最適化問題関数f(x)を（ある制約条件のもとで）最小とするxを求めたい f(x)が非線形  f(x)が線形非線形計画法  線形計画法システム工学科におけるモデリングのもう一つの柱（関連授業：システム計画論，システム評価論，グラフとネットワーク，オペレーションズリサーチ，数理計画，生産管理）「２つの貯蔵タンクを備えた乳製品加工工場における生乳の購入計画」の問題について，管理のための費用をできるだけ抑えることを考える．１．生乳の貯蔵量はどのように変化するか？２．管理にはどのような費用（コスト）がかかるか？３．費用はどのような関数として表現できるか？４．管理費を最小化する購入量は？２つの貯蔵タンクA,Bを備えた乳製品加工工場における生乳の購入計画この工場では，一方のタンクから使い始めて，空になると他のタンクに切り替えて生産を続ける．空のタンクには清掃後，購入した生乳を注入する．注入に要する時間は極めて短いので無視できる．生乳の購入量をQ [m 3 ] としたとき，時間t[min] とタンクA,Bの貯蔵量の関係を図１で考えよう．操業開始をt=0とし，そのときの両タンクの貯蔵量は共にQであるとする．毎分W [m3 / min]の生乳をタンクから注出する．時刻t=0でタンクAを使い始めたとすると，タンクAが空になる時刻は t 0  Q である．清掃に要する時間L[min]の後，時刻 W t1=to+L にタンクAに生乳がQだけ瞬時に注入される．一方，タンクBの貯蔵量は時刻toまではQであり，to以降は毎分Wの割合で減少する．タンクBが空になる時刻をt2とする．問１：時刻t2を求めよ．貯蔵量 Q タンクA 注出 Q/W タンクA タンクB 清掃 L O t0 t1 t2 t3 t4 時刻 t 時刻t2から再びタンクAの生乳の使用が再開される．時刻t3=t2+Lで再びタンクBの貯蔵量はQとなり，タンクAが再び空になる時刻t4までタンクBの貯蔵量は変化しない．次に，上図に基づいて，タンクA,Bの貯蔵量の和R(t)を考えよう．問２： Q=10, W=2, L=3として，Mathematicaで貯蔵量の和R(t)を描いてみよう．時刻t=0では，タンクA,Bの貯蔵量は共にQである．時刻t1,t3では清掃中にLWの生乳が消費されるので，一方のタンクの貯蔵量はQ-LWである．問３：点a,b,cの座標を求めること． R(t) ２Ｑ a b ＡＢＢＢＡＡＢＢ c Ａ O t0 t1 t2 t3 t4 時刻 t 時刻t1以降，R(t)はt3-t1を１周期とする鋸歯状の変化を繰り返す．問４：この周期の長さを求めよ．なお，一方のタンクの清掃中に他方のタンクが空にならないためには，Qは清掃中の生乳の消費量以上でなければならない．したがって， Q  LW （１）時刻t1以降の単位時間当たりの生産にかかわる費用について考える．タンク内の温度管理のために，生乳1 [m 3 ] 当たり毎分C1[円/ min m3 ] の貯蔵費用がかかる．時刻tにおける微小時間dtでの貯蔵費用はC1R(t)dtであり，これをt1からt3 まで積分すると，１周期当たり貯蔵費用S(Q)がえられる．問５：S(Q)を求めてみよう．ヒント：１ページの図中の点b,cと点t1,t3で囲まれる台形の面積にC1をかけることでS(Q)を求めることができる．各周期では一定量Qの購入と清掃を１回必ず行なう．１回当たりの清掃費用C2円であり，生乳の購入単価はC3 [円/ m3 ] である．１周期当たりの費用COST(Q)は COST(Q)＝貯蔵費用＋清掃費用＋購入費用である．問６： COST(Q)を求めること．最後に，単位時間当たりの費用を最小にする購入を計算してみよう．単位時間当たりの費用関数をｇ(Q)とすると， g(Q)= COST(Q)/(t3-t1)=3C1Q/2 + C2W/Q + (C3-C1L)W である．１つのタンクの最大貯蔵量をUとすると，購入量Qは（１）から LW  Q  U を満たさなければならない．従がって，最適購入量は以下の最適化問題を解くことで得られる． min. s.t. 3C1 C W Q  2  (C 3  C1 L) W 2 Q LW  Q  U ここでは，グラフを描いて最適値を求めてみよう．なお，パラメータとして，W=2, L=3, U=10, C1=1/10, C2=5, C3=1を用いる．問７：Mathematica を使って，関数g(Q)を描いてみよう．下に凸であることを確かめること．問８：Mathematicaを使って，関数g(Q)の極値を求めてみよう．問９:極値を与えるQとLW，Ｕの大小関係から最適購入量を求めてみよう．