Hoofdstuk 1 Wiskundige Analyse II

Hoofdstuk 1
Wiskundige Analyse II
Vraag 1.1 Het volume van een omwentelingslichaam beschreven
door een homogeen, projecteerbaar gebied D dat de omwentelingsas niet snijdt, is gelijk aan het product van de baan van het
massamiddelpunt van D met de oppervlakte van D.
waar
Vraag 1.2 De functie
yxz 3
f (x, y, z) = 4
x + y2 + z2
is uitbreidbaar tot een differentieerbare functie in heel R3 .
waar
Vraag 1.3 De functie
f (x, y) =
x3 y
x4 + y 2
aangevuld met de waarde 0 in (0, 0), bezit een lineaire benadering in de omgeving van (0, 0).
1
vals
Vraag 1.4 Zij f : R3 → R differentieerbaar in (x0 , y0 , z0 ) met
∇f (x0 , y0 , z0 ) 6= ~0, dan stelt deze gradi¨ent de normaalvector
voor in (x0 , y0 , z0 ) op het oppervlak f (x, y, z) = 0.
vals
Vraag 1.5 Zij f : Rm → Rn een functie die differentieerbaar
is in a ∈ Rm , dan is
||f (x) − f (a)||
||x − a||
begrensd in een omgeving van a.
waar
Vraag 1.6 Zij g : Rp → Rn en f : Rn → Rp functies, differentieerbaar in respectievelijk Ω ⊂ Rp en g(Ω) ⊂ Rn , dan geldt
er voor hun samengestelde h = f ◦ g dat
∇hj (x) = ∇fj (g(x))Dg(x),
∀x ∈ Ω,
j = 1 . . . , p.
waar
Vraag 1.7 Zij g, f : Rm → Rm differentieerbare functies in
respectievelijk Ω ⊂ Rm en g(Ω) ⊂ Rm , die bovendien elkaars
inverse zijn, dan geldt er dat
∀x ∈ Ω,
Df (g(x))Dk g(x) = ek ,
k = 1 . . . , m.
waarbij ek de k-de basisvector van Rm is, voorgesteld als kolommatrix.
2
waar
Vraag 1.8 Zij f (r) afleidbaar in R en zij r =
Dan is
|∇f (x, y, z)| = |f 0 (r)|
p
x2 + y 2 + z 2 .
in R3 \{(0, 0, 0)}.
Hierbij wordt voor de functie f (r) en voor de corresponderende
functie f (x, y, z) dezelfde notatie gebruikt, zoals gebruikelijk is
in toepassingen.
waar
Vraag 1.9 Zij u(x, y) en v(x, y) continu differentieerbare functies, die voldoen aan het stelsel van Cauchy-Riemann:
uy = −vx
ux = vy ,
en zij e en e∗ eenheidsvectoren volgens richtingen die onderling
orthogonaal zijn, dan zijn de richtingsafgeleiden van u volgens
e en van v volgens e∗ gelijk.
vals
Vraag 1.10 Gegeven het oppervlak met vergelijking x2 + y 2 +
z 2 − xy − 1 = 0. Dan wordt de projectie ervan op het Y Z–vlak
begrensd door de kromme 34 y 2 + z 2 − 1 = 0.
waar
3
Hoofdstuk 2
Waarschijnlijkheidsrekening
en Statistiek
Vraag 2.1 De gemeenschappelijke densiteit van de toevallige
verandelijken X en Y wordt gegeven door:
(
2
αe− 3 x e−y als x > 0 en y > 0,
fX,Y (x, y) =
0
elders,
waar α ∈ R>0 een normalisatieconstante is. De toevallige
veranderlijken U en V worden gedefinieerd als U = X3 en
V = Y + X3 . Welke van de onderstaande uitspraken is de
correcte?
Geen van de bovenstaande uitspraken is waar.
Vraag 2.2 Beschouw twee re¨ele toevallige veranderlijken X en
Y . Voor elke functie g(Y ) van Y geldt dat E(g(Y )|u) = g(u)
voor elke mogelijke waarde u van X. Bovendien geldt voor de
marginale massafunctie fX van X dat:

1

 3 als z = 1,
fX (z) = 23 als z = 2,


0 anders.
Waaraan is E(e−2Y ) dan gelijk?
4
1 −2
3e
+ 23 e−4
Vraag 2.3 De waarschijnlijkheid dat een hogerendementslamp
stukgaat binnen 10000 uur licht geven is gelijk aan 51 . Hoe
groot is de waarschijnlijkheid dat van 10 aselect gekozen hogerendementslampen, er precies 3 stuk gaan binnen 10000 uur licht
geven?
120
1 3
5
4 7
5
Vraag 2.4 De toevallige veranderlijke X is uniform verdeeld
over het interval [0, 2]. E(X 3 − X) is dan gelijk aan:
1
Vraag 2.5 Je hebt een communicatiesysteem waarin een zender een symbool X ∈ {−1, 0, 1} zendt, wat tot gevolg heeft
dat de ontvanger X + N ontvangt. Hierin is N een toevallige
veranderlijke met massafunctie fN (n) := 13 · 2−|n| , n ∈ Z. We
veronderstellen bovendien dat de drie waarden voor X even
waarschijnlijk zijn, en dat X en N onafhankelijk zijn. De
waarschijnlijkheid dat X + N > 21 is dan:
7/18
Vraag 2.6 Van de toevallige veranderlijke X is geweten dat
P (0 ≤ X ≤ 2) = P (1 ≤ X ≤ 3) = 12 en P (4 ≤ X ≤ 5) = 41 .
Wat kun je hieruit besluiten?
Geen van de bovenstaande.
5
Vraag 2.7 De twee toevallige veranderlijken X en Y hebben
verwachtingswaarden E(X) = 1 en E(Y ) = 1, varianties var(X) =
2 en var(Y ) = 2, en een correlatieco¨effici¨ent ρ(X, Y ) = −1/4.
Voor de veranderlijken U = X + 2Y and V = 2X − Y is de
correlatie ρ(U, V ) dan gegeven door:
√
− 6/16
Vraag 2.8 Beschouw een re¨ele toevallige veranderlijke X met
een densiteit fX waarvoor voor alle x ∈ R geldt dat fX (x) =
fX (−x). Welke van de volgende functies zou een geldige momentenfunctie MX (t) van X kunnen zijn?
Vraag 2.9 In een distributiecentrum komen pakketjes toe tussen
8 en 17 uur, volgens een uniforme verdeling. De verwerkingstijd (in seconden) van een pakketje kan worden gemodelleerd als een toevallige veranderlijke S die uniform verdeeld
is over het interval [1, T + 2], waarbij de toevallige veranderlijke T de sinds 8 uur verstreken tijd is tot het arriveren van het
pakketje. T wordt hierbij uitgedrukt in uren. Een voorbeeld ter
verduidelijking: als het pakketje aankomt om 11 uur, dan is S
uniform verdeeld over [1, 5] seconden, wegens 5 = 11 − 8 + 2
. De waarschijnlijkheid dat de verwerking minder lang duurt
dan 2 seconden bedraagt dan:
1
9
ln 10
6
Vraag 2.10 De toevallige veranderlijke Y is uniform verdeeld
over het interval [0, 1]. Van de toevallige veranderlijke X kennen we de conditionele massafunctie:
( n x
n−x
als x ∈ {0, 1, . . . , n − 1, n}
x y (1 − y)
fX|Y (x|y) =
0
elders,
dus conditioneel op Y = y is X binomiaal verdeeld met kans op
succes y en aantal experimenten n > 1. Welke van de volgende
uitspraken is correct?
E(X 2 ) = n2/3 + n/6
7

Download Report