Quantummechanica 1

Quantummechanica 1
Uitwerkingen werkcollege 8, 2007
1. Voor een atoom met 1 electron en Z protonen wordt de potenti¨ele energie van het
electron:
Z e2 1
V (r) = −
4πǫ0 r
Dit is dus identiek aan de uitdrukking voor de potenti¨ele energie voor een waterstofelectron, maar met e2 vervangen door Ze2 . Omdat de golffunctie (en dus alle
quantitatieve resultaten) uit deze uitdrukking voor V volgt, kunnen we alle resultaten voor het waterstofatoom gebruiken voor een 1 electron, Z-proton atoom, dmv de
substitutie: e2 → Ze2 . De energie¨en van dit atoom in termen van de grondtoestandsenergie van waterstof zijn:
"
2 #
2
1
Ze
m
= Z 2 En (Z = 1)
n = 1, 2, 3, . . .
En (Z) = −
2
2
4πǫ0
n
2¯
h
E1 (Z) = E1 Z 2 ≈ (−13.61 eV) Z 2
Dus:
4πǫ0 h
¯2
a
0.529
=
≈
× 10−10 m
mZe2
Z
Z
2
m
Z e2
= Z 2 R ≈ Z 2 1.097 × 107 m−1
R(Z) =
3
4πǫ
4πc h
¯
0
a(Z) =
In de Lyman reeks vinden we grootste golflengte voor de transitie 2 → 1. Dus
( n12 − n12 ) = (1 − 41 ) = 43 . We vinden:
f
i
3
1
R(Z) ≤ < R(Z)
4
λ
Voor Z = 2 betekent dit: 22.8 · 10−9 m < λ ≤ 30.4 · 10−9 m. λ ligt zo tussen de 23 en
31 nm, dit ligt in het verre ultraviolet.
Voor Z = 3 vinden we op dezelfde manier: 10.1 · 10−9 m < λ ≤ 13.5 · 10−9 m. Hier
ligt de golflengte tussen zo’n 10 en 14 nm. Dit ligt nog verder in het ultraviolet.
2. Gegeven: [ri , pj ] = i¯
hδij en [ri , rj ] = [pi , pj ] = 0
a) Gebruik [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B:
[Lz , x] = [xpy − ypx , x] = [xpy , x] − [ypx , x]
= x[py , x] + [x, x]py − y[px , x] − [y, x]px = i¯
hy
[Lz , y] = [xpy − ypx , y] = [xpy , y] − [ypx , y]
= x[py , y] + [x, y]py − y[px , y] − [y, y]px = −i¯
hx
[Lz , z] = [xpy − ypx , z] = [xpy , z] − [ypx , z] = 0
1
[Lz , px ] = [xpy − ypx , px ] = [xpy , px ] − [ypx , px ]
= x[py , px ] + [x, px ]py − y[px , px ] − [y, px ]px = i¯
h py
[Lz , py ] = [xpy − ypx , py ] = [xpy , py ] − [ypx , py ]
= x[py , py ] + [x, py ]py − y[px , py ] − [y, py ]px = −i¯
h px
[Lz , pz ] = [xpy − ypx , pz ] = [xpy , pz ] − [ypx , pz ] = 0
b) Gebruik: [A, BC] = B[A, C] + [A, B]C:
[Lz , Lx ] = [Lz , ypz − zpy ] = [Lz , ypz ] − [Lz , zpy ]
= y[Lz , pz ] + [Lz , y]pz − z[Lz , py ] − [Lz , z]py = −i¯
hxpz + zi¯
h px
= i¯
h(zpx − xpz ) = i¯
hLy
c)
[Lz , r 2 ] = [Lz , x2 ] + [Lz , y 2] + [Lz , z 2 ]
= x[Lz , x] + [Lz , x]x + y[Lz , y] + [Lz , y]y + z[Lz , z] + [Lz , z]z
= i¯
h(xy + yx) + i¯
h(−yx − xy) = 0
2
2
2
[Lz , p ] = [Lz , px ] + [Lz , py ] + [Lz , p2z ]
= px [Lz , px ] + [Lz , px ]px + py [Lz , py ] + [Lz , py ]py + pz [Lz , pz ] + [Lz , pz ]pz
