Vectoranalyse voor TG
college 10
De stelling van Stokes
UNIVERSITEIT TWENTE.
collegejaar
college
build
slides
Vandaag
:
:
:
:
14-15
10
25 september 2014
28
UNIVERSITEIT
TWENTE.
De stelling van
Stokes
Eigenschappen en
toepassingen
1
2
3
4
Rotatie
De stelling van Stokes
De stelling van Green
De wet van Faraday
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[10]
25-9-2014
1
VA
vandaag
TG
De stelling van Stokes
§4.5.6
Stelling – Stokes
Vergeleijking (4.62)
Section 16.7
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Theorem 6
De stelling van
Stokes
Eigenschappen en
toepassingen
Het oppervlak S is georiënteerd en stuksgewijs glad.
De rand C van S is een georiënteerde, enkelvoudige,
gesloten, stuksgewijs gladde kromme, waarvan de
oriëntatie overeenstemt met die van S volgens de
rechterhandregel;
Vectorveld F heeft continue partiële afgeleiden op een
open omgeving van S.
Dan geldt
I
F
C
· dr =
ZZ
VA.14-15[10]
25-9-2014
·
curl F n dσ.
S
Vectoranalyse voor
TG
2
VA
Circulatie
Zie ook college 10
st/1
TG
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Definitie
Gegeven is een stroming v in R3 . Stel C is een
georiënteerde, gesloten kromme.I De circulatie door C is de
lijnintegraal van v door C , dus
v
C
n
· dr.
De stelling van
Stokes
Eigenschappen en
toepassingen
S
C
Stelling – circulatiestelling
Stel S is een klein georiënteerd oppervlak met normaal n,
dan
I
v
C
· dr ≈ (curl v · n) opp(S).
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[10]
25-9-2014
3
VA
st/2
TG
De stelling van Stokes
UNIVERSITEIT
TWENTE.
n2
B
n1
C0
S2
C
De stelling van
Stokes
Eigenschappen en
toepassingen
D0
A
S1
D
I
·
·
Voor vlak S1 geldt: curl F n1 opp(S1I) ≈
F dr.
C1
Voor S2 geldt: curl F n2 opp(S2 ) ≈
F dr.
·
C2
·
Lijnstuk AB wordt twee keer doorlopen, maar in
tegengestelde richting, dus
I
I
I
· dr + C F · dr = ∂(S F∪S· )dr.
I
Dus curl F ·n1 opp(S1 )+curl F ·n2 opp(S2 ) ≈ F · dr.
∂(S ∪S )
F
C2
2
1
2
1
2
De stelling van Stokes
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[10]
25-9-2014
4
VA
st/3
TG
UNIVERSITEIT
TWENTE.
nk
Sk
De stelling van
Stokes
S
Eigenschappen en
toepassingen
C = ∂S
Door herhaald toepassen krijg je een Riemann som
X
·
curl F nk opp(Sk ) ≈
I
F
∂S
k
· dr.
Maak de oppervlakjes Sk kleiner en kleiner. Door limiet
opp(Sk ) → 0 te nemen volgt de stelling van Stokes:
ZZ
·
I
curl F n dσ =
S
F
∂S
· dr.
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[10]
25-9-2014
5
VA
st/4
TG
De stelling van Stokes
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Section 16.7, example 2
Gegeven is het vectorveld F = (y, −x, 0). Verifieer de
stelling van Stokes voor het oppervlak S: x 2 + y 2 + z 2 = 9,
z ≥ 0.
De stelling van
Stokes
Eigenschappen en
toepassingen
Kies de oriëntatie van ∂S is
linksom (van boven gezien).
Parametrisering van C = ∂S:
r(θ) = (3 cos θ, 3 sin θ, 0)
met 0 ≤ θ ≤ 2π.
r0 (θ) = (−3 sin θ, 3 cos θ, 0)
F r(θ) = (3 sin θ, −3 cos θ, 0)
F r(θ) r0 (θ) = −9 sin2 θ − 9 cos2 θ = −9.
·
Z
F
C
· dr =
Z 2π
F r(θ)
0
Z 2π
· r (θ) dθ
0
−9 dθ = −18π.
