f (a))(f (a + h) − f (a)) + ε(h)(f
en dus
g(f (a + h)) − g(f (a))
f (a + h) − f (a)
˜ f (a + h) − f (a)
= g ′ (f (a))
+ ε(h)
h
h
h
voor h 6= 0. Als h → 0 dan geldt h˜ → 0 omdat f (a + h) → f (a) want f is differentieerbaar en
dus continu in a. Hieruit volgt
lim
h→0
g(f (a + h)) − g(f (a))
h
= g ′ (f (a)) lim
h→0
f (a + h) − f (a)
˜ lim f (a + h) − f (a)
+ lim ε(h)
h
h
h→0
h→0
= g ′ (f (a))f ′ (a) + 0f ′ (a) = g ′ (f (a))f ′ (a)
8.5
Optimalisatieproblemen
Bij een optimalisatieprobleem wordt gezocht naar de beste oplossing van een probleem, gegeven
zekere voorwaarden. Hierbij kan bijvoorbeeld gevraagd worden om de kostprijs van een bepaalde
fabricatie zo klein mogelijk te maken, of om de reikwijdte van een afgeschoten projectiel zo groot
mogelijk te maken. Calculus, en in het bijzonder de theorie van afgeleiden van functies, biedt
een belangrijk hulpmiddel voor het oplossen van dergelijke problemen.
De volgende stappen kunnen helpen bij het oplossen van een optimalisatieprobleem:
156
Hoofdstuk 8 Afgeleiden en toepassingen
1. Lees nauwkeurig het probleem, identificeer alle gegevens en de grootheid waarvan gevraagd
wordt ze te optimaliseren.
2. Maak eventueel een schets waarop alle gegevens en het gevraagde voorkomen.
3. Benoem alle grootheden die een rol spelen en schrijf relaties ertussen met vergelijkingen.
4. Druk de te optimaliseren grootheid uit in functie van de andere optredende grootheden.
5. Schets de grafiek van de te optimaliseren functie. Zoek de maximale en minimale waarden
van deze functie met behulp van de eerste en tweede afgeleide. Ga na of tussen deze
waarden de gevraagde oplossing van het probleem kan gevonden worden.
6. Toets de gevonden oplossing af aan de gegevens in het oorspronkelijke vraagstuk en formuleer duidelijk je antwoord.
Voorbeeld. Veronderstel dat een rechte cirkelvormige cilinder ingeschreven is in een gegeven
rechte cirkelvormige kegel, zoals afgebeeld in Figuur 8.10. We zoeken de afmetingen van de
cilinder waarvoor het volume van deze cilinder maximaal is.
Figuur 8.10: Cilinder ingeschreven in een kegel
We noemen R en H de straal van het grondvlak en de hoogte van de gegeven kegel en we
noemen r en h de straal en de hoogte van de gezochte cilinder. Uit een gelijkvormigheid van
driehoeken volgt dat
r
R
= ,
(8.8)
H−h
H
157
Hoofdstuk 8 Afgeleiden en toepassingen
beide breuken zijn namelijk gelijk aan de tangens van de openingshoek bij de top van de kegel.
