Hoofdstuk 1 Wiskundige Analyse II Vraag 1.1 Het volume van een omwentelingslichaam beschreven door een homogeen, projecteerbaar gebied D dat de omwentelingsas niet snijdt, is gelijk aan het product van de baan van het massamiddelpunt van D met de oppervlakte van D. waar Vraag 1.2 De functie yxz 3 f (x, y, z) = 4 x + y2 + z2 is uitbreidbaar tot een differentieerbare functie in heel R3 . waar Vraag 1.3 De functie f (x, y) = x3 y x4 + y 2 aangevuld met de waarde 0 in (0, 0), bezit een lineaire benadering in de omgeving van (0, 0). 1 vals Vraag 1.4 Zij f : R3 → R differentieerbaar in (x0 , y0 , z0 ) met ∇f (x0 , y0 , z0 ) 6= ~0, dan stelt deze gradi¨ent de normaalvector voor in (x0 , y0 , z0 ) op het oppervlak f (x, y, z) = 0. vals Vraag 1.5 Zij f : Rm → Rn een functie die differentieerbaar is in a ∈ Rm , dan is ||f (x) − f (a)|| ||x − a|| begrensd in een omgeving van a. waar Vraag 1.6 Zij g : Rp → Rn en f : Rn → Rp functies, differentieerbaar in respectievelijk Ω ⊂ Rp en g(Ω) ⊂ Rn , dan geldt er voor hun samengestelde h = f ◦ g dat ∇hj (x) = ∇fj (g(x))Dg(x), ∀x ∈ Ω, j = 1 . . . , p. waar Vraag 1.7 Zij g, f : Rm → Rm differentieerbare functies in respectievelijk Ω ⊂ Rm en g(Ω) ⊂ Rm , die bovendien elkaars inverse zijn, dan geldt er dat ∀x ∈ Ω, Df (g(x))Dk g(x) = ek , k = 1 . . . , m. waarbij ek de k-de basisvector van Rm is, voorgesteld als kolommatrix. 2 waar Vraag 1.8 Zij f (r) afleidbaar in R en zij r = Dan is |∇f (x, y, z)| = |f 0 (r)| p x2 + y 2 + z 2 . in R3 \{(0, 0, 0)}. Hierbij wordt voor de functie f (r) en voor de corresponderende functie f (x, y, z) dezelfde notatie gebruikt, zoals gebruikelijk is in toepassingen. waar Vraag 1.9 Zij u(x, y) en v(x, y) continu differentieerbare functies, die voldoen aan het stelsel van Cauchy-Riemann: uy = −vx ux = vy , en zij e en e∗ eenheidsvectoren volgens richtingen die onderling orthogonaal zijn, dan zijn de richtingsafgeleiden van u volgens e en van v volgens e∗ gelijk. vals Vraag 1.10 Gegeven het oppervlak met vergelijking x2 + y 2 + z 2 − xy − 1 = 0. Dan wordt de projectie ervan op het Y Z–vlak begrensd door de kromme 34 y 2 + z 2 − 1 = 0. waar 3 Hoofdstuk 2 Waarschijnlijkheidsrekening en Statistiek Vraag 2.1 De gemeenschappelijke densiteit van de toevallige verandelijken X en Y wordt gegeven door: ( 2 αe− 3 x e−y als x > 0 en y > 0, fX,Y (x, y) = 0 elders, waar α ∈ R>0 een normalisatieconstante is. De toevallige veranderlijken U en V worden gedefinieerd als U = X3 en V = Y + X3 . Welke van de onderstaande uitspraken is de correcte? Geen van de bovenstaande uitspraken is waar. Vraag 2.2 Beschouw twee re¨ele toevallige veranderlijken X en Y . Voor elke functie g(Y ) van Y geldt dat E(g(Y )|u) = g(u) voor elke mogelijke waarde u van X. Bovendien geldt voor de marginale massafunctie fX van X dat: 1 3 als z = 1, fX (z) = 23 als z = 2, 0 anders. Waaraan is E(e−2Y ) dan gelijk? 4 1 −2 3e + 23 e−4 Vraag 2.3 De waarschijnlijkheid dat een hogerendementslamp stukgaat binnen 10000 uur licht geven is gelijk aan 51 . Hoe groot is de waarschijnlijkheid dat van 10 aselect gekozen hogerendementslampen, er precies 3 stuk gaan binnen 10000 uur licht geven? 120 1 3 5 4 7 5 Vraag 2.4 De toevallige veranderlijke X is uniform verdeeld over het interval [0, 2]. E(X 3 − X) is dan gelijk aan: 1 Vraag 2.5 Je hebt een communicatiesysteem waarin een zender een symbool X ∈ {−1, 0, 1} zendt, wat tot gevolg heeft dat de ontvanger X + N ontvangt. Hierin is N een toevallige veranderlijke met massafunctie fN (n) := 13 · 2−|n| , n ∈ Z. We veronderstellen bovendien dat de drie waarden voor X even waarschijnlijk zijn, en dat X en N onafhankelijk zijn. De waarschijnlijkheid dat X + N > 21 is dan: 7/18 Vraag 2.6 Van de toevallige veranderlijke X is geweten dat P (0 ≤ X ≤ 2) = P (1 ≤ X ≤ 3) = 12 en P (4 ≤ X ≤ 5) = 41 . Wat kun je hieruit besluiten? Geen van de bovenstaande. 5 Vraag 2.7 De twee toevallige veranderlijken X en Y hebben verwachtingswaarden E(X) = 1 en E(Y ) = 1, varianties var(X) = 2 en var(Y ) = 2, en een correlatieco¨effici¨ent ρ(X, Y ) = −1/4. Voor de veranderlijken U = X + 2Y and V = 2X − Y is de correlatie ρ(U, V ) dan gegeven door: √ − 6/16 Vraag 2.8 Beschouw een re¨ele toevallige veranderlijke X met een densiteit fX waarvoor voor alle x ∈ R geldt dat fX (x) = fX (−x). Welke van de volgende functies zou een geldige momentenfunctie MX (t) van X kunnen zijn? Vraag 2.9 In een distributiecentrum komen pakketjes toe tussen 8 en 17 uur, volgens een uniforme verdeling. De verwerkingstijd (in seconden) van een pakketje kan worden gemodelleerd als een toevallige veranderlijke S die uniform verdeeld is over het interval [1, T + 2], waarbij de toevallige veranderlijke T de sinds 8 uur verstreken tijd is tot het arriveren van het pakketje. T wordt hierbij uitgedrukt in uren. Een voorbeeld ter verduidelijking: als het pakketje aankomt om 11 uur, dan is S uniform verdeeld over [1, 5] seconden, wegens 5 = 11 − 8 + 2 . De waarschijnlijkheid dat de verwerking minder lang duurt dan 2 seconden bedraagt dan: 1 9 ln 10 6 Vraag 2.10 De toevallige veranderlijke Y is uniform verdeeld over het interval [0, 1]. Van de toevallige veranderlijke X kennen we de conditionele massafunctie: ( n x n−x als x ∈ {0, 1, . . . , n − 1, n} x y (1 − y) fX|Y (x|y) = 0 elders, dus conditioneel op Y = y is X binomiaal verdeeld met kans op succes y en aantal experimenten n > 1. Welke van de volgende uitspraken is correct? E(X 2 ) = n2/3 + n/6 7
© Copyright 2024 ExpyDoc