0
Voorbeeld (vervolg)
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[10]
25-9-2014
6
VA
st/5
TG
UNIVERSITEIT
TWENTE.
curl F(x, y, z) = (0, 0, −2) = −2k.
In Thomas wordt de oppervlakteintegraal met behulp van de
impliciete vorm berekend. Dit
voorbeeld wordt berekend met een
expliciete parametrisering.
De stelling van
Stokes
Eigenschappen en
toepassingen
Parametrisering van S:
r(ϕ, θ) = (3 sin ϕ cos θ, 3 sin ϕ sin θ, 3 cos ϕ)
met 0 ≤ ϕ ≤ π/2 en 0 ≤ θ ≤ 2π.
rϕ = 3(cos ϕ cos θ, cos ϕ sin θ, − sin ϕ).
rθ = 3(− sin ϕ sin θ, sin ϕ cos θ, 0).
rϕ × rθ = 9 sin ϕ(sin ϕ cos θ, sin ϕ sin θ, cos ϕ).
Vectoranalyse voor
TG
Als 0 ≤ ϕ ≤ π/2 dan cos ϕ ≥ 0, dus rϕ ×rθ wijst naar boven. VA.14-15[10]
·
curl F r(ϕ, θ) (rϕ × rθ ) = −18 sin ϕ cos ϕ = −9 sin(2ϕ).
RR
S
·
curl F n dσ =
R 2π R π/2
0
0
25-9-2014
7
−9 sin(2ϕ) dϕ dθ= −18π.
VA
st/6
TG
De stelling van Stokes
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
De kromme C is de snijfiguurH van de cilinder x 2 + y 2 = 1 en
het vlak y + z = 2. Bereken
C F dr waarbij
2
2
F(x, y, z) = −y , x, z . De oriëntatie van C is linksom
(van boven gezien).
·
De stelling van
Stokes
Eigenschappen en
toepassingen
curl F(x, y, z) = (0, 0, 1 + 2y).
C = ∂S met
S = {(x, y, z) | x 2 + y 2 ≤ 1, y + z = 2}.
Parametrisering van S:
r(x, y) = (x, y, 2 − y)
met (x, y) ∈ R = {(x, y) | x 2 + y 2 ≤ 1}.
rx = (1, 0, 0) en ry = (0, 1, −1).
rx × ry = (0, 1, 1). Deze vector is naar boven gericht en
klopt met de oriëntatie van C .
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[10]
25-9-2014
8
VA
Voorbeeld (vervolg)
I
F
C
· dr =
st/7
TG
UNIVERSITEIT
TWENTE.
ZZ
·
curl F n dσ
ZZS
=
De stelling van
Stokes
·
Eigenschappen en
toepassingen
(0, 0, 1 + 2y) (0, 1, 1) dx dy
R
ZZ
=
1 + 2y dx dy
R
2π
Z
Z 1
(1 + 2r sin θ)r dr dθ
=
0
=
0
Z 2π h
0
Z 2π
=
0
=
1
2
1
2
1 2
2r
dθ
2π
+ 23 sin θ dθ = 12 θ − 23 cos θ · 2π −
= π.
+
i1
2 3
3 r sin θ 0
2
3
cos(2π) − cos(0)
0
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[10]
25-9-2014
9
VA
st/8
TG
De stelling van Stokes
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Het oppervlak S is het gedeelte van de bol x 2 + y 2 + z 2 = 4
dat binnen
de cilinder x 2 + y 2 = 1 en boven het xy-vlak ligt.
RR
Bereken S curl F n dσ waarbij F(x, y, z) = (xz, yz, xy).
Hierbij is de oriëntatie van de rand C van S linksom (van
boven gezien).
·
De stelling van
Stokes
Eigenschappen en
toepassingen
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[10]
25-9-2014
10
VA
Voorbeeld (vervolg)
√
Parametriseer de rand van C : r(t) = (cos t, sin t, 3).
r0 (t) = (− sin t, cos t, 0).
√
√
F r(t) = ( 3 cos t, 3 sin t, cos t sin t).
st/9
TG
UNIVERSITEIT
TWENTE.