De oppervlakte van de grondcirkel van de cilinder is πr 2 en het volume van de cilinder is dus
πr 2 h. Gebruiken we de relatie (8.8), dan wordt het volume van de cilinder in functie van de
hoogte uitgedrukt door
2
R2
R
(H − h) h = π 2 H 2 − 2Hh + h2 h
π
H
H
=π
We onderzoeken dus of deze functie
V (h) = π
R2 3
h − 2Hh2 + H 2 h
2
H
R2
R2 3
2
2
h (h − H)2
h
−
2Hh
+
H
h
=
π
H2
H2
(8.9)
een grootste waarde bereikt tussen alle mogelijke waarden van h. Merk op dat V een veeltermfunctie van de derde graad is met exact twee nulpunten, nl. 0 en H. Het nulpunt H is een
’dubbel nulpunt’, dat wil zeggen dat er hier geen tekenverandering optreedt. Om het verloop
van de grafiek van V (h) te onderzoeken, berekenen we eerst de afgeleide van V (h):
R2
R2
H
′
2
2
V (h) = π 2 3h − 4Hh + H = π 2 3 (h − H) h −
H
H
3
Deze afgeleide heeft twee nulpunten:
V ′ (h) = 0 ⇔ h = H of h =
H
3
en we kunnen in een tabel het verloop van V voorstellen:
H
3
h
H
V ′ (h)
+
0
−
0
+
V (h)
ր
MAX
ց
MIN
ր
In Figuur 8.11 werd de grafiek van V (h) geschetst. Het enige lokaal maximum van V voor
0 ≤ h ≤ H wordt aangenomen in de waarde
h∗ =
H
3
De ingeschreven cilinder met maximaal volume heeft dus als hoogte h∗ . De straal van het
grondvlak van deze cilinder is dus
R
R
H
R 2H
2R
∗
∗
r = (H − h ) =
H−
=
=
H
H
3
H
3
3
en het bijhorende maximale volume is
∗ 2 ∗
π(r ) h = π
2R
3
2
H
4R2 H
4HR2
=π
=π
3
9 3
27
158
V (h)
Hoofdstuk 8 Afgeleiden en toepassingen
V (h)
h
0
h
H
∗
Figuur 8.11: Volume van de cilinder
8.6
De Stelling van de l’Hôpital
De Stelling van de l’Hôpital laat toe om, aan de hand van afgeleiden, sommige limieten van
functies, die tot een onbepaalde vorm leiden, uit te rekenen.
Onbepaalde vormen
0
0
We bewijzen hier de versie van de stelling die van toepassing is op limieten van de vorm
lim
x→a
f (x)
g(x)
waarbij f (x)/g(x) in een reëel getal a de onbepaalde vorm 00 aanneemt, dat wil zeggen dat
limx→a f (x) = limx→a g(x) = 0. We zullen in het bewijs zien dat deze stelling in grote mate
steunt op de Middelwaardestelling, die we eerder in dit hoofdstuk behandelden.
159
Hoofdstuk 8 Afgeleiden en toepassingen
Stelling 8.5. Stelling van de l’Hôpital Veronderstel dat f en g functies zijn die beide differentieerbaar zijn in alle punten van ]a − δ, a + δ[ \{a}, een open interval rond a waaruit het punt a
verwijderd werd, en dat g ′ (x) 6= 0 voor alle punten van ]a − δ, a + δ[ \{a}. Veronderstel verder
dat
lim f (x) = 0 en lim g(x) = 0
x→a
x→a
Indien
f ′ (x)
x→a g ′ (x)
lim
bestaat in R, dan bestaat ook
lim
x→a
f (x)
g(x)
in R en beide limieten zijn gelijk:
f (x)
f ′ (x)
= lim ′
x→a g(x)
x→a g (x)
lim
Bewĳs. Wegens de veronderstelling bestaat de limiet
f ′ (x)
x→a g ′ (x)
lim
in R, stel ℓ gelijk aan deze limiet. We moeten bewijzen dat
f (x)
=ℓ
x→a g(x)
lim
Beschouw een willekeurig getal ε > 0. Omdat
f ′ (x)
=ℓ
x→a g ′ (x)
lim
bestaat er een strikt positief getal δ zodat geldt
′
f (t)
<ε
−
ℓ
g ′ (t)
(8.10)
voor elk getal t met 0 < |t − a| < δ. Neem nu een willekeurig getal x met 0 < |x − a| < δ, we
tonen dan aan dat
f (x)
<ε
−
ℓ
g(x)
Breiden we de functies f en g uit in het punt a door te stellen dat
f (a) = 0 en g(a) = 0
dan worden f en g functies die continu zijn op het open interval ]a − δ, a + δ[. Wegens de
Middelwaardestelling van Cauchy bestaat er een getal ξx , strik tgelegen tussen a en x, zodat
f ′ (ξx )(g(x) − g(a)) = g ′ (ξx )(f (x) − f (a))
160
Hoofdstuk 8 Afgeleiden en toepassingen
of
f ′ (ξx )g(x) = g ′ (ξx )f (x)
Wegens de veronderstelling dat de afgeleide van g verschillend is van 0 in alle punten van
]a − δ, a + δ[ \{a} volgt dan
f (x)
f ′ (ξx )
=
g ′ (ξx )
g(x)
Het getal ξx is verschillend van a en ligt dichter dan x bij a, bijgevolg geldt
0 < |ξx − a| < δ
en dus ook
′
f (ξx )
g ′ (ξx ) − ℓ < ε
wegens (8.10). Maar dan geldt
f (x)
g(x) − ℓ < ε
wat de stelling bewijst.