= i¯
h(px py + py px ) + i¯
h(−py px − px py ) = 0
d)
[H, Lz ] =
1 2
[p , Lz ] + [V (r), Lz ] = [V (r), Lz ],
2m
omdat Lz commuteerd met p2 .
p
De laatste berekenen we door gebruik te maken van r = x2 + y 2 + z 2
⇒
x
x
∂r
= p
=
∂x
r
x2 + y 2 + z 2
⇒
en
∂r
y
=
∂y
r
∂V (r(x, y, z))
∂V ∂r
∂V x
=
=
∂x
∂r ∂x
∂r r
∂V (r(x, y, z))
∂V y
=
∂y
∂r r
Dus:
h
¯
∂
∂
∂
∂
[V (r), Lz ] =
V (x f − y f ) − (x (V f ) − y (V f )
i
∂y
∂x
∂y
∂x
y
x
h
¯
(V xfy − V yfx ) − (xVr f + xV fy − yVr f − yV fx = 0
=
i
r
r
Vanwege de bolsymmetrie van H geldt ook [H, Lx ] = 0 en [H, Ly ] = 0.
2
3. Gegeven: Jˆ± = Jˆx ± iJˆy .
a)
†
Jˆ+† = Jˆx + iJˆy = Jˆx† − iJˆy† = Jˆx − iJˆy = Jˆ−
Waarbij we hebben gebruikt dat Jˆx en Jˆy observabelen zijn (en dus Hermites).
b) Gebruik makende van [Jˆz , Jˆ± ] = ±¯
hJˆ± :
Jˆz Jˆ± |j mj i = [Jˆz , Jˆ± ]|j mj i + Jˆ± Jˆz |j mj i = ±¯
hJˆ± |j mj i + mj h
¯ Jˆ± |j mj i
= (mj ± 1)¯
h Jˆ± |j mj i
Dus J± |j mj i is een eigentoestand van Jˆz bij eigenwaarde (mj ± 1)¯
h.
c) We maken gebruik van Jˆ∓ Jˆ± = Jˆ2 − Jˆz2 ∓ h
¯ Jz :
hj mj |Jˆ∓ Jˆ± |j mj i = hj mj |Jˆ2 − Jˆz2 ∓ h
¯ Jz |j mj i
= j(j + 1)¯
h2 − m2j h
¯2 ∓ h
¯ 2 mj hj mj |j mj i
=h
¯ 2 (j(j + 1) − mj (mj ± 1))
Aan de andere kant:
hj mj |Jˆ∓ Jˆ± |j mj i = hJˆ± j mj |Jˆ± |j mj i = |λ± |2 hj mj±1 |j mj±1 i = |λ± |2
We nemen λ± re¨eel en positief, dan geldt:
q
λ± = h
¯ j(j + 1) − mj (mj ± 1)
q
dus: Jˆ± |j mj i = h
¯ j(j + 1) − mj (mj ± 1) |j mj±1 i
4. a) We gebruiken de bewegingsvergelijking voor Lx/y/z :
i
d
hLx/y/z i = h[H, Lx/y/z ]i
(Griffiths [3.71])
dt
h
¯
2
p
[H, Lx/y/z ] =
, Lx/y/z + [V, Lx/y/z ] = [V, Lx/y/z ]
2m
Uit de volgende relaties:
[V, px ] = i¯
h
∂V
∂x
[V, py ] = i¯
h
3
∂V
∂y
[V, pz ] = i¯
h
∂V
∂z
volgt:
[V, Lx ] = [V, ypz ] − [V, zpy ] = y[V, pz ] + [V, y]pz − z[V, py ] − [V, z]py
∂V
∂V
= i¯
h (r × ∇V )x
−z
= i¯
h y
∂z
∂y
[V, Ly ] = [V, zpx ] − [V, xpz ] = z[V, px ] + [V, z]px − x[V, pz ] − [V, x]pz
∂V
∂V
= i¯
h z
= i¯
h (r × ∇V )y
−x
∂x
∂z
[V, Lz ] = [V, xpy ] − [V, ypx ] = x[V, py ] + [V, x]py − y[V, px ] − [V, y]px
∂V
∂V
= i¯
h (r × ∇V )z
−y
= i¯
h x
∂y
∂x
d
hLx i = −h(r × ∇V )x i
dt
d
hLy i = −h(r × ∇V )y i
dt
d
hLz i = −h(r × ∇V )z i
dt









⇒








d
hLi = hr × (−∇V )i = hNi
dt
b) We weten dat alle drie de componenten van L commuteren met H als V bolsymmetrisch is (zie opgave 2). Dus [H, L] = 0. De bewegingsvergelijking voor L
wordt dan:
d
hLi = 0
dt
Andere manier:
Dus:
∂V
er
∂r
V (r) = V (r)
⇒
∇V =
r × er = 0
⇒
r × (−∇V (r)) = 0
d
hLi = hr × (−∇V )i = 0
dt
4

Download Report