De stelling van
Stokes
Eigenschappen en
toepassingen
ZZ
·
curl F n dσ
SI
F
=
C
Z 2π
· dr
F r(t)
=
0
Z 2π
=
· r0(t) dt
√
√
− 3 cos t sin t + 3 sin t cos t dt
0
Vectoranalyse voor
TG
Z 2π
=
0 dt = 0.
0
VA.14-15[10]
25-9-2014
11
VA
st/10
TG
De stelling van Green
§4.5.7
Stelling – Green
Secion 16.4
Vergelijking (4.63)
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Theorem 5
R ⊆ R2 is een enkelvoudig
samenhangend gebied, met
rand C .
De stelling van
Stokes
Eigenschappen en
toepassingen
C is een enkelvoudige gesloten,
stuksgewijs gladde, positief
georiënteerde kromme.
M en N zijn functies waarvan de partiële afgeleiden
bestaan en continu zijn op een open gebied dat R
omvat.
Dan geldt
I
ZZ
M dx + N dy =
C
R
I
Als F = (M , N ) dan
Vectoranalyse voor
TG
∂N
∂M
−
dA.
∂x
∂y
VA.14-15[10]
25-9-2014
I
F
M dx + N dy =
C
C
·
12
st/11
dr.
VA
De stelling van Green
TG
UNIVERSITEIT
TWENTE.
De stelling van
Stokes
Eigenschappen en
toepassingen
Beschouw R als een oppervlak in R3 :
{(x, y, 0) | (x, y) ∈ R} “=” R.
Definieer F(x, y, z) = (M (x, y), N (x, y), 0).
Als C wordt geparametriseerd
met de vectorfunctie
r(t) = x(t), y(t) met a ≤ t ≤ b dan is een
parametrisering van C als kromme in het xy-vlak:
x(t), y(t), 0 .
F r(t)
· r0(t) = M
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[10]
25-9-2014
x(t), y(t) x 0 (t) + N x(t), y(t) y 0 (t).
13
VA
st/12
TG
De stelling van Green
Uit
∂M
∂z
UNIVERSITEIT
TWENTE.
∂N
∂z
= 0 volgt
∂N
∂M
curl F = 0, 0,
−
.
∂x
∂y
Parametriseer R: r(x, y) = (x, y, 0).
Er geldt rx × ry = (1, 0, 0) × (0, 1, 0) = (0, 0, 1).
Daarmee
I
=
De stelling van
Stokes
Eigenschappen en
toepassingen
M dx + N dy
C
Z b
M x(t), y(t) x 0 (t) dt + N x(t), y(t) y 0 (t) dt
=
=
Ia
ZZ
·
ZZ ∂N
∂M
=
0, 0,
−
· (0, 0, 1) dA
∂x
∂y
R
F
=
C
ZZ
=
R
· dr =
curl F n dσ
← Stokes
R
∂N
∂M
−
dA.
∂x
∂y
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[10]
25-9-2014
← Green
14
VA
De stelling van Green
st/13
TG
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Section 16.4, example 1
Verifieer de stelling van Green voor het vectorveld
F(x, y) = (x − y)i + xj voor het gebied R waarvan de rand
de eenheidscirkel C is.
De stelling van
Stokes
Eigenschappen en
toepassingen
In tegenstelling tot het boek van Thomas verifiëren we
de rotatie-variant van Green’s stelling:
I
ZZ
M dx + N dy =
C
R
∂N
∂M
−
dA.
∂x
∂y
Definieer
M (x, y) = x − y,
N (x, y) = x.
en gebruik voor C de parametrisering
r(t) = (cos t, sin t),
0 ≤ t ≤ 2π.
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[10]
25-9-2014
15
VA
st/14
TG
Voorbeeld (vervolg)
UNIVERSITEIT
TWENTE.
I
← =
M dx + N dy
I
F
C
C
· dr
F r(t) = M (r(t)), N (r(t)) = (cos t − sin t, cos t).
De stelling van
Stokes
Eigenschappen en
toepassingen
r0 (t) = (− sin t, cos t).
F r(t)
· r0(t) = − cos t sin t + sin2 t + cos2 t
= 1 − 21 sin(2t).
I
I
F
M dx + N dy =
C
C
Z 2π
F r(t)
=
0
· dr
· r (t) dt =
0
Z 2π
0
1 − 12 sin(2t) dt
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[10]
25-9-2014
2π
1
= t + 4 cos(2t) = 2π.