Voorbeelden.
1.
1
ln(1 + x)
= lim 1+x = 1
x→0
x→0 1
x
lim
2.
1 − cos x
x − sin x
= lim
3
x→0
x
3x 2
Op deze laatste limiet kan opnieuw de Stelling van de l’Hôpital toegepast worden:
lim
x→0
1 − cos x
1
sin x
1
sin x
= lim
=
= lim
2
x→0
x→0 6x
3x
6 x→0 x
6
lim
zodat
lim
x→0
Onbepaalde vormen
±∞
±∞
1
x − sin x
=
3
x
6
De Stelling van de l’Hôpital kent verschillende veralgemeningen. Zo is onder meer het besluit
f (x)
f ′ (x)
= lim ′
,
x→a g(x)
x→a g (x)
lim
als de limiet in het rechterlid bestaat, ook geldig als
a = ±∞ en lim f (x) = 0 en lim g(x) = 0
x→a
x→a
Ook als
lim f (x) = ±∞ en lim g(x) = ±∞
x→a
x→a
geldt de stelling, zowel voor a ∈ R als voor a = ±∞. We zullen deze veralgemeningen niet
bewijzen, maar wel illustreren met voorbeelden.
161
Hoofdstuk 8 Afgeleiden en toepassingen
Voorbeelden.
1.
lim
tan x1
1
x
x→+∞
= lim
x→+∞
1
x
sec2
− x12
− x12
sec2
x→+∞
1
= lim
1
x
=1
2. Als a > 0 dan geldt
1
ln x
1
x
=
lim
= lim
=0
x→+∞ x a
x→+∞ ax a−1
x→+∞ ax a
lim
De natuurlijke logaritme ’gaat dus trager naar oneindig dan elke machtsfunctie x a voor
a > 0’.
Onbepaalde vormen 0(±∞)
Door de gelijkheid
f (x)g(x) =
f (x)
1/g(x)
f (x)g(x) =
g(x)
1/f (x)
of
kunnen limieten van functies die aanleiding geven tot een onbepaalde vorm 0(+∞) of 0(−∞)
∞
. We illustreren dit met een voorbeeld.
soms herleid worden tot onbepaalde vormen 00 of ∞
Voorbeeld.
sec2 x1 − x12
tan x1
1
lim x tan = lim
=
lim
1
x→+∞
x→+∞
x→+∞
x
− x12
x
= lim sec2
x→+∞
1
=1
x
Onbepaalde vormen (+∞) − (+∞)
Door de gelijkheid
f (x) − g(x) = f (x)g(x)
1
1
−
g(x) f (x)
kunnen limieten van functies die aanleiding geven tot een onbepaalde vorm (+∞) − (+∞) soms
herleid worden tot onbepaalde vormen 0(+∞) of 0(−∞). Op deze onbepaalde vormen kan dan
de vorige veralgemening van de stelling van de l’Hôpital toegepast worden. We illustreren dit
met een voorbeeld.
Voorbeeld. Omdat
1
1
= +∞ en lim 2 = +∞
2
x→0 x
x→0 sin x
lim
geeft de limiet
lim
x→0
1
1
− 2
2
x
sin x
162
Hoofdstuk 8 Afgeleiden en toepassingen
aanleiding tot de onbepaalde vorm (+∞) − (+∞). We herleiden deze limiet zodat de Stelling
van de l’Hôpital kan toegepast worden.
1
x 2 − sin2 x
1
−
=
lim
lim
x→0 x 2 sin2 x
x→0 sin2 x
x2
x2
x 2 − sin2 x
lim
x→0 sin2 x
x→0
x4
= lim
2x − sin 2x
1
x→0
4x 3
= lim
2 − 2 cos 2x
x→0
12x 2
= lim
1
4 sin 2x
=
x→0 24x
3
= lim
Onbepaalde vormen 00 , 1+∞ en (+∞)0
Soms kunnen limieten limx→a f (x)g(x) (met f en g strikt positieve functies) die aanleiding geven
tot onbepaalde vormen 00 , 1+∞ of (+∞)0 herleid worden tot limieten die aanleiding geven tot
onbepaalde vormen 0(+∞), 0(−∞) of (+∞)0. Men gebruikt daarvoor de gelijkheid
f (x)g(x) = e ln(f (x)
g(x)
) = e g(x) ln f (x)
zodat limx→a f (x)g(x) kan berekend worden als
lim e g(x) ln f (x) = e (limx→a g(x) ln f (x))
x→a
We illustreren deze methode op twee belangrijke voorbeelden.
Voorbeelden.
1. We berekenen
lim x x
x→0
>
limx→0 x ln x
= lim
ln x
x→0
>
>
=
1
x
1
x
lim
x→0 − 12
>
x
= lim −x = 0
x→0
>
Bijgevolg is
lim x x = e 0 = 1
x→0
>
2. We berekenen
lim
x→+∞
1
1+
x
x
163
Hoofdstuk 8 Afgeleiden en toepassingen
limx→+∞ x ln 1 +
1
x
= lim
ln 1 +
1
x
x→+∞
− x12
x→+∞
= lim
x→+∞
Bijgevolg is
lim
x→+∞
8.7
1
1+
x
x
1
1+
− x12
1
1+ x1
= lim
1
x
1
x
=1
= e1 = e
De benaderingsmethode van Newton-Raphson
De methode van Newton-Raphson is een benaderingsmethode voor nulpunten van functies die
in grote mate gebruik maakt van raaklijnen. De methode convergeert in het algemeen sneller
dan de bisectiemethode en de secantmethode, maar de convergentie is niet onvoorwaardelijk.
Zoals bij de vorige methoden, moeten we ook nu een interval [a, b] kennen waarin het gezochte
nulpunt p van de functie f het enige nulpunt is. Maar verder moet de functie ook aan bijkomende
eisen voldoen om te garanderen dat de methode wel degelijk goed gedefinieerd is en een rij van
benaderingen van het nulpunt genereert.
De methode van Newton-Raphson neemt als vertrekpunt p0 een willekeurig punt in ]a, b[. Men
beschouwt dan de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (p0 , f (p0 )) en men neemt als volgende
benadering p1 de x-coördinaat van het snijpunt van deze raaklijn met de x-as. Aangezien
y − f (p0 ) = f ′ (p0 )(x − p0 )
de vergelijking is van de raaklijn, vinden we p1 door in deze vergelijking y = 0 te stellen:
−f (p0 ) = f ′ (p0 )(p1 − p0 )
en dus
p1 = p0 −
f (p0 )
f ′ (p0 )
Men zet dat de procedure verder met de raaklijn aan de grafiek van f in (p1 , f (p1 )). Zo genereert
de Newton-Raphson methode iteratief een rij (pn )n . Elke benadering pn+1 is de x-coördinaat
van het snijpunt met de x-as van de raaklijn aan de grafiek van f in (pn , f (pn )):
pn+1 = pn −
f (pn )
f ′ (pn )
(8.11)
Figuur 8.12 illustreert de methode van Newton-Raphson.
Het is duidelijk dat er voorwaarden nodig zijn om te garanderen dat de methode goed gedefinieerd
is. Allereerst moet de raaklijn in elk punt (pn , f (pn )) bestaan en mag deze nooit horizontaal
zijn om het bestaan van een snijpunt met de x-as te garanderen. We zullen daarom eisen dat
de functie f differentieerbaar is en een niet nulle afgeleide heeft. Verder moet elke volgende
benadering pn+1 in het domein [a, b] van f terecht komen om het verderzetten van de procedure
mogelijk te maken. Figuur 8.13 geeft een voorbeeld waar de benaderingen pn zich steeds verder
164
Hoofdstuk 8 Afgeleiden en toepassingen
y = f (x )
p1
p3
p2
x
p0
a
b
Figuur 8.12: Benaderingsmethode van Newton-Raphson
y = f (x )
p1
p
p0
p2
x
Figuur 8.13: Benaderingsmethode van Newton-Raphson
van het gezochte nulpunt verwijderen en waar de methode dus geen rij van benaderingen van p
genereert. Het is dus blijkbaar ook belangrijk om de rij van benaderingen te laten starten bij een
165
Hoofdstuk 8 Afgeleiden en toepassingen
eerste benadering p0 die ’voldoende dicht’ bij het gezochte nulpunt p ligt.