0
16
VA
Voorbeeld (vervolg)
st/15
TG
UNIVERSITEIT
TWENTE.
ZZ
R
∂N
∂M
−
dA
∂x
∂y
∂N
∂x
=
= 1.
∂x
∂x
∂M
∂(x − y)
=
= −1.
∂y
∂x
De stelling van
Stokes
Eigenschappen en
toepassingen
∂N
∂M
−
= 1 − (−1) = 2.
∂x
∂y
ZZ
R
∂N
∂M
−
dA =
∂x
∂y
= 2 opp(R) = 2π.
ZZ
2 dA
R
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[10]
25-9-2014
17
VA
st/16
TG
De stelling van Green
Voorbeeld
I Bereken
UNIVERSITEIT
TWENTE.
3y − e sin x dx + 7x +
q
y 4 + 1 dy waarbij
C
C de cirkel is met middelpunt (0, 0) en straal 3.
De stelling van
Stokes
Eigenschappen en
toepassingen
C is de rand van de cirkelschijf R gegeven door
R = {(x, y) ∈ R2 | x 2 + y 2 ≤ 9}.
Gebruik de stelling van Green:
I 3y − e
sin x
dx + 7x +
q
y4
+ 1 dy
C
M
ZZ
N
7 − 3 dA = 4
=
ZZ
R
1 dA = 4 opp R = 36 π.
R
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[10]
25-9-2014
∂N ∂M
∂x ∂y
18
VA
Conservatieve velden
§4.5.9
Zie ook colleges 7 en 10
Een vectorveld F in R3 heet rotatievrij als
curl F(x) = 0 voor alle x ∈ R3 .
Stelling
Section 16.7, vergelijking (8)
st/17
TG
UNIVERSITEIT
TWENTE.
De stelling van
Stokes
Eigenschappen en
toepassingen
Het gradiëntveld van een functie f : R3 → R is rotatievrij:
curl grad f = 0 of
∇ × ∇f = 0.
Het bewijs volgt uit simpele verificatie.
Gevolg
Als een vectorveld F conservatief is, dan is het rotatievrij.
Bewijs
Stel f is een potentiaal van F, dan F = grad f , dus
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[10]
25-9-2014
19
curl F = curl grad f = 0.
VA
st/18
TG
Conservatieve velden
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Stelling
Section 16.7, theorem 7
Stel F is een vectorveld gedefinieerd op een open,
enkelvoudig samenhangend gebied D, en stel F is rotatievrij.
Als de partiële afgeleiden van de componenten van F
continu zijn, dan is F conservatief.
De stelling van
Stokes
Eigenschappen en
toepassingen
Bewijs
Stel zowel C1 als C2 is een pad van P
naar Q in D.
Z
Z
· dr − C F · dr
I
ZZ
=
F · dr =
curl F · n dσ
∂S
S
ZZ
=
0 · n dσ = 0.
S
F
C1
2
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[10]
25-9-2014
20
st/19
Dus lijnintegralen in D zijn pad-onafhankelijk.
VA
Gesloten oppervlakken
§4.5.8
TG
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Stelling
Voor een enkelvoudig gesloten oppervlak S geldt
ZZ
De stelling van
Stokes
·
curl F n dσ = 0.
S
Eigenschappen en
toepassingen
Stel het gesloten oppervlak
S is verdeeld in twee delen
S1 en S2 , met
gemeenschappelijke rand C .
Het normaalveld n is naar
buiten gericht.
ZZ
·
ZZ
curl F n dσ +
curl F n dσ =
S
I
F
=
C
·
S
· dr −
ZZ
I1
F
C
· dr = 0.
·
curl F n dσ
S2
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[10]
25-9-2014
21
VA
st/20
TG
Gesloten oppervlakken
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Gevolg
Voor twee een enkelvoudige oppervlakken S1 en S2 met
gemeenschappelijke rand C en identieke oriëntatie geldt
ZZ
ZZ
·
curl F n dσ =
S1
De stelling van
Stokes
Eigenschappen en
toepassingen
·
curl F n dσ.