In Eigenschap 8.5 worden voldoende voorwaarden geformuleerd die garanderen dat de methode
van Newton-Raphson inderdaad een rij van benaderingen van het nulpunt p genereert. Opmerkelijk is dat, onder de vermelde voorwaarden, het vertrekpunt voor de Newton-Raphson methode
willekeurig is, zolang als het vertrekpunt p0 ’voldoende dicht’ bij p kan gekozen worden.
Eigenschap 8.5. Veronderstel dat p een nulpunt is van een functie f en dat de eerste en tweede
afgeleide functies f ′ en f ′′ van f bestaan in een open interval I dat p bevat. Veronderstel ook
dat f ′ (p) verschillend is van nul en dat p het enige nulpunt is van f in I. Dan bestaat er een
omgeving Oδ = [p − δ, p + δ] met strikt positieve lengte 2δ van p in I zodat de methode van
Newton-Raphson een rij (pn )n genereert die met zekerheid convergeert naar p, voor om het even
welk vertrekpunt p0 ∈ Oδ .
Bewĳs. Omdat f ′ (p) 6= 0 bestaat er een omgeving Or van p in I met strikt positieve lengte 2r
zodat f ′ (x) 6= 0 voor alle punten x ∈ Or . Bijgevolg kunnen we de functie
g : Or → R : x 7→ x −
f (x)
f ′ (x)
definiëren. Een fixpunt van g is een nulpunt van f :
g(x) = x ⇒ x −
f (x)
= x ⇒ f (x) = 0
f ′ (x)
Nu is p een fixpunt is van g:
g(p) = p −
f (p)
=p
f ′ (p)
omdat f (p) = 0. Bijgevolg is p het enige fixpunt in Or van g want f heeft in I (en dos ook in
Or ) geen ander nulpunt dan p.
Omdat f : Or → R en f ′ : Or → R continu zijn, is ook de functie g continu. Omdat f : I → R
en f ′ : I → R differentieerbaar zijn, is de functie
g : ]p − r, p + r [→ R : x 7→ x −
f (x)
f ′ (x)
eveneens differentieerbaar. Er geldt voor de afgeleide van g:
g ′ (x) = 1 −
f (x)f ′′ (x)
(f ′ (x))2 − f (x)f ′′ (x)
=
(f ′ (x))2
(f ′ (x))2
voor alle x ∈ ]p − r, p + r [. De afgeleide van g in p is nul want voor x = p vinden we
g ′ (p) =
f (p)f ′′ (p)
=0
(f ′ (p))2
omdat f (p) = 0.
Omdat f , f ′ en f ′′ continue functies zijn op ]a, b[, is ook g ′ continu. Onder meer geldt dan
lim g ′ (x) = 0
x→p
166
Hoofdstuk 8 Afgeleiden en toepassingen
p−r
p−δ
Oδ
p
Or
p+δ
x
p+r
Figuur 8.14: Benaderingsmethode van Newton-Raphson
en bestaat er een strikt positieve δ < r zodat
|g ′ (x)| ≤
1
2
voor alle x ∈ ]p − δ, p + δ[.
Laat nu de Newton-Raphson iteratie starten bij een willekeurig getal p0 in Oδ . Deze iteratie
levert een rij (pn )n , gegeven door (8.11), die convergeert naar het nulpunt p omdat we zullen
aantonen dat limn→+∞ pn − p = 0. Dit is evident indien één van de benaderingen pk samenvalt
met het nulpunt p want dan vallen ook alle volgende benaderingen pi (i ≥ k) samen met p:
pk+1 = pk −
pk+2 = pk+1 −
f (pk )
f (p)
0
= pk − ′
= pk − ′
= pk = p,
′
f (pk )
f (p)
f (p)
f (p)
0
f (pk+1 )
= pk+1 − ′
= pk+1 − ′
= pk+1 = p
′
f (pk+1 )
f (p)
f (p)
enzovoort. We tonen nu nog limn→+∞ pn − p = 0 in het geval waar geen enkele van de
benaderingen pk samenvalt met het nulpunt p. Voor elke n ∈ N geldt in dat geval
|pn − p| ≤
1
|p0 − p|
2n
(8.12)
We kunnen (8.12) aantonen per inductie. De ongelijkheid geldt duidelijk voor n = 0. Indien
de ongelijkheid (8.12) geldt voor een natuurlijk getal n, dan geldt ze ook voor het volgende
natuurlijk getal n + 1:
|pn+1 − p| = |g(pn ) − g(p)| = |g ′ (c)||pn − p|
met c strikt gelegen tussen pn en p. Hieruit volgt
|pn+1 − p| ≤
1
1 1
1
|pn − p| ≤
|p0 − p| = n+1 |p0 − p|
n
2
22
2
167
Hoofdstuk 8 Afgeleiden en toepassingen
8.8
Oefeningen bij Hoofdstuk 8
1. Onderzoek in welke x-waarden de volgende functies differentieerbaar zijn.
2
a. f (x) = x 3 (x + 2)
p
b. f (x) = x 4 − x 2
2
c. f (x) = x 3 (x 2 − 4)
√
d. f (x) = x 2 3 − x
4 − 2x x ≤ 1
e. f (x) =
x +1 x >1
3−x
x <0
f. f (x) =
3 + 2x − x 2 x ≥ 0
−x 2 − 2x + 4 x ≤ 1
g. f (x) =
−x 2 + 6x − 4 x > 1
1 2 1
x ≤1
− 4 x − 2 x + 15
4
h. f (x) =
x 3 − 6x 2 + 8x
x >1
2
i. f (x) = (x − 2) 3
j. f (x) = |x 3 − 9x|
2. Voor welke reële waarde van a en b is de functie
ax + b x < 0
f : R → R : x 7→
ex
x ≥0
differentieerbaar?
3. Bepaal a ∈ R zodat
f :
R+
0
→ R : x 7→
(
√
2 x−1
4x−1
a
x 6=
x=
1
4
1
4
differentieerbaar is.
4. Bepaal de raaklijnen voor de volgende functies in het gegeven punt P .
a. f (x) = x 3 − 4x + 1,
P (2, 1)
b. f (x) = x 3 − 3x − 2, P (3, 1)
4x
, P (1, 2)
c. f (x) = 2
x +1
8
d. f (x) = 2
, P (2, 1)
x +4
1
e. f (x) = (x + 3)e 1+x ,
P (0, 3e)
x +1
, P (−1, 0)
ex − 1
g. f (x) = sin x, P (1, sin 1)
f. f (x) =
h. f (x) = cos2 x, P (0, 1)
p
√
i. f (x) = x(x + 1), P (2, 6)
p
j. f (x) = x(x + 1), P (−1, 0)
p
k. f (x) = x(x + 1), P (0, 0)
5. De functie f (x) = ax 2 + bx + c gaat door (1, 2) en heeft de raaklijn y = x in de oorsprong.
Vind a, b en c.
6. De krommen f (x) = x 2 + ax + b en g(x) = cx − x 2 hebben een gezamelijke raaklijn in
het punt (1, 0). Vind a, b en c.
168
Hoofdstuk 8 Afgeleiden en toepassingen
7. Bewijs dat voor alle reële constanten c1 en c2 de functie
y (x) = c1 e x + c2 + 5xe x −
1
1
cos 2x + sin 2x
10
5
voldoet aan
y ′′ (x) − y ′ (x) = 5e x − sin 2x
8. Bewijs dat voor alle reële constanten c1 en c2 de functie
1
1
y (x) = c1 e −2x + c2 e x − xe x + x 2 e x
9
6
voldoet aan
y ′′ (x) + y ′ (x) − 2y (x) = xe x
9. Bewijs dat voor alle reële constanten c1 en c2 de functie
y (x) = c1 cos x + c2 sin x − cos x ln | sec x + tan x|
i π πh
aan
voldoet op − ,
2 2
y ′′ (x) + y (x) = tan x
10. Welke van de volgende functies voldoen op het gegeven interval [a, b] aan de voorwaarden
in de middelwaardestelling? Bepaal in de gevallen waar de voorwaarden voldaan zijn een
punt c ∈]a, b[ zodat
f (b) − f (a)
f ′ (c) =
.
b−a
a. f (x) = x 2 + 2x − 1,
[0, 1]
2
3
b. f (x) = x ,
[0, 1]
1
1
,2
c. f (x) = x + ,
x
2
√
d. f (x) = x − 1, [1, 3]
2
e. f (x) = x 3 ,
[−1, 8]
4
5
f. f (x) = x , [0, 1]
p
g. f (x) = x(1 − x), [0, 1]
x 0≤x <1
, [0, 1]
h. f (x) =
0 x =1
11. Voor welke reële waarden a, m en b voldoet de functie

x =0
 3
2 + 3x + a 0 < x < 1
−x
f (x) =

mx + b
1≤x ≤2
aan de voorwaarden van de middelwaardestelling op het interval [0, 2].