S2
Vectoranalyse voor
TG
ZZ
I
·
curl F n dσ =
S1
F
C
· dr =
ZZ
·
curl F n dσ.
S2
VA.14-15[10]
25-9-2014
22
VA
Gesloten oppervlakken
st/21
TG
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Voorbeeld
Gegeven is het vectorveld F(x, y, z) = (−y, x, xyz 2 ). Het
oppervlak S is een piramide bestaande uit drie driehoeken
D1 , D2 en
ZZD3 . De oriëntatie van E is naar boven gericht.
De stelling van
Stokes
Eigenschappen en
toepassingen
·
curl F n dσ.
Bereken
S
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[10]
25-9-2014
De rand van S bestaat uit de driehoek met hoekpunten
(0, 0, 0), (1, 0, 0) en (0, 1, 0).
23
VA
st/22
TG
Voorbeeld (vervolg)
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Het oppervlak S bestaat uit drie delen:
ZZ
ZZ
·
··· +
curl F n dσ =
S
ZZ
D1
··· +
D2
ZZ
···
D3
De rand van S bestaat uit drie lijnstukken:
I
F
∂S
· dr =
Z
··· +
C1
Z
··· +
Z
C2
De stelling van
Stokes
Eigenschappen en
toepassingen
···
C3
De rand van S is ook de rand van de driehoek D0 met
hoekpunten (0, 0, 0), (1, 0, 0) en (0, 1, 0).
Vectoranalyse voor
TG
ZZ
ZZ
·
curl F n dσ =
S
·
curl F n dσ
D0
VA.14-15[10]
25-9-2014
24
VA
Voorbeeld (vervolg)
st/23
TG
UNIVERSITEIT
TWENTE.
De normaal op D0 is n = (0, 0, 1).
De stelling van
Stokes
Eigenschappen en
toepassingen
F(x, y, z) = (−y, x, xyz 2 ).
curl F(x, y, z) = (∗ , ∗ ,
∂
∂x (x)
−
∂
∂y (−y))
= (∗ , ∗ , 2).
·
Dus curl F(x, y, z) n = 2.
ZZ
·
ZZ
curl F n dσ =
S
ZZ
2 dσ = 2 opp(D0 ) = 2 ·
=
D0
·
curl F n dσ
D0
1
2
= 1.
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[10]
25-9-2014
25
VA
st/24
TG
Toepassing: de wet van Faraday
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Inductiewet van Faraday
De stelling van
Stokes
Een veranderend magneetveld
wekt een elektrisch veld op.
Eigenschappen en
toepassingen
- Michael Faraday, 1831
Voor ieder georiënteerd oppervlak S met rand C geldt
B
S
d
E dr = −
dt
C
I
·
C
ZZ
·
B n dσ.
S
- James Clerk Maxwell
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[10]
25-9-2014
26
VA
Toepassing: de wet van Faraday
st/25
TG
UNIVERSITEIT
TWENTE.
Gebruik de stelling van Stokes:
ZZ
I
d
−
B n dσ =
E
dt S
C
ZZ
·
· dr
De stelling van
Stokes
·
curl E n dσ.
=
S
Eigenschappen en
toepassingen
Als S niet afhangt van de tijd geldt:
ZZ
ZZ
d
∂B
B n dσ =
−
−
n dσ
dt S
∂t
S
Dus ZZ ∂B
curl E +
n dσ = 0.
∂t
S
Dit geldt voor ieder oppervlak S ⊆ R3 , dus
·
·
·
∂B
curl E = −
.
∂t
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[10]
25-9-2014
27
VA
st/26
TG
Overzicht
UNIVERSITEIT
TWENTE.
vlak
niet vlak
De stelling van
Stokes
Eigenschappen en
toepassingen
Vlakke
integralen:
Z b
f (x) dx
Lijnintegralen
Oppervlakteintegralen
van functies:
van functies:
Z
ZZ
f dr
a
f dσ
C
S
ZZ
f (x, y) dA
S
ZZZ
f (x, y, z) dV
E
van vectorvelden:
Z
F
C
· dr
van vectorvelden:
ZZ
·
F n dσ
S
Vectoranalyse voor
TG
VA.14-15[10]
25-9-2014
28
VA
ov/1
TG
© Copyright 2024 ExpyDoc