12. Vind een getal c zoals in de stelling van Rolle voor de volgende functies:
169
Hoofdstuk 8 Afgeleiden en toepassingen
√
(a) f : [0, 2 3] → R : x 7→ x 2 − 12x
x2 − 1
x2 + 1
(c) f : [0, π] → R : x →
7 sin x
(b) f : [−1, 1] → R : x 7→
13. Bestaat er een interval [a, b] waarop de stelling van Rolle kan toegepast worden op de
functie met volgende voorschriften?
x 2 − 4x
x −2
x 2 − 4x
(b) f (x) =
x +2
(a) f (x) =
14. Vind een getal c zoals in de Middelwaardestelling voor de volgende functies:
(a) f : [1, 3] → R : x 7→ 3x 2 + 4x − 3
(b) f : [0, 6] → R : x 7→ x 3
(c) f : [a, b] → R : x 7→ αx 2 + βx + c
(a < b)
(d) f : [1, 2e] → R : x 7→ ln x
15. Toon dat de volgende functies op het gegeven gebied D ⊂ R juist 1 nulpunt hebben.
a. f (x) = x 4 + 3x + 1, D = [−2, −1]
4
b. f (x) = x 3 + 2 + 7, D =] − ∞, 0[
x
√
√
c. f (x) = x + 1 + x − 4, D =]0, +∞[
√
1
+ 1 + x − 3.1, D =] − 1, 1[
d. f (x) =
1−x
x e. f (x) = x + sin2
− 8, D =] − ∞, +∞[
3
√
f. f (x) = 2x − cos2 x + 2, D =] − ∞, +∞[
i πh
1
g. f (x) = sec x − 3 + 5, D = 0,
x
i 2 πh
h. f (x) = tan x − cot x − x, D = 0,
2
170
Hoofdstuk 8 Afgeleiden en toepassingen
16. Gebruik differentialen om volgende uitdrukkingen te benaderen.
√
√
g. 6 65
a. 3 124
√
b. sin 60◦ 1′
h. 15
√
1
c. 4 17
√
i.
5
999
d. 1020
√
◦
j. 20
e. cos 59
◦
k. 31,5
f. tan 44
√
√
17. Voor welke waarden x mag 5 x gebruikt worden in plaats van 5 x + 1 wanneer we eisen
dat de afwijking kleiner moet zijn dan 0,001?
18. Er wordt een waterpompstation aangelegd voor twee steden die aan dezelfde oeverkant
van een rivier liggen. Om beide steden te bevoorraden wordt een pijpleiding aangelegd van
het pompstation naar elk van de twee steden. Bepaal de locatie van het pompstation om
de lengte van de pijpleiding te minimaliseren.
19. Je wil een rechthoekig stuk weiland afbakenen dat aan de ene kant begrensd wordt door
een rivier. Indien je beschikt over 800 meter draad, wat is dan het grootste stuk land dat
je kan afbakenen? Wat zijn de afmetingen?
20. Een raaklijn in een punt van de hyperbool xy = 16 snijdt de coördinaatassen in de punten
P en Q. Wanneer is de afstand van P tot Q het kortst?
21. Bepaal de afmetingen van de rechthoek met maximale oppervlakte die kan ingeschreven
worden in een rechthoekige driehoek met zijden van 3 cm en 4 cm indien twee zijden van
de rechthoek langs de rechthoekzijden van de driehoek lopen.
171
Hoofdstuk 8 Afgeleiden en toepassingen
22. Bepaal de vergelijking van de rechte door het punt (3, 4) die in het eerste kwadrant met
de assen en driehoek vormt met minimale oppervlakte.
23. Een rivier is 5 km breed. Een man met een roeiboot bevindt zich aan de ene oever in een
punt P . Hij wenst het punt B aan de overkant te bereiken. B ligt op 6 km van A, waar
A de (rechthoekige) overzijde is van P . Hij roeit met een snelheid van 2 km per uur, en
wandelt met een snelheid van 4 km per uur. Waar moet hij met zijn boot aankomen om
dit op de kortst mogelijke tijd te doen?
24. De televisiemaatschappij ‘Tevee’ heeft 1000 klanten, die elk maandelijks 20 euro bijdragen.
Elke verlaging van de prijs met 1 euro trekt 100 nieuwe klanten aan. Welke prijs zal de
maatschappij aanrekenen om zo veel mogelijk inkomsten te hebben?
25. Bepaal de afmetingen van de rechthoek met maximale oppervlakte die ingeschreven kan
worden in een halve cirkel met straal r .
26. Een draad van 10 meter wordt in twee stukken geknipt. Van het ene stuk maakt men een
vierkant, van het andere een gelijkzijdige driehoek. Waar moet de draad geknipt worden
opdat de som van de oppervlakten van de twee figuren minimaal is?
27. Bepaal de punten op de ellips 4x 2 + y 2 = 4 die zo ver mogelijk verwijderd zijn van het
punt (1, 0).
172
Hoofdstuk 8 Afgeleiden en toepassingen
28. Een rechthoekige container zonder bovenvlak heeft een vast volume van 10 m3 . Het materiaal om de basis te maken kost 10 euro per vierkante meter, materiaal om de zijvlakken
te maken kost 6 euro per vierkante meter. Bepaal de afmetingen van de goedkoopste
container.
29. Bepaal de afmetingen van de rechthoek met maximale oppervlakte met basis op de x-as
en de andere twee toppen gelegen op de parabool y = 8 − x 2 .
30. Beschouw alle rechthoeken in R2 met een hoekpunt in de oorsprong, een zijde op de
positieve x-as en een zijde op de positieve y -as en een hoekpunt op de grafiek van f (x) =
ln x
x 2 . Voor zover ze bestaan, bepaal tussen deze rechthoeken die met de grootste en kleinste
oppervlakte.
31. Een cilindervormig gat in een betonblok van 30cm diep en 10cm diameter wordt verder
uitgeboord om de diameter te vergroten tot 10,3cm. Schat de hoeveelheid beton die hierbij
verwijderd wordt.
32. Toon dat sin x < x voor x > 0.
33. Toon dat | sin x − sin y | ≤ |x − y | voor reële getallen x en y .
34. Toon aan dat
x
(a)
< ln(1 + x) < x voor x > 0 en voor −1 < x < 0
x +1
√
1
(b) 1 + x < 1 + x voor x > 0 en voor −1 < x < 0
2
173
Hoofdstuk 8 Afgeleiden en toepassingen
(c)
x
< Bgtanx < x voor x > 0
1 + x2
35. Vind telkens een getal c zoals in de Middelwaardestelling van Cauchy:
(a) [a, b] = [1, 4],
f (x) = 3x + 2,
g(x) = x 2 + 1
(b) [a, b] = [0, 1], f (x) = x 2 + 2x − 3, g(x) = x 2 − 4x + 6
hπ π i
,
, f (x) = sin x, g(x) = cos x
(c) [a, b] =
6 3
36. Bepaal volgende limieten door de regel van l’Hôpital toe te passen.
1 − cos x
x→0
x2
sin 5x
lim
x→0
x
sin x 2
lim
x→0
x
sin x
lim
x→π π − x
sin x − cos x
lim
x − π4
x→ π4
a. lim
b.
c.
d.
e.
2x
√
x→0 x + 7 x
i. lim
√
2x 2 − (3x + 1) x + 2
j. lim
x→1
x −1
x + 1 3x
k. lim
x→+∞
x
sin x
x→0 x
m. lim (sin x)x
l. lim
x→0
>
2x − π
f. limπ
x→ 2 cos x
n. lim (sin2 x) x
1 − sin x
g. limπ
x→ 2 1 + cos 2x
o.
h. limπ
x→ 3
cos x −
x − π3
1
1
2
x→0
log 2x
x→+∞ log 3x
x +1 x
p. lim x
−e
x→+∞
x
lim
37. Gebruik de methode van Newton om nulpunten te vinden van volgende functies. Start in
het gegeven punt p0 en eindig bij p2 .
a. f (x) = x 2 + x − 1, p0 = −1, p0 = 1
b. f (x) = x 3 + 3x + 1, p0 = 0
c. f (x) = x 4 + x − 3, p0 = −1, p0 = 1
d. f (x) = 2x − x 2 + 1, p0 = 0, p0 = 2
e. f (x) = x 4 − 2, p0 = 1
174

Download